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数学课堂的核心追求应该是努力让每个学生形成自己关于数学学科的自由而深刻的思维品质。这种思维品质的培养需要借助问题的提出和解决。通过问题，让学生主动探究、发现数学的內在规律，认识和理解数学的本质。本文结合苏教版《数学（必修1）》第二章“含参数的二次函数在闭区间上的最值”一课，谈谈如何巧设问题，促进学生数学思维的自然发展。
一、教学内容分析
学生在初中阶段主要学习了二次函数的概念，二次函数解析式的几种形式（顶点式、交点式、一般式），二次函数的图像以及简单的二次函数求最值问题。此阶段主要是从静态的角度研究二次函数。而含参数的二次函数主要从动态角度继续研究，它与不等式、数列、导数等章节有着密切的联系，是高中数学中一个极其重要的内容，也是高考的热点问题。为此，学生必须把二次函数基础问题理解透彻，才能灵活处理。这一节课是含参数的二次函数在闭区间上的最值，希望通过学生自己动手，在处理问题的过程中加深对函数在闭区间上的最值问题的理解，同时感受新的学习方式所带来的乐趣，将学习过程中所习得的方法迁移到定轴动区间、动轴动区间以及已知最值求参数的问题中。
二、学情分析
学生在初中已经接触过二次函数的相关问题，具备了一定的归纳、转化、类比能力。但是一遇到函数问题，很多学生就会学习信心不足，对本节课内容的学习也或多或少有些恐惧感。
本节课的重难点是掌握含参数的二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间）的求法。需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师是潜在的更高级的力量，让学生在学习的过程中加深理解并增加学习数学的兴趣。通过小组合作探究，让学生勇敢探索和灵活运用类比、分类讨论、转化、数形结合等数学思想方法。
三、教学设计思想
本节课的教学目标是根据二次函数的图像和性质，掌握含参数的二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间）的求法并会迁移；在学习的过程中，体会分类讨论和数形结合的思想方法；通过丰富的多媒体展示，体验数学活动具有探索性和创造性，培养学生良好的思维习惯。
学生是学习的主体，本节课笔者采用小组合作探究的教学方法，为学生提供各种参与课堂活动的机会，调动学生学习的积极性。本节课的教学中，笔者引导学生从基本的二次函数在已知闭区间上的最值出发，通过添加参数，不断地变动区间和函数的开口方向，总结出二次函数在闭区间上求最值问题的基本解题思路。在重难点上，巧妙分层设计问题，启发并拓展学生的思维。
四、教学媒体设计
利用几何画板演示动轴定区间问题，直观形象地展示对称轴变动的过程，函数的最值如何变化；利用PPT制作教学课件展示主体研究内容，以变式问题锻炼学生的思维，提高学生的能力。
五、教学过程设计
1.创设情境，导入新知
问题1 函数f（x）=x2+2x一3在闭区间[0，2]上的最小值是-3，最大值是5。
函数f（x）=-x2+2x-3在闭区间[-2，2]上的最小值是-11，最大值是-2。
问题2 想一想：二次函数在闭区间上的最值与哪些因素有关？
[设计意图]通过对二次函数定轴定区间问题的复习回顾，抓住影响二次函数在闭区间上的最值的因素（如开口方向、对称轴、区间），为后面解决含参数的二次函数在闭区间上的最值作好铺垫。这部分内容可以放在学生的预习学案上，让学生课前完成。
2.分组研讨，探究新知
问题3 求函数f（x）=x2+2ax-3在闭区间[-2，2]上的最小值。（用a表示）
小组展示：f（x）=（x+a）2-a2-3。（配几何画板演示，直观清晰）
对称轴是直线x=-n。
①当-a<-2即a>2（如图1）时，f（x）在[-2，2]上单调递增，
所以f（x）min=f（-2）=-4a+1。
②当-2≤-a<2即-2 f（x）min=f（-a）=-a2-3。
③当-a≥2即a≤-2（如图3）时，
f（x）在[-2，2]上单调递减，
f（x）min=f（2）=-4a+1。
[设计意图]问题3是前面两小题的变式，给函数的一次项系数添上参数，那么函数的对称轴就动起来了，它与区间的相对位置不确定，因此需要进行分类讨论解决问题。在具体解题的过程中，需要画图像，在传统教学中多以教师手工绘图为主，但是手工绘图有不精确、速度慢的弊端，更主要的是图像画到写字板上是固定的，不能动态地体现函数变量之间的变化关系。应用几何画板快速、直观地显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果。
学生在分组展示时，能基本写出结果，但是教师需要在课堂上追问帮助学生深刻理解问题的本质：（1）为什么要分类讨论？（对称轴和区间的相对位置不确定）；（2）怎样分类讨论？（按对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论）；（3）检查书写问题（分类讨论有没有做到不重不漏，最终结果有没有写成分段函数的形式）。
问题4求函数f（x）=x2+2ax-3在闭区间[-2，2]上的最大值。（用a表示）
[设计意图]设计一题多解的题目，可以让小组讨论完成。因为解法的多样性，不同学生有了不同的思考方向，在小组讨论中，能互相启发、提示，从而更好地掌握学习内容，增强学习的信心与积极性。问题4是求含参数的二次函数在闭区间上的最大值，学生在分组讨论中精彩纷呈，根据对称轴与区间的相对位置分成四种情况讨论，产生了方法1。 小组展示方法1：f（x）=（x+a）2-a2-3（配几何画板演示），对称轴是直线x=-a。
①當-a<-2即a>2时，
f（z）在[-2，2]上单调递增，
所以f（x）max=f（2）=4a+1。
②当-2≤a<0即0 f（x）max=f（2）=4a+1。
③当0≤-a<2即-2 f（x）max=f（-2）=-4a+1。
④当-a≥2即a≤-2时，
f（x）在[-2，2]上单调递减，
所以f（x）max=f（-2）=-4a+1。
小组1在解完题后，经过反思，能合并的合并以后，发现此题可以分成两种情况讨论，形成方法2。也有小组认为可以通过几何画板演示找到最终分成两类的原因，借助图像观察到，分界点是区间的中点，分类依据是对称轴与区间中点的相对位置，从而发现了方法2。此设计能培养学生善于观察、善于反思、善于归纳总结的好习惯。
总结归纳：含参数的二次函数在闭区间上的最值只有可能在端点处或者顶点处取到。
[设计意图]思考拓展题的设计是为了发散学生的思维，养成积极思考的习惯，一题多解也体现了数学的魅力。学生经过思考，总结出若二次函数的图像开口向上，那么函数的最大值在端点处取到，因此，只要比较f（-2），f（2）的大小，就产生了第三种方法。
根据以上问题3和问题4的探讨，我们再进一步深入思考。
（1）若二次函数的图像开口向上，那么函数的最小值可能在哪里取到？
（2）若二次函数的图像开口向上，那么函数的最大值可能在哪里取到？
问题5
求函数f（x）=-x2+2ax-3在闭区间[-2，2]上的最大值。（用a表示）
[设计意图]问题3和问题4是图像开口向上的二次函数在闭区间上的最值，而对图像开口向下的二次函数在闭区间上的最值并没有涉及，但是处理方式是类似的，以此考查学生举一反三、活学活用的能力。
问题6 已知二次函数f（x）=2x2-（4+k）x+3在区间[-l，1]上的最小值为1，求实数k的值。
[设计意图]问题1～5是根据含参数的二次函数的解析式和区间求最值，而这道题则是已知函数最值求参数的问题，考查学生的逆向思维。思考方法是类似的，方法一通过对称轴与区间的相对位置，可以分成三类讨论，但是如果解析式改成f（x）=2kx2-（4+k）x+3（k≠0）（*），就需要对开口方向再进行讨论，一共分成五类；方法二根据此题抛物线开口方向向上，二次函数的最小值只可能出现在两个端点处和顶点处，展开三类讨论，即使函数改成（*）式，也可以根据最小值可能出现的位置分成三类，分别解出k，再检验是否确实在该处取到最值。
3.问题梳理，畅谈收获
本节课的总结，笔者没有采用传统课堂中的教师提问方式，而是引导学生在组内进行知识梳理、整合、方法提炼，发挥他们的主观能动性，让学生化被动为主动，让课堂从无趣到生动。
六、教学反思
数学教学的本质是促进学生的思维活动，而传统数学课堂中生硬的记忆、反复的练习会阻碍学生数学思维的发展。如何引导学生进行有效的数学探究，让学生的数学思维自然地流淌，关键在于“问题”的设计。结合本节课的问题设计，有以下两点反思。
1.注重问题的整体性
以往的教学设计中突出情境问题的设计来激发学生的兴趣和求知欲，教学过程中的新知呈现方式几乎全是教师讲授，尽管也会问一些简单的问题让学生辨析概念，但这些所谓的问题是随意的、孤立的、无探究性的。这样的教学过程零散、不流畅，影响知识的整体性和思维的系统性，进而影响学生数学思维的发展。本次的教学设计是以6个问题组成的“问题串”引领学生进行连续的、逐步深入的思维活动，从而使整节课构成了一个思维的整体。
2.注重问题的层次性
本节课主要是解决含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，为了突破这个难点，对问题的难度作了分层处理，使问题难度有梯度，适合各层次学生的需要，让学生数学思维自然升华。这种层次不仅是逻辑之间的层次，更主要的是思维过程的生成性。设计思路是由静入动和如何动。课堂上解决的是动轴定区间问题，那么学生自然而然会由这个问题的解决又不断产生新的问题，如：定轴动区间怎么办？动轴动区间怎么办？函数类型变化了怎么办？随着新问题的提出，思维又向前推进。
（责任编辑：李佳）
一、教学内容分析
学生在初中阶段主要学习了二次函数的概念，二次函数解析式的几种形式（顶点式、交点式、一般式），二次函数的图像以及简单的二次函数求最值问题。此阶段主要是从静态的角度研究二次函数。而含参数的二次函数主要从动态角度继续研究，它与不等式、数列、导数等章节有着密切的联系，是高中数学中一个极其重要的内容，也是高考的热点问题。为此，学生必须把二次函数基础问题理解透彻，才能灵活处理。这一节课是含参数的二次函数在闭区间上的最值，希望通过学生自己动手，在处理问题的过程中加深对函数在闭区间上的最值问题的理解，同时感受新的学习方式所带来的乐趣，将学习过程中所习得的方法迁移到定轴动区间、动轴动区间以及已知最值求参数的问题中。
二、学情分析
学生在初中已经接触过二次函数的相关问题，具备了一定的归纳、转化、类比能力。但是一遇到函数问题，很多学生就会学习信心不足，对本节课内容的学习也或多或少有些恐惧感。
本节课的重难点是掌握含参数的二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间）的求法。需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师是潜在的更高级的力量，让学生在学习的过程中加深理解并增加学习数学的兴趣。通过小组合作探究，让学生勇敢探索和灵活运用类比、分类讨论、转化、数形结合等数学思想方法。
三、教学设计思想
本节课的教学目标是根据二次函数的图像和性质，掌握含参数的二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间）的求法并会迁移；在学习的过程中，体会分类讨论和数形结合的思想方法；通过丰富的多媒体展示，体验数学活动具有探索性和创造性，培养学生良好的思维习惯。
学生是学习的主体，本节课笔者采用小组合作探究的教学方法，为学生提供各种参与课堂活动的机会，调动学生学习的积极性。本节课的教学中，笔者引导学生从基本的二次函数在已知闭区间上的最值出发，通过添加参数，不断地变动区间和函数的开口方向，总结出二次函数在闭区间上求最值问题的基本解题思路。在重难点上，巧妙分层设计问题，启发并拓展学生的思维。
四、教学媒体设计
利用几何画板演示动轴定区间问题，直观形象地展示对称轴变动的过程，函数的最值如何变化；利用PPT制作教学课件展示主体研究内容，以变式问题锻炼学生的思维，提高学生的能力。
五、教学过程设计
1.创设情境，导入新知
问题1 函数f（x）=x2+2x一3在闭区间[0，2]上的最小值是-3，最大值是5。
函数f（x）=-x2+2x-3在闭区间[-2，2]上的最小值是-11，最大值是-2。
问题2 想一想：二次函数在闭区间上的最值与哪些因素有关？
[设计意图]通过对二次函数定轴定区间问题的复习回顾，抓住影响二次函数在闭区间上的最值的因素（如开口方向、对称轴、区间），为后面解决含参数的二次函数在闭区间上的最值作好铺垫。这部分内容可以放在学生的预习学案上，让学生课前完成。
2.分组研讨，探究新知
问题3 求函数f（x）=x2+2ax-3在闭区间[-2，2]上的最小值。（用a表示）
小组展示：f（x）=（x+a）2-a2-3。（配几何画板演示，直观清晰）
对称轴是直线x=-n。
①当-a<-2即a>2（如图1）时，f（x）在[-2，2]上单调递增，
所以f（x）min=f（-2）=-4a+1。
②当-2≤-a<2即-2
③当-a≥2即a≤-2（如图3）时，
f（x）在[-2，2]上单调递减，
f（x）min=f（2）=-4a+1。
[设计意图]问题3是前面两小题的变式，给函数的一次项系数添上参数，那么函数的对称轴就动起来了，它与区间的相对位置不确定，因此需要进行分类讨论解决问题。在具体解题的过程中，需要画图像，在传统教学中多以教师手工绘图为主，但是手工绘图有不精确、速度慢的弊端，更主要的是图像画到写字板上是固定的，不能动态地体现函数变量之间的变化关系。应用几何画板快速、直观地显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果。
学生在分组展示时，能基本写出结果，但是教师需要在课堂上追问帮助学生深刻理解问题的本质：（1）为什么要分类讨论？（对称轴和区间的相对位置不确定）；（2）怎样分类讨论？（按对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论）；（3）检查书写问题（分类讨论有没有做到不重不漏，最终结果有没有写成分段函数的形式）。
问题4求函数f（x）=x2+2ax-3在闭区间[-2，2]上的最大值。（用a表示）
[设计意图]设计一题多解的题目，可以让小组讨论完成。因为解法的多样性，不同学生有了不同的思考方向，在小组讨论中，能互相启发、提示，从而更好地掌握学习内容，增强学习的信心与积极性。问题4是求含参数的二次函数在闭区间上的最大值，学生在分组讨论中精彩纷呈，根据对称轴与区间的相对位置分成四种情况讨论，产生了方法1。 小组展示方法1：f（x）=（x+a）2-a2-3（配几何画板演示），对称轴是直线x=-a。
①當-a<-2即a>2时，
f（z）在[-2，2]上单调递增，
所以f（x）max=f（2）=4a+1。
②当-2≤a<0即0
③当0≤-a<2即-2
④当-a≥2即a≤-2时，
f（x）在[-2，2]上单调递减，
所以f（x）max=f（-2）=-4a+1。
小组1在解完题后，经过反思，能合并的合并以后，发现此题可以分成两种情况讨论，形成方法2。也有小组认为可以通过几何画板演示找到最终分成两类的原因，借助图像观察到，分界点是区间的中点，分类依据是对称轴与区间中点的相对位置，从而发现了方法2。此设计能培养学生善于观察、善于反思、善于归纳总结的好习惯。
总结归纳：含参数的二次函数在闭区间上的最值只有可能在端点处或者顶点处取到。
[设计意图]思考拓展题的设计是为了发散学生的思维，养成积极思考的习惯，一题多解也体现了数学的魅力。学生经过思考，总结出若二次函数的图像开口向上，那么函数的最大值在端点处取到，因此，只要比较f（-2），f（2）的大小，就产生了第三种方法。
根据以上问题3和问题4的探讨，我们再进一步深入思考。
（1）若二次函数的图像开口向上，那么函数的最小值可能在哪里取到？
（2）若二次函数的图像开口向上，那么函数的最大值可能在哪里取到？
问题5
求函数f（x）=-x2+2ax-3在闭区间[-2，2]上的最大值。（用a表示）
[设计意图]问题3和问题4是图像开口向上的二次函数在闭区间上的最值，而对图像开口向下的二次函数在闭区间上的最值并没有涉及，但是处理方式是类似的，以此考查学生举一反三、活学活用的能力。
问题6 已知二次函数f（x）=2x2-（4+k）x+3在区间[-l，1]上的最小值为1，求实数k的值。
[设计意图]问题1～5是根据含参数的二次函数的解析式和区间求最值，而这道题则是已知函数最值求参数的问题，考查学生的逆向思维。思考方法是类似的，方法一通过对称轴与区间的相对位置，可以分成三类讨论，但是如果解析式改成f（x）=2kx2-（4+k）x+3（k≠0）（*），就需要对开口方向再进行讨论，一共分成五类；方法二根据此题抛物线开口方向向上，二次函数的最小值只可能出现在两个端点处和顶点处，展开三类讨论，即使函数改成（*）式，也可以根据最小值可能出现的位置分成三类，分别解出k，再检验是否确实在该处取到最值。
3.问题梳理，畅谈收获
本节课的总结，笔者没有采用传统课堂中的教师提问方式，而是引导学生在组内进行知识梳理、整合、方法提炼，发挥他们的主观能动性，让学生化被动为主动，让课堂从无趣到生动。
六、教学反思
数学教学的本质是促进学生的思维活动，而传统数学课堂中生硬的记忆、反复的练习会阻碍学生数学思维的发展。如何引导学生进行有效的数学探究，让学生的数学思维自然地流淌，关键在于“问题”的设计。结合本节课的问题设计，有以下两点反思。
1.注重问题的整体性
以往的教学设计中突出情境问题的设计来激发学生的兴趣和求知欲，教学过程中的新知呈现方式几乎全是教师讲授，尽管也会问一些简单的问题让学生辨析概念，但这些所谓的问题是随意的、孤立的、无探究性的。这样的教学过程零散、不流畅，影响知识的整体性和思维的系统性，进而影响学生数学思维的发展。本次的教学设计是以6个问题组成的“问题串”引领学生进行连续的、逐步深入的思维活动，从而使整节课构成了一个思维的整体。
2.注重问题的层次性
本节课主要是解决含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，为了突破这个难点，对问题的难度作了分层处理，使问题难度有梯度，适合各层次学生的需要，让学生数学思维自然升华。这种层次不仅是逻辑之间的层次，更主要的是思维过程的生成性。设计思路是由静入动和如何动。课堂上解决的是动轴定区间问题，那么学生自然而然会由这个问题的解决又不断产生新的问题，如：定轴动区间怎么办？动轴动区间怎么办？函数类型变化了怎么办？随着新问题的提出，思维又向前推进。
（责任编辑：李佳）