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近几年的初中学业考试试题中，三角形旋转问题成为热门试题，本人在九年级第二轮复习课中进行了一次三角形旋转问题的公开课活动。有一些体会和收获与大家分享。具体如下：
一、创设情境，引入课题
同学们对三角板都非常熟悉，经常用到，三角板中有许多数学问题同学们知道吗?这节课老师特制了一个三角板，通过它的旋转将展现很多数学问题(几何画板演示)，引入课题。
设计意图：通过学生熟悉的三角板人手，利用特制三角板的旋转将提出许多数学问题。留下悬念，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣。
二、展示基本图形，复习基础知识和基本技能
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3。
(1)你可以得到哪些结论?
结论有：AB＝5，∠A+∠B＝90°，AC2＋BC2＝AB2；
sinA＝3／5，cosA＝4／5，tanA＝3／4；也可以求出∠B的三角函数值等等。
设计意图：此题为开放题，主要是想复习勾股定理和锐角三角函数知识。
学生想到三角函数值不多，课后觉得问题改为“求出AB的长以及你可以得到哪些三角函数值?”。这样设计目标明确，学生容易着手。
(2)如图2，若作CD上AB于D，有哪些锐角相等?并求出CD的长。
设计意图：复习直角三角形作斜边上的高后的两对锐角相等以及利用三角形的面积公式求斜边上的高。
(3)如图3，若CD是斜边AB上的中线，有哪些线段相等，哪些角相等?
设计意图：复习直角三角形斜边上的中线的性质。
课后反思：上了这节课之后，觉得以上的复习是十分必要的，为下面探索三角形旋转问题打下良好的基础，是知识的储备部分。
三、三角形旋转问题的探索(以下探索都利用几何画板展示)
3.1基础知识的探索：
已知：如图4。△ABC与△ABC完全重合，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
△ABC绕点C顺时针旋转α度(0<<90)，射线CB'与AB交于D，AB与AC交于E，射线AB与AB交于F。
探索一：如图5，当CD上AB时，图中哪些角与∠A相等?图中有哪些三角形是等腰三角形?
探索二：如图6，当D为AB中点时，有哪些三角形与△ABC相似?
设计意图与课后感想：运用基本图形和基础知识来解决以上两个探索，利用以上两个探索进行热身活动，熟悉三角形旋转变化的多样性。由于前面基本图形的有关知识作铺垫，大部分学生能回答。这样的设计能让学生感受到三角形旋转问题也不是很难，有利于提高学生的自信心。
3.2 等腰三角形的探索：探索三：在旋转过程中，当△BCD为等腰三角形时，求此时BD的长。
当BD＝BC＝3时，△BCD为等腰三角形；
当BD＝CD时，△BCD为等腰三角形，此时D为AB中点，所以BD＝5／2
当BC＝CD时，△BCD为等腰三角形，作CG上AB于G(如图7)，则CG＝12／5，所以BG＝9／5，BD＝2BG＝18／5。
设计意图与课后感想：考查学生分析问题和解决问题的能力，
学会运用分类讨论思想，等腰三角形一般分3类讨论：可以分边或角讨论，此题利用边进行3种讨论。学生能够想出1、2种答案，回答完整不多。此题可以体现出学生之间的能力差异，让学有余力的学生感受到解题成功后的那种成就感和幸福感，让其他学生感受到自己也能想出1、2种情况，也不差，还行，还需努力。
3.3 相似三角形的探索：探索四：在旋转过程中，是否存在点D，使△BCD与△B'CE相似?若存在，求此时BID的长；若不存在，请说明理由。
∵∠B＝∠B，∠BDC>∠ACD
∴只有当∠ACD＝∠BCD＝45。时，△BCD∽△BCE。
作DM⊥BC于M(如图8)
设BD＝x
则BM＝BD cosB＝3／5，DM＝BD sinB＝4／5x
∴CM＝DM＝4／5x
∴BC＝7／5，x=3
∴BD＝x＝15／7设计思路：在△BCD与△BCE中，已知
∠B＝∠B，所以只要再找一对角相等即可使△BCD与△BCE相似。这样就可以分两类讨论：
①当∠ACD＝∠BDC时(由于∠BDC>∠ACD，所以此时不可能)
②当∠ACD＝∠BCD时，△BCD∽△BCE。
也是运用了分类讨论思想。求BD时，BD不能直接求得，应设BD＝x，然后建立方程，再求出x，运用了方程的思想；此题还利用了三角形的高线这种常用辅助线。
探索五：在旋转过程中，是否存在点D，使△BCD与△ACE相似?请说明理由。
由于∠BCD＝∠ACE，所以分两类讨论：
①当∠B＝∠A时(由于∠B>∠A＝∠A，所以此时不可能)
②当∠BDC＝∠A时(由于∠BDC>∠A＝∠A，所以此时也不可能)
所以△BCD与△ACE不可能相似。
课后感想：以上两个都是有关相似三角形的探索，一个是存在，而另一个是不存在，通过学生之间的合作交流，教师的引导，学生能够认识到两个探索的思想方法是一致的，都是运用了分类讨论思想，这两个探索都是利用角进行讨论；教师及时给予点拨，有些题目要利用边进行讨论。使学生认识到通过分类讨论可以把复杂问题简单化，然后利用基本图形和基础知识解决问题。
四、作业：
请同学们回去思考以下几个探索：
探索六：在旋转过程中，当△ACE为等腰三角形时，求此时CE的长。
探索七：在旋转过程中，把△BCD与△ACE都分割成两个三角形，使△BCD分割成的两个三角形分别与△ACE分割成的两个三角形相似(用两种方法分割)。
探索八：在旋转过程中，设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式。
设计意图：巩固与提高。
五、效果与反思
这节课涉及到的知识面很广，如：勾股定理、三角函数、三角形面积公式、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形性质与判定、相似三角形性质与判定等知识；思想方法有：分类讨论思想、方程思想等；常用辅助线有：作三角形的高；基本图形有：3种。让学生在图形的变换中寻找其变化规律，进行观察、猜测、探索、归纳总结和计算论证；帮助学生形成运动的观点，从运动中找出变化规律，从变化中发现不变的关系；培养学生学会并掌握分类讨论、方程与函数、转化和建模思想等。数学解题的过程是不断转化问题的过程，不断地把未知问题转化为已知问题，把陌生问题转化为熟悉问题，把复杂问题转化为简单问题。升华转化意识，发展转化能力，促进终身学习受益。
一、创设情境，引入课题
同学们对三角板都非常熟悉，经常用到，三角板中有许多数学问题同学们知道吗?这节课老师特制了一个三角板，通过它的旋转将展现很多数学问题(几何画板演示)，引入课题。
设计意图：通过学生熟悉的三角板人手，利用特制三角板的旋转将提出许多数学问题。留下悬念，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣。
二、展示基本图形，复习基础知识和基本技能
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3。
(1)你可以得到哪些结论?
结论有：AB＝5，∠A+∠B＝90°，AC2＋BC2＝AB2；
sinA＝3／5，cosA＝4／5，tanA＝3／4；也可以求出∠B的三角函数值等等。
设计意图：此题为开放题，主要是想复习勾股定理和锐角三角函数知识。
学生想到三角函数值不多，课后觉得问题改为“求出AB的长以及你可以得到哪些三角函数值?”。这样设计目标明确，学生容易着手。
(2)如图2，若作CD上AB于D，有哪些锐角相等?并求出CD的长。
设计意图：复习直角三角形作斜边上的高后的两对锐角相等以及利用三角形的面积公式求斜边上的高。
(3)如图3，若CD是斜边AB上的中线，有哪些线段相等，哪些角相等?
设计意图：复习直角三角形斜边上的中线的性质。
课后反思：上了这节课之后，觉得以上的复习是十分必要的，为下面探索三角形旋转问题打下良好的基础，是知识的储备部分。
三、三角形旋转问题的探索(以下探索都利用几何画板展示)
3.1基础知识的探索：
已知：如图4。△ABC与△ABC完全重合，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
△ABC绕点C顺时针旋转α度(0<<90)，射线CB'与AB交于D，AB与AC交于E，射线AB与AB交于F。
探索一：如图5，当CD上AB时，图中哪些角与∠A相等?图中有哪些三角形是等腰三角形?
探索二：如图6，当D为AB中点时，有哪些三角形与△ABC相似?
设计意图与课后感想：运用基本图形和基础知识来解决以上两个探索，利用以上两个探索进行热身活动，熟悉三角形旋转变化的多样性。由于前面基本图形的有关知识作铺垫，大部分学生能回答。这样的设计能让学生感受到三角形旋转问题也不是很难，有利于提高学生的自信心。
3.2 等腰三角形的探索：探索三：在旋转过程中，当△BCD为等腰三角形时，求此时BD的长。
当BD＝BC＝3时，△BCD为等腰三角形；
当BD＝CD时，△BCD为等腰三角形，此时D为AB中点，所以BD＝5／2
当BC＝CD时，△BCD为等腰三角形，作CG上AB于G(如图7)，则CG＝12／5，所以BG＝9／5，BD＝2BG＝18／5。
设计意图与课后感想：考查学生分析问题和解决问题的能力，
学会运用分类讨论思想，等腰三角形一般分3类讨论：可以分边或角讨论，此题利用边进行3种讨论。学生能够想出1、2种答案，回答完整不多。此题可以体现出学生之间的能力差异，让学有余力的学生感受到解题成功后的那种成就感和幸福感，让其他学生感受到自己也能想出1、2种情况，也不差，还行，还需努力。
3.3 相似三角形的探索：探索四：在旋转过程中，是否存在点D，使△BCD与△B'CE相似?若存在，求此时BID的长；若不存在，请说明理由。
∵∠B＝∠B，∠BDC>∠ACD
∴只有当∠ACD＝∠BCD＝45。时，△BCD∽△BCE。
作DM⊥BC于M(如图8)
设BD＝x
则BM＝BD cosB＝3／5，DM＝BD sinB＝4／5x
∴CM＝DM＝4／5x
∴BC＝7／5，x=3
∴BD＝x＝15／7设计思路：在△BCD与△BCE中，已知
∠B＝∠B，所以只要再找一对角相等即可使△BCD与△BCE相似。这样就可以分两类讨论：
①当∠ACD＝∠BDC时(由于∠BDC>∠ACD，所以此时不可能)
②当∠ACD＝∠BCD时，△BCD∽△BCE。
也是运用了分类讨论思想。求BD时，BD不能直接求得，应设BD＝x，然后建立方程，再求出x，运用了方程的思想；此题还利用了三角形的高线这种常用辅助线。
探索五：在旋转过程中，是否存在点D，使△BCD与△ACE相似?请说明理由。
由于∠BCD＝∠ACE，所以分两类讨论：
①当∠B＝∠A时(由于∠B>∠A＝∠A，所以此时不可能)
②当∠BDC＝∠A时(由于∠BDC>∠A＝∠A，所以此时也不可能)
所以△BCD与△ACE不可能相似。
课后感想：以上两个都是有关相似三角形的探索，一个是存在，而另一个是不存在，通过学生之间的合作交流，教师的引导，学生能够认识到两个探索的思想方法是一致的，都是运用了分类讨论思想，这两个探索都是利用角进行讨论；教师及时给予点拨，有些题目要利用边进行讨论。使学生认识到通过分类讨论可以把复杂问题简单化，然后利用基本图形和基础知识解决问题。
四、作业：
请同学们回去思考以下几个探索：
探索六：在旋转过程中，当△ACE为等腰三角形时，求此时CE的长。
探索七：在旋转过程中，把△BCD与△ACE都分割成两个三角形，使△BCD分割成的两个三角形分别与△ACE分割成的两个三角形相似(用两种方法分割)。
探索八：在旋转过程中，设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式。
设计意图：巩固与提高。
五、效果与反思
这节课涉及到的知识面很广，如：勾股定理、三角函数、三角形面积公式、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形性质与判定、相似三角形性质与判定等知识；思想方法有：分类讨论思想、方程思想等；常用辅助线有：作三角形的高；基本图形有：3种。让学生在图形的变换中寻找其变化规律，进行观察、猜测、探索、归纳总结和计算论证；帮助学生形成运动的观点，从运动中找出变化规律，从变化中发现不变的关系；培养学生学会并掌握分类讨论、方程与函数、转化和建模思想等。数学解题的过程是不断转化问题的过程，不断地把未知问题转化为已知问题，把陌生问题转化为熟悉问题，把复杂问题转化为简单问题。升华转化意识，发展转化能力，促进终身学习受益。