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函数是数学大厦的“基石”．函数，无论作为知识点还是作为思想方法，都是高考命题的“重中之重”，而函数综合题通常以压轴题的“身份”粉墨登场于高考卷．俗话说：“知己知彼，百战不殆”，那么，在高考函数将以何种形式出现呢？让我们一起与它“过过招”吧！
◆ 1. 填空题中的函数问题
要解好填空题，不仅要有合理的分析和判断，将结果表达的准确、完整，而且还要有良好的信息感、数据感，“快速”答题是关键．如果解答一个填空题时是“超时”答对的，那么就意味着你已隐性丢分了，因为这占用了解答别的题目的时间,因此，解答函数填空题，一定要讲究方法．
例1 若直线y=2a与函数y = |ax－1| (a＞0，a≠1)的图象有两个公共点，则a的范围是______．
解析：(1)当a＞1时，如图①，两图象不可能有两个交点．
(2)当0＜a＜1时，如图②，若两图象有两个交点，则须有0＜2a＜1，解得0＜a＜12．
点评：方程与函数有着必然的联系，因此，借助于数形结合研究方程根的问题使结论变得更加直观明了．利用函数图象，数形结合，可以避免解方程的复杂运算，简化解题过程．利用数学对象的数量特征与其图象之间的关系，充分发挥形的直观性和数的精确性作用，并使之有机地结合、互补，从而体现出数形结合快速解题的魅力．
◆ 2．三个二次问题
二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起．以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位．
例2 设p：函数f(x)=x2－4tx+4t2+2在区间上的最小值为2，q：t2－(2m+1)t+m(m+1)≤0．若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：∵f(x)=x2－4tx+4t2+2=(x－2t)2+2在区间上的最小值为2，
∴1≤2t≤2，即12≤t≤1．
由t2－(2m+1)t+m(m+1)≤0，得m≤t≤m＋1．
∵p是q的必要而不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，
∴12，1〗，∴m≤12,m+1≥1. 0≤m≤12．
点评：此题结合集合与常用逻辑用语等内容，构筑成知识网络型代数推理题．由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题．
◆ 3．函数单调性问题
函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考试题中，考查或利用函数单调性的试题屡见不鲜，既可以考察用定义判断函数的单调性，用反例否定函数不是单调函数，求单调区间等问题，又可以考查利用函数的单调性求应用题中的最值问题．
例3 已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0,a≠1)的图象关于y = x对称，记g(x)=f(x)，若y=g(x)在区间12，2〗上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：由题意得f(x)=logax，已知函数可视为由g(u)=u2+(loga2－1)u及u(x)=logax复合而成的．当a＞1时，u(x)=logax为增函数，要使原函数在12，2〗上是增函数，只需g(u)=u2+(loga2－1)u在12，loga2〗上递增即可，故由二次函数得：1－loga22≤loga12，此时不等式无解；当0＜a＜1时，u(x)=logax为减函数，要使原函数在12，2〗上是增函数，只需g(u)=u2+(loga2－1)u在上递减即可，故由二次函数得：1－loga22≥loga12，解之得0＜a≤12．
点评：函数的单调性是探索函数值域或最值的常用工具，是函数思想在解题中具体体现，应当引起重视．解答本题需用复合函数的单调性的方法，即利用复合函数同增异减的原则求解．
◆ 4. 抽象函数问题
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．
例4 函数y=f(x)(x∈R)满足：对一切x∈R，f(x)＞0，f(x+1)=7－f2(x)．当x∈时，f(x)=x+2,(0≤x<12)2.(12≤x<1) ，求f(2009－2)的值．
解析：由已知得f2(x+1)＋f2(x)= 7，故f2(x)＋f2(x－1)=7，
两式相减得：f2(x－1)=f2(x+1)，①
由于对一切x∈R，f(x)＞0，所以由f2(x－1)=f2(x+1)得：f(x－1)=f(x+1)，
再用x＋1替换x得f(x)=f(x+2)，
故函数y=f(x)是以2为周期的函数，从而f(2009－2)=f(1－2)，
由f2(x+1)＋f2(x)= 7得f2(2－2)＋f2(1－2)=7，②
而12≤2－2＜1，故f(2－2)=2代入②得f(1－2)=3．
点评：由于这种表现形式的抽象性，使得直接求解思路难寻．解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即可以赋予恰当的数值，经过运算与推理，最后得出相关(比如，此例中的函数周期性)结论．
◆ 5．函数与方程综合问题
函数与方程思想是高中数学中最基本的却又是最重要的思想方法之一，在高考考查中占有非常重要的地位．函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或从题目的条件出发，通过联想，构造函数模型，利用函数的性质(定义域、值域，单调性、奇偶性，周期性等)和图象从而使问题获得解决．而方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
例5 设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0成立，则称以(x0，x0)为坐标的点是函数图象上的“稳定点”．
(1)若函数f(x)=3x－1x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点，试求实数a的取值范围；
(2)已知定义在实数集上的奇函数f(x)存在有限个稳定点，求证：f(x)必有奇数个稳定点．
解析：(1)函数f(x)=3x－1x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点方程x2+(a－3)x+1=0有两个不等于－a的相异实根Δ=(a－3)2－4>0,(－a)2+(a－3)(－a)+1≠0. a＞5或a＜－13．
(2)首先，(0，0)是f(x)的一个稳定点．另外，当m≠0，且(m，n)是f(x)的一个稳定点时，必有f(m)=m，所以，f(－m)=－m，即(－m，－m)也是f(x)的一个稳定点．
所以，如果奇函数f(x)存在有限个稳定点，则f(x)必有奇数个稳定点．
点评：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决．也就是说，对于函数y =f(x)，当y = 0时，就转化为方程f(x)= 0；反之，也可以把函数式y =f(x)看作二元方程y－f(x)= 0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要．函数“不动点”实质上就是对应方程的根，这样，函数与方程这二者就有机地结合在一起．此类问题属于信息迁移题，读懂题意，把新概念理解消化是解题关键．
◆ 6.函数与导数综合问题
我们知道，函数是导数的研究对象．导数是研究函数的通用、有效、简便的工具．用导数研究函数性质、可以帮助我们进一步理解函数概念和性质，同时为我们解决函数问题开辟了一条“绿色通道”．因此，尽管导数是新课标的选修内容，但利用导数研究函数的性质依然是高考的命题热点，主要考点有简单的函数求导和利用导数求曲线的切线斜率；利用导数求函数的单调区间，应用导数求函数的极值和最值；应用导数解决实际问题等.
例6 已知f(x)=xlnx,g(x)=－x2+ax－3.
（1）求函数f(x)在(t>0)上的最小值;
（2）对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围;
（3）证明对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1ex－2ex成立.
解析：（1）f′(x)=lnx+1，当x∈(0,1e)时f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0时，f(x)单调递增．于是，当0 ∴f(x)min=-1e,0 （2）2xlnx≥－x2+ax－3，则a≤2lnx+x+3x,设h(x)=2lnx+x+3x(x>0)，
则h′(x)=(x+3)(x－1)x2,x∈(0,1),h′(x)<0，h(x)单调递增，x∈(1,+∞)，h′(x)>0，h(x)单调递减， ∴h(x)min=h(1)=4，因为对一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，∴a≤h(x)min=4.
（3）问题等价于证明xlnx>xex－2e，x∈(0,+∞)，
由（1）可知f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)的最小值为－1e，当且仅当x=1e时取得.
设m(x)=xex－2e，x∈(0,+∞)，则m′(x)=1－xex，易得m(x)max=m(1)=－1e．当且仅当x=1时取得，从而对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1ex－2xe成立．
点评：利用导数处理不等式问题，是近几年高考命题的一个热点，这类问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题．
（作者:王佩其,江苏省太仓高级中学）
关于清华的小笑话
1.一个清华的、一个北大的、一个复旦的去圆明园。看完圆明园主题教育视频后，三个人都怒火中烧：
清华的：万恶的英法联军！
北大的：万恶的腐败清廷！
复旦的：万恶的售票处，多花15块的通票原来就多看这么一视频！
2.校庆期间，一个志愿者为一个老人指路，顺便开玩笑说：
“老先生，您知道二教闹鬼么？”
那个老人瞟了他一眼：
“我都在二教为祖国工作100年了，我能不知道二教闹鬼么？”
3.两个带着孩子的电子系的校友碰到了一起。
校友甲：哟，瞧您这孩子，长得真鲁棒！
校友乙：哪里哪里，还得说是您这孩子长得有信息量。
【鲁棒：Robust，也翻译为健壮；有信息量：按信息论，指小概率事件，意指长得很奇特。】
4.清华歌手大赛上，有一个组合有一个计算机系的，一个电子系的，一个自动化系的。他们上场说：
“大家好，我们是信乐团。”
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
◆ 1. 填空题中的函数问题
要解好填空题，不仅要有合理的分析和判断，将结果表达的准确、完整，而且还要有良好的信息感、数据感，“快速”答题是关键．如果解答一个填空题时是“超时”答对的，那么就意味着你已隐性丢分了，因为这占用了解答别的题目的时间,因此，解答函数填空题，一定要讲究方法．
例1 若直线y=2a与函数y = |ax－1| (a＞0，a≠1)的图象有两个公共点，则a的范围是______．
解析：(1)当a＞1时，如图①，两图象不可能有两个交点．
(2)当0＜a＜1时，如图②，若两图象有两个交点，则须有0＜2a＜1，解得0＜a＜12．
点评：方程与函数有着必然的联系，因此，借助于数形结合研究方程根的问题使结论变得更加直观明了．利用函数图象，数形结合，可以避免解方程的复杂运算，简化解题过程．利用数学对象的数量特征与其图象之间的关系，充分发挥形的直观性和数的精确性作用，并使之有机地结合、互补，从而体现出数形结合快速解题的魅力．
◆ 2．三个二次问题
二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起．以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位．
例2 设p：函数f(x)=x2－4tx+4t2+2在区间上的最小值为2，q：t2－(2m+1)t+m(m+1)≤0．若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：∵f(x)=x2－4tx+4t2+2=(x－2t)2+2在区间上的最小值为2，
∴1≤2t≤2，即12≤t≤1．
由t2－(2m+1)t+m(m+1)≤0，得m≤t≤m＋1．
∵p是q的必要而不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，
∴12，1〗，∴m≤12,m+1≥1. 0≤m≤12．
点评：此题结合集合与常用逻辑用语等内容，构筑成知识网络型代数推理题．由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题．
◆ 3．函数单调性问题
函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考试题中，考查或利用函数单调性的试题屡见不鲜，既可以考察用定义判断函数的单调性，用反例否定函数不是单调函数，求单调区间等问题，又可以考查利用函数的单调性求应用题中的最值问题．
例3 已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0,a≠1)的图象关于y = x对称，记g(x)=f(x)，若y=g(x)在区间12，2〗上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：由题意得f(x)=logax，已知函数可视为由g(u)=u2+(loga2－1)u及u(x)=logax复合而成的．当a＞1时，u(x)=logax为增函数，要使原函数在12，2〗上是增函数，只需g(u)=u2+(loga2－1)u在12，loga2〗上递增即可，故由二次函数得：1－loga22≤loga12，此时不等式无解；当0＜a＜1时，u(x)=logax为减函数，要使原函数在12，2〗上是增函数，只需g(u)=u2+(loga2－1)u在上递减即可，故由二次函数得：1－loga22≥loga12，解之得0＜a≤12．
点评：函数的单调性是探索函数值域或最值的常用工具，是函数思想在解题中具体体现，应当引起重视．解答本题需用复合函数的单调性的方法，即利用复合函数同增异减的原则求解．
◆ 4. 抽象函数问题
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．
例4 函数y=f(x)(x∈R)满足：对一切x∈R，f(x)＞0，f(x+1)=7－f2(x)．当x∈时，f(x)=x+2,(0≤x<12)2.(12≤x<1) ，求f(2009－2)的值．
解析：由已知得f2(x+1)＋f2(x)= 7，故f2(x)＋f2(x－1)=7，
两式相减得：f2(x－1)=f2(x+1)，①
由于对一切x∈R，f(x)＞0，所以由f2(x－1)=f2(x+1)得：f(x－1)=f(x+1)，
再用x＋1替换x得f(x)=f(x+2)，
故函数y=f(x)是以2为周期的函数，从而f(2009－2)=f(1－2)，
由f2(x+1)＋f2(x)= 7得f2(2－2)＋f2(1－2)=7，②
而12≤2－2＜1，故f(2－2)=2代入②得f(1－2)=3．
点评：由于这种表现形式的抽象性，使得直接求解思路难寻．解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即可以赋予恰当的数值，经过运算与推理，最后得出相关(比如，此例中的函数周期性)结论．
◆ 5．函数与方程综合问题
函数与方程思想是高中数学中最基本的却又是最重要的思想方法之一，在高考考查中占有非常重要的地位．函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或从题目的条件出发，通过联想，构造函数模型，利用函数的性质(定义域、值域，单调性、奇偶性，周期性等)和图象从而使问题获得解决．而方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
例5 设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0成立，则称以(x0，x0)为坐标的点是函数图象上的“稳定点”．
(1)若函数f(x)=3x－1x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点，试求实数a的取值范围；
(2)已知定义在实数集上的奇函数f(x)存在有限个稳定点，求证：f(x)必有奇数个稳定点．
解析：(1)函数f(x)=3x－1x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点方程x2+(a－3)x+1=0有两个不等于－a的相异实根Δ=(a－3)2－4>0,(－a)2+(a－3)(－a)+1≠0. a＞5或a＜－13．
(2)首先，(0，0)是f(x)的一个稳定点．另外，当m≠0，且(m，n)是f(x)的一个稳定点时，必有f(m)=m，所以，f(－m)=－m，即(－m，－m)也是f(x)的一个稳定点．
所以，如果奇函数f(x)存在有限个稳定点，则f(x)必有奇数个稳定点．
点评：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决．也就是说，对于函数y =f(x)，当y = 0时，就转化为方程f(x)= 0；反之，也可以把函数式y =f(x)看作二元方程y－f(x)= 0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要．函数“不动点”实质上就是对应方程的根，这样，函数与方程这二者就有机地结合在一起．此类问题属于信息迁移题，读懂题意，把新概念理解消化是解题关键．
◆ 6.函数与导数综合问题
我们知道，函数是导数的研究对象．导数是研究函数的通用、有效、简便的工具．用导数研究函数性质、可以帮助我们进一步理解函数概念和性质，同时为我们解决函数问题开辟了一条“绿色通道”．因此，尽管导数是新课标的选修内容，但利用导数研究函数的性质依然是高考的命题热点，主要考点有简单的函数求导和利用导数求曲线的切线斜率；利用导数求函数的单调区间，应用导数求函数的极值和最值；应用导数解决实际问题等.
例6 已知f(x)=xlnx,g(x)=－x2+ax－3.
（1）求函数f(x)在(t>0)上的最小值;
（2）对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围;
（3）证明对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1ex－2ex成立.
解析：（1）f′(x)=lnx+1，当x∈(0,1e)时f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0时，f(x)单调递增．于是，当0
则h′(x)=(x+3)(x－1)x2,x∈(0,1),h′(x)<0，h(x)单调递增，x∈(1,+∞)，h′(x)>0，h(x)单调递减， ∴h(x)min=h(1)=4，因为对一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，∴a≤h(x)min=4.
（3）问题等价于证明xlnx>xex－2e，x∈(0,+∞)，
由（1）可知f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)的最小值为－1e，当且仅当x=1e时取得.
设m(x)=xex－2e，x∈(0,+∞)，则m′(x)=1－xex，易得m(x)max=m(1)=－1e．当且仅当x=1时取得，从而对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1ex－2xe成立．
点评：利用导数处理不等式问题，是近几年高考命题的一个热点，这类问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题．
（作者:王佩其,江苏省太仓高级中学）
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1.一个清华的、一个北大的、一个复旦的去圆明园。看完圆明园主题教育视频后，三个人都怒火中烧：
清华的：万恶的英法联军！
北大的：万恶的腐败清廷！
复旦的：万恶的售票处，多花15块的通票原来就多看这么一视频！
2.校庆期间，一个志愿者为一个老人指路，顺便开玩笑说：
“老先生，您知道二教闹鬼么？”
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“我都在二教为祖国工作100年了，我能不知道二教闹鬼么？”
3.两个带着孩子的电子系的校友碰到了一起。
校友甲：哟，瞧您这孩子，长得真鲁棒！
校友乙：哪里哪里，还得说是您这孩子长得有信息量。
【鲁棒：Robust，也翻译为健壮；有信息量：按信息论，指小概率事件，意指长得很奇特。】
4.清华歌手大赛上，有一个组合有一个计算机系的，一个电子系的，一个自动化系的。他们上场说：
“大家好，我们是信乐团。”
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文