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带电粒子在交变电场中的运动，常见的情形是带电粒子的初速度为零或者初速度与电场线方向平行时，做直线运动；而若带电粒子的初速度与电场线方向垂直时，做变速曲线运动.
一、带电粒子垂直射入方波形的交变电场
例1 如图1甲所示，真空中两水平放置的平行金属板[A、B]相距为[d]，板长为[L]，今在[A、B]两板间加一图1乙的周期性变化的交变电压. 从[t=0]时刻开始，一束初速度均为[v0]的电子流沿[A、B]两板间的中线从左端连续不断地水平射入板间的电场，要想使电子束都能从[A、B]右端水平射出，则所加交变电压的周期[T]和所加电压[U0]的大小应满足什么条件？
解析 根据题意可知，电子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做变速直线运动，可画出电子在竖直方向上的速度[-]时间（[vy-t]）图线，如图2，因电子进入板间电场和飞出板间电场时，其竖直分速度均为零，所以电子在电场中的运行时间[t]必为交变电压周期[T]的整数倍
[t=nT]([n]＝1、2、……)
而[t=lv0]，得[T=lnv0]([n]＝1、2、……)
对于在[t′=k⋅T2]（[k]＝0、1、2、……）时刻射入的电子，根据[vy-t] 图，知其飞出板间电场时侧向位移最大，故只需考虑这些时刻射入的电子满足的条件. 对这些时刻射入的电子，在一个周期内侧向位移（即[vy-t]图中所画阴影部分的面积）为
[y=2×12×eU0md×T22=eU0l24n2mdv20]
在[t=nT]内，总侧移[y总=ny],当[y总≤d2]时，电子均可飞出板间电场，即
[n⋅eU0l24n2mdv20≤d2]
解得 [U0≤2nmd2v20el2]([n]＝1、2、……)
点评 本题关键是分析带电粒子在两个方向上的受力情况和不同阶段的运动情况. 要特别注意粒子在不同时刻进入电场,它的运动情况会有明显差别.
二、带电粒子垂直射入锯齿波形的交变电场
例2 如图3所示，一个水平放置的平行板电容器，极板长[L＝]20cm、板间距[d＝]2cm. 在两极板[AB]间加上图4的脉冲电压（[A]板电势高于[B]板电势），板右侧紧靠电容器竖直放置一个挡板[D]，板左侧有一个连续发出相同带电微粒的粒子源[S]，所产生的带电微粒质量[m=]2×10－8kg、电荷量[q=]＋2.5×10－7C，且正好沿两极板正中间平行于极板的速度[v0＝]500m/s射入电容器，由于粒子通过电容器的时间极短，可认为此过程中[AB]两板间电压不变（微粒重力不计）. 求：
（1）[t＝0]时刻进入平行板间的微粒最后击中挡板的位置；
（2）哪些时刻进入平行板间的微粒击中挡板的动能最大，这些粒子在电场中动能变化多大.
解析 （1）[t＝0]时刻加在电容两极板间的电压[U0＝]100V，粒子在入射方向上偏移的距离为[y=12qU0mdLv02]＝5×10－3m，即[t＝0]时刻，通过电容器的微粒，击中挡板中点[O]的下方0.5cm处.
（2）微粒偏离入射方向的距离为[12d]时击中挡板的动能最大. 设此时加在[AB]两板上的电压为[Ux]，则[12d=12qUxmdLv02]，解得[Ux=md2v20qL2]＝200V，从图中可知当[t＝]0.05＋0.1n（s）（其中[n＝]0、1、2、3、……）时刻加在电容器两极板间的电压为200V，这些时刻进入电容器并击中挡板的微粒动能最大. 这些微粒在电场中的动能变化为
[ΔEk=12qUx]＝2. 5×10－5J.
点评 粒子通过电容器的时间极短，可认为粒子在通过电容器的时间内电容器两极板间的电场为匀强电场，粒子的运动就是类平抛运动，将电子在极短时间内穿越交变电场的情景转化为穿越恒定电场的情景.
三、带电粒子垂直射入正弦式交变电场中
例3 在真空中速度为[v0=6.4×107m/s]的电子束连续地沿板的方向射入两平行极板之间，如图5，极板长度为[l=8.0×10-2m]，间距为[d=5.0×10-3]m. 两极板不带电时，电子束将沿两极板的中线通过，今在两极板上加50Hz的交变电压[U=U0sinωt]，当所加电压的最大值[U0]超过某一值[UC]时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过极板，有时不能通过极板（电子质量[m=0.9×10-30]kg，电子电量[e=1.60×10-19C]）. 求： 图5
（1）[UC]的大小；
（2）当[U0]为何值时才能使电子束通过的时间[Δt通]跟间断的时间[Δt断]之比是2∶1？
解析 （1）单个电子通过平行板的时间为
[t=lv0=8.0×10-26.4×107s≈1×10-9s]
交变电压的周期[T=1f=0.02s].
因[t≤T]，故单个电子通过平行板间电场的极短时间内，可近似认为极板间电压未变，电场未变，从而可按匀强电场处理.
电子在峰值电压下通过电场时的侧向位移
[y=12at2=eU2dm(lv0)2].
很明显，当[y≥d2]时，电子将不能通过两极板，而是打在某极板上，即有[eU2dm(lv0)2≥d2]
解得[U≥mv02d2el2≈91V].
因为板间电压是峰值[UC]时，电子恰好打在极板的边缘上，所以当板间电压小于[UC]时，电子肯定能通过. 但当[U0>91V]时，就会出现有时有电子通过，有时没有电子通过的现象.
图6
（2）画出交变电压的[U－t]图，并在图上标明有电子通过的时间段（阴影区），如图6，由[Δt通∶Δt断=2∶1，][在14T]内，应有
[t1=23×T4=T6]，则[ωt1=2πT×T6=π3]
从而[UC=U0sinπ3]
解得[U0=UCsinπ3≈105V].
点评 解决本题时要注意题目中隐含条件的挖掘，从“两极板不带电时，电子束将沿两极板之间中线通过”可知电子束间相互作用可忽略，电子重力可忽略；电子通过极板时间远远小于交流电周期，因此电子通过极板区的正弦交变电场在[t]时间内可理想化为匀强电场.
一、带电粒子垂直射入方波形的交变电场
例1 如图1甲所示，真空中两水平放置的平行金属板[A、B]相距为[d]，板长为[L]，今在[A、B]两板间加一图1乙的周期性变化的交变电压. 从[t=0]时刻开始，一束初速度均为[v0]的电子流沿[A、B]两板间的中线从左端连续不断地水平射入板间的电场，要想使电子束都能从[A、B]右端水平射出，则所加交变电压的周期[T]和所加电压[U0]的大小应满足什么条件？
解析 根据题意可知，电子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做变速直线运动，可画出电子在竖直方向上的速度[-]时间（[vy-t]）图线，如图2，因电子进入板间电场和飞出板间电场时，其竖直分速度均为零，所以电子在电场中的运行时间[t]必为交变电压周期[T]的整数倍
[t=nT]([n]＝1、2、……)
而[t=lv0]，得[T=lnv0]([n]＝1、2、……)
对于在[t′=k⋅T2]（[k]＝0、1、2、……）时刻射入的电子，根据[vy-t] 图，知其飞出板间电场时侧向位移最大，故只需考虑这些时刻射入的电子满足的条件. 对这些时刻射入的电子，在一个周期内侧向位移（即[vy-t]图中所画阴影部分的面积）为
[y=2×12×eU0md×T22=eU0l24n2mdv20]
在[t=nT]内，总侧移[y总=ny],当[y总≤d2]时，电子均可飞出板间电场，即
[n⋅eU0l24n2mdv20≤d2]
解得 [U0≤2nmd2v20el2]([n]＝1、2、……)
点评 本题关键是分析带电粒子在两个方向上的受力情况和不同阶段的运动情况. 要特别注意粒子在不同时刻进入电场,它的运动情况会有明显差别.
二、带电粒子垂直射入锯齿波形的交变电场
例2 如图3所示，一个水平放置的平行板电容器，极板长[L＝]20cm、板间距[d＝]2cm. 在两极板[AB]间加上图4的脉冲电压（[A]板电势高于[B]板电势），板右侧紧靠电容器竖直放置一个挡板[D]，板左侧有一个连续发出相同带电微粒的粒子源[S]，所产生的带电微粒质量[m=]2×10－8kg、电荷量[q=]＋2.5×10－7C，且正好沿两极板正中间平行于极板的速度[v0＝]500m/s射入电容器，由于粒子通过电容器的时间极短，可认为此过程中[AB]两板间电压不变（微粒重力不计）. 求：
（1）[t＝0]时刻进入平行板间的微粒最后击中挡板的位置；
（2）哪些时刻进入平行板间的微粒击中挡板的动能最大，这些粒子在电场中动能变化多大.
解析 （1）[t＝0]时刻加在电容两极板间的电压[U0＝]100V，粒子在入射方向上偏移的距离为[y=12qU0mdLv02]＝5×10－3m，即[t＝0]时刻，通过电容器的微粒，击中挡板中点[O]的下方0.5cm处.
（2）微粒偏离入射方向的距离为[12d]时击中挡板的动能最大. 设此时加在[AB]两板上的电压为[Ux]，则[12d=12qUxmdLv02]，解得[Ux=md2v20qL2]＝200V，从图中可知当[t＝]0.05＋0.1n（s）（其中[n＝]0、1、2、3、……）时刻加在电容器两极板间的电压为200V，这些时刻进入电容器并击中挡板的微粒动能最大. 这些微粒在电场中的动能变化为
[ΔEk=12qUx]＝2. 5×10－5J.
点评 粒子通过电容器的时间极短，可认为粒子在通过电容器的时间内电容器两极板间的电场为匀强电场，粒子的运动就是类平抛运动，将电子在极短时间内穿越交变电场的情景转化为穿越恒定电场的情景.
三、带电粒子垂直射入正弦式交变电场中
例3 在真空中速度为[v0=6.4×107m/s]的电子束连续地沿板的方向射入两平行极板之间，如图5，极板长度为[l=8.0×10-2m]，间距为[d=5.0×10-3]m. 两极板不带电时，电子束将沿两极板的中线通过，今在两极板上加50Hz的交变电压[U=U0sinωt]，当所加电压的最大值[U0]超过某一值[UC]时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过极板，有时不能通过极板（电子质量[m=0.9×10-30]kg，电子电量[e=1.60×10-19C]）. 求： 图5
（1）[UC]的大小；
（2）当[U0]为何值时才能使电子束通过的时间[Δt通]跟间断的时间[Δt断]之比是2∶1？
解析 （1）单个电子通过平行板的时间为
[t=lv0=8.0×10-26.4×107s≈1×10-9s]
交变电压的周期[T=1f=0.02s].
因[t≤T]，故单个电子通过平行板间电场的极短时间内，可近似认为极板间电压未变，电场未变，从而可按匀强电场处理.
电子在峰值电压下通过电场时的侧向位移
[y=12at2=eU2dm(lv0)2].
很明显，当[y≥d2]时，电子将不能通过两极板，而是打在某极板上，即有[eU2dm(lv0)2≥d2]
解得[U≥mv02d2el2≈91V].
因为板间电压是峰值[UC]时，电子恰好打在极板的边缘上，所以当板间电压小于[UC]时，电子肯定能通过. 但当[U0>91V]时，就会出现有时有电子通过，有时没有电子通过的现象.
图6
（2）画出交变电压的[U－t]图，并在图上标明有电子通过的时间段（阴影区），如图6，由[Δt通∶Δt断=2∶1，][在14T]内，应有
[t1=23×T4=T6]，则[ωt1=2πT×T6=π3]
从而[UC=U0sinπ3]
解得[U0=UCsinπ3≈105V].
点评 解决本题时要注意题目中隐含条件的挖掘，从“两极板不带电时，电子束将沿两极板之间中线通过”可知电子束间相互作用可忽略，电子重力可忽略；电子通过极板时间远远小于交流电周期，因此电子通过极板区的正弦交变电场在[t]时间内可理想化为匀强电场.