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【摘要】为了落实数学课程标准在解决问题中的目标要求：获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。本文以“列表法”为例，在解决实际问题教学中运用“列表法”经历解决问题的一般过程，重视方法的训练，积累经验，提高解决问题的能力。
【关键词】解题方法；列表法；解决问题；解题能力
《义务教育小学数学课程标准（2011版）》在解决问题的目标方面明确提出了“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求。对于小学数学来说，我们所说的“数学问题解题方法”是指解决数学问题的具体方法。對小学生进行数学问题解题方法的教学，引导学生掌握基本的问题解决方法：画图、列表、枚举、假设、倒推以及估算等，可以帮助他们发展数学思维，提高解决问题能力。
其中列表法在问题解决教学中作为典型方法呈现，引导学生掌握列表法能有助于对问题的理解、分析和解决。本文主要探讨运用“列表法”解决实际问题来谈谈自己一些教学实践。
下面以典型的解决问题教学实践与思考例题为例：
解决问题的一般步骤包括“阅读与理解（知道了什么）——分析与解答（怎样解答）——回顾与反思（解答正确吗）”。在经历解决问题一般过程的教学中，使学生体验“列表法”的选择和运用，感悟方法，积累经验，发展思维，提高能力。
一、运用列表法在“阅读与理解”中表征问题信息
阅读包括文本阅读，图画阅读和情景阅读，通过阅读准确把握信息，解读信息，明确地找到“要解决的问题”，还要将信息和问题做进一步分析与整理，这是解决问题时需要具备的重要能力。
【案例1】人教版《义务教育教科书.数学》五年级上册第15页例8
看图叙事引出：
妈妈带100元去超市购物。妈妈买了2袋大米，每袋30.6元。还买了0.8kg肉，每千克26.5元。剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的吗？
师：从题中你们获得哪些数学信息？怎样整理这些信息可以令我们一目了然地看明白？
根据学生的思考意见，这些信息可以列表格方法进行整理：
当信息和数据比较多时，教师可引导学生借助表格的形式来整理，可以使信息和数据更清晰、直观。问题中的信息有三种商品，每种商品分别呈现了单价和数量，除此之外，还涉及到总钱数、剩下的钱数，信息量相对小学生来说是足够多的，要让学生一下子弄明白相对困难。因为信息中所涉及的数量有总价、单价和数量，这三种量之间相互联系，运用表格对信息进行归类整理，就能让学生很容易看出了单价、数量和总价的数量关系，能帮助学生更好地思考出解决问题的思路。
【案例2】人教版《义务教育教科书.数学》二年级下册第109页例1
教学时教师也可以引导学生用列表法帮忙整理信息（用○表示拿的书，用×表示不是拿的书）。
由表可知，小刚拿的是数学书，小丽拿的是品德与生活书，一个看似有点难的问题通过了列表法，然后通过适当的推理，学生就很容易解决问题了。
解决问题方法的教学要顺应学生的思维特点，当学生读题后感觉信息和数据比较多却无从下手时，教师应及时启发学生可以列表格方法进行整理，从而激发学生对解决问题方法的心里需求，并产生主动探索的欲望。在列表的过程中，学生既有动手实践，又有合作交流，也感悟到列表的优点。
二、在“分析与解答”中构建数量关系
在读懂题目的基础上，就要鼓励学生分析题目中的数量关系了。问题的解题方法不能直接讲给学生，要给足学生独立思考的时间和空间，鼓励学生独立探索分析数量关系的方法，并运用自己的方式有条理地表达自己的理解。当学生面对类似问题时就会主动加以运用，从而正确解决问题。
【案例3】人教版《义务教育教科书.数学》三年级上册第33页例9
师：同学们通过“阅读与理解”，已理解了题意，请大家先独立思考2分钟，用这两辆车运煤，怎样安排能恰好运完8吨？
学生独立思考2分钟后小组合作交流：把你的想法在小组内讨论交流，小组长把同学的想法记录下来。
小组汇报讨论结果。教师相应板书：
4次 0次 8吨
1次 2次 8吨
师：你们真棒！想出了这两种运法？还有其它方法吗？
这时学生沉默了。
老师：只有这两种方案是对的吗？会不会有遗漏呢？我们可不可以把其他的方案都列举出来看看，再进行筛选，看是不是只有这两种方案是正确的？
师引导：同学们想到派载质量2吨的车运4次和1次，假如派载质量2吨的车运3次或2次，又会出现怎样的结果呢？
学生再一次积极思考中……
生1：派载质量2吨的车运3次，载质量3吨的车运1次，运煤吨数是9吨。
生2：派载质量2吨的车运2次，载质量3吨的车运2次，运煤吨数是10吨。
生3：派载质量2吨的车运0次，载质量3吨的车运3次，运煤吨数是9吨。
师根据学生的派车方案继续板书：
4次 0次 8吨
1次 2次 8吨
3次 1次 9吨
2次 2次 10吨
0次 3次 9吨
师：刚才我们把解决问题的方案逐一列举出来了，但是这么多的方法，会不会感到有点乱，能不能用一个更好的方法，既能把这些方案都集中呈现出来，又能看得整齐、清晰？
生：制作一个表格。
师：你的想法真好，跟老师想的一样，我们可以用表格把所有的方案都集中在一起。（老师在板书里画线，而且根据学生的提议按顺序重新排列形成新表格）
其实，求怎样派车恰好把8吨煤运完就是求载质量2吨的车、载质量3吨的车各安排运几次，使得这两辆车运载煤的总质量等于8吨。实际上可以用式子2×（ ） 3×（ ）=8表示。但教材不强调使用算术法，而以“列表法”来解决有关“吨”的实际应用问题。笔者认为，本节课的目的决不在于只会解决“怎样派车恰好把8吨煤运完”这个问题，而在于让学生参与解决问题活动的全过程，即经历用列表法一一列举解决问题的全过程，使学生感受列表法的有序性和解决问题的完整性，感受到列表法的特点和价值，积累解决问题的经验。学会数学思考，将有效促进学生解决问题能力的提升，为后续学习数学做好准备。 三、在“回顾反思”中提升解题能力
《数学课程标准（2011版）》指出：“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”。这就要求教师引导学生养成解决问题后认真进行回顾反思的好习惯。问题解决后回顾整个解答过程，检查答案是否正确、分析的方法是否正确、思路是否合理等等。
【案例4】学完人教版《义务教育教科书.数学》三年级上册第33页例9后，师：我们一起来梳理并反思刚才解决问题的過程。我们阅读与理解题目后，有的同学只想到一种方案，有的能想到两种方案，再经过思考与交流，在讨论、争辩、互助的过程中同学们发现不止一种方案，在老师的引导下，为了防止出现重复和遗漏，建议同学们把其它的方案也一一列举出来，我们把这种方法叫做列表法。
师：我们列举了这么多的方案，是不是所有的方案都符合题意呢？
生：只有第①和第④种方案符合题意。
师：刚才我们用列表法解决了问题，你有什么体会？
生1：这样用列表法可以有序地把所有的方案列举出来，可以做到不重复、不遗漏。
生2：感受到列表整理方法比较简洁、清晰和明了。
通过回顾反思，学生感受到列表法也是解决问题的一种重要的方法，感受到列表法的特点和价值，加深学生对方法的进一步理解，有效促进学生解决问题能力的提升。
四、在“练习与拓展”中发展解决问题能力。
练习的目的就是巩固所学的知识，让学生掌握解题策略、解题方法能运用其解决生活中的数学问题。练习中的问题有的与例题相似相仿，有的与例题表层结构不同，深层结构也有所差异，通过不同层次的练习，使学生达到举一反三、融会贯通，帮助学生积累经验，发展解决问题的能力。
在解决问题的过程中，不仅要使学生体会到方法的价值，同时更要让学生充分经历方法的使用过程，使学生能在解决具体问题的过程中有效合理地运用方法。
课本上的一些题目可能过于简单，有时可能会让学生感受到列表法只是一种附加任务，不用列表同样能解决问题。基于这样的实际情况，我们可以适当地补充一些问题，让学生切实体会到列表法的运用对于解题实实在在的帮助。
【案例5】人教版《义务教育教科书.数学》四年级下册第10页例5
师：刚才运用了算术法进行解答，想“坐满，没有空位”时最省钱，即租4条大船，2条小船最省钱。“坐满，没有空位”一定是最优方案吗？（为了不想学生形成思维的定势，也想让学生感受这样的题目用列表法解决问题的优势，适当的补充了一道练习题）请同学们思考下面这道练习题：我们一共有128人外出租船，小船140元，大船200元，小船限乘12人，大船限乘20人，怎样租船最省钱？
引导学生用列表法一一列举解决问题，有的学生列举到的方案是：
引导学生观察思考：方案②是“坐满，没有空位”了，是否这样租船最省钱？
坚持列举到最后的学生，发现这个问题竟然有三个“谷底”，方案⑦才是最优方案。
学生惊叹领悟：用列表法一一列举解决问题有时很必要；“坐满，没有空位”的方案与所谓的“谷底”都可能不止一个；正好“坐满，没有空位”的方案，不一定是最优方案。
“列表法”作为分析问题和解决问题的一种常用方法之一，是学生通过不断分析问题和解决问题的过程中逐步感悟获得的。我们也可以让学生收集使用“列表法”的典型实例，对“列表法”的运用越来越娴熟，理解也越来越深刻。随着学习的深入，学生已经积累了一些分析问题和解决问题的方法，在寻求方法时，我们应该引导学生思考：为什么要用这样的方法而不用那样的方法？用这样的方法有什么好处？会产生什么效果？是否可以几种方法结合在一起使用？教学中重视方法的训练，帮助学生积累经验，逐步向学生渗透数学思想方法，发展数学思维，提高解决问题的能力。
【参考文献】
[1]张丹.小学数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社，2010，8.
[2]陈莉.用“列表策略”解决实际问题教学实践研究[J].学苑教育，2010（18）：62.
[3]曹培英.小学数学问题解决的教学研究（三）[J].小学数学教育，2013（09）：3-5.
[4]曹培英.小学数学问题解决的教学研究（四）[J].小学数学教育，2013（10）：3-8.
【注：本文系广州市教育科学规划2016年度课题《基于‘四能’理念下的小学数学问题解决教学策略实践研究” 》（立项编号：1201574450）研究成果】
【关键词】解题方法；列表法；解决问题；解题能力
《义务教育小学数学课程标准（2011版）》在解决问题的目标方面明确提出了“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求。对于小学数学来说，我们所说的“数学问题解题方法”是指解决数学问题的具体方法。對小学生进行数学问题解题方法的教学，引导学生掌握基本的问题解决方法：画图、列表、枚举、假设、倒推以及估算等，可以帮助他们发展数学思维，提高解决问题能力。
其中列表法在问题解决教学中作为典型方法呈现，引导学生掌握列表法能有助于对问题的理解、分析和解决。本文主要探讨运用“列表法”解决实际问题来谈谈自己一些教学实践。
下面以典型的解决问题教学实践与思考例题为例：
解决问题的一般步骤包括“阅读与理解（知道了什么）——分析与解答（怎样解答）——回顾与反思（解答正确吗）”。在经历解决问题一般过程的教学中，使学生体验“列表法”的选择和运用，感悟方法，积累经验，发展思维，提高能力。
一、运用列表法在“阅读与理解”中表征问题信息
阅读包括文本阅读，图画阅读和情景阅读，通过阅读准确把握信息，解读信息，明确地找到“要解决的问题”，还要将信息和问题做进一步分析与整理，这是解决问题时需要具备的重要能力。
【案例1】人教版《义务教育教科书.数学》五年级上册第15页例8
看图叙事引出：
妈妈带100元去超市购物。妈妈买了2袋大米，每袋30.6元。还买了0.8kg肉，每千克26.5元。剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的吗？
师：从题中你们获得哪些数学信息？怎样整理这些信息可以令我们一目了然地看明白？
根据学生的思考意见，这些信息可以列表格方法进行整理：
当信息和数据比较多时，教师可引导学生借助表格的形式来整理，可以使信息和数据更清晰、直观。问题中的信息有三种商品，每种商品分别呈现了单价和数量，除此之外，还涉及到总钱数、剩下的钱数，信息量相对小学生来说是足够多的，要让学生一下子弄明白相对困难。因为信息中所涉及的数量有总价、单价和数量，这三种量之间相互联系，运用表格对信息进行归类整理，就能让学生很容易看出了单价、数量和总价的数量关系，能帮助学生更好地思考出解决问题的思路。
【案例2】人教版《义务教育教科书.数学》二年级下册第109页例1
教学时教师也可以引导学生用列表法帮忙整理信息（用○表示拿的书，用×表示不是拿的书）。
由表可知，小刚拿的是数学书，小丽拿的是品德与生活书，一个看似有点难的问题通过了列表法，然后通过适当的推理，学生就很容易解决问题了。
解决问题方法的教学要顺应学生的思维特点，当学生读题后感觉信息和数据比较多却无从下手时，教师应及时启发学生可以列表格方法进行整理，从而激发学生对解决问题方法的心里需求，并产生主动探索的欲望。在列表的过程中，学生既有动手实践，又有合作交流，也感悟到列表的优点。
二、在“分析与解答”中构建数量关系
在读懂题目的基础上，就要鼓励学生分析题目中的数量关系了。问题的解题方法不能直接讲给学生，要给足学生独立思考的时间和空间，鼓励学生独立探索分析数量关系的方法，并运用自己的方式有条理地表达自己的理解。当学生面对类似问题时就会主动加以运用，从而正确解决问题。
【案例3】人教版《义务教育教科书.数学》三年级上册第33页例9
师：同学们通过“阅读与理解”，已理解了题意，请大家先独立思考2分钟，用这两辆车运煤，怎样安排能恰好运完8吨？
学生独立思考2分钟后小组合作交流：把你的想法在小组内讨论交流，小组长把同学的想法记录下来。
小组汇报讨论结果。教师相应板书：
4次 0次 8吨
1次 2次 8吨
师：你们真棒！想出了这两种运法？还有其它方法吗？
这时学生沉默了。
老师：只有这两种方案是对的吗？会不会有遗漏呢？我们可不可以把其他的方案都列举出来看看，再进行筛选，看是不是只有这两种方案是正确的？
师引导：同学们想到派载质量2吨的车运4次和1次，假如派载质量2吨的车运3次或2次，又会出现怎样的结果呢？
学生再一次积极思考中……
生1：派载质量2吨的车运3次，载质量3吨的车运1次，运煤吨数是9吨。
生2：派载质量2吨的车运2次，载质量3吨的车运2次，运煤吨数是10吨。
生3：派载质量2吨的车运0次，载质量3吨的车运3次，运煤吨数是9吨。
师根据学生的派车方案继续板书：
4次 0次 8吨
1次 2次 8吨
3次 1次 9吨
2次 2次 10吨
0次 3次 9吨
师：刚才我们把解决问题的方案逐一列举出来了，但是这么多的方法，会不会感到有点乱，能不能用一个更好的方法，既能把这些方案都集中呈现出来，又能看得整齐、清晰？
生：制作一个表格。
师：你的想法真好，跟老师想的一样，我们可以用表格把所有的方案都集中在一起。（老师在板书里画线，而且根据学生的提议按顺序重新排列形成新表格）
其实，求怎样派车恰好把8吨煤运完就是求载质量2吨的车、载质量3吨的车各安排运几次，使得这两辆车运载煤的总质量等于8吨。实际上可以用式子2×（ ） 3×（ ）=8表示。但教材不强调使用算术法，而以“列表法”来解决有关“吨”的实际应用问题。笔者认为，本节课的目的决不在于只会解决“怎样派车恰好把8吨煤运完”这个问题，而在于让学生参与解决问题活动的全过程，即经历用列表法一一列举解决问题的全过程，使学生感受列表法的有序性和解决问题的完整性，感受到列表法的特点和价值，积累解决问题的经验。学会数学思考，将有效促进学生解决问题能力的提升，为后续学习数学做好准备。 三、在“回顾反思”中提升解题能力
《数学课程标准（2011版）》指出：“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”。这就要求教师引导学生养成解决问题后认真进行回顾反思的好习惯。问题解决后回顾整个解答过程，检查答案是否正确、分析的方法是否正确、思路是否合理等等。
【案例4】学完人教版《义务教育教科书.数学》三年级上册第33页例9后，师：我们一起来梳理并反思刚才解决问题的過程。我们阅读与理解题目后，有的同学只想到一种方案，有的能想到两种方案，再经过思考与交流，在讨论、争辩、互助的过程中同学们发现不止一种方案，在老师的引导下，为了防止出现重复和遗漏，建议同学们把其它的方案也一一列举出来，我们把这种方法叫做列表法。
师：我们列举了这么多的方案，是不是所有的方案都符合题意呢？
生：只有第①和第④种方案符合题意。
师：刚才我们用列表法解决了问题，你有什么体会？
生1：这样用列表法可以有序地把所有的方案列举出来，可以做到不重复、不遗漏。
生2：感受到列表整理方法比较简洁、清晰和明了。
通过回顾反思，学生感受到列表法也是解决问题的一种重要的方法，感受到列表法的特点和价值，加深学生对方法的进一步理解，有效促进学生解决问题能力的提升。
四、在“练习与拓展”中发展解决问题能力。
练习的目的就是巩固所学的知识，让学生掌握解题策略、解题方法能运用其解决生活中的数学问题。练习中的问题有的与例题相似相仿，有的与例题表层结构不同，深层结构也有所差异，通过不同层次的练习，使学生达到举一反三、融会贯通，帮助学生积累经验，发展解决问题的能力。
在解决问题的过程中，不仅要使学生体会到方法的价值，同时更要让学生充分经历方法的使用过程，使学生能在解决具体问题的过程中有效合理地运用方法。
课本上的一些题目可能过于简单，有时可能会让学生感受到列表法只是一种附加任务，不用列表同样能解决问题。基于这样的实际情况，我们可以适当地补充一些问题，让学生切实体会到列表法的运用对于解题实实在在的帮助。
【案例5】人教版《义务教育教科书.数学》四年级下册第10页例5
师：刚才运用了算术法进行解答，想“坐满，没有空位”时最省钱，即租4条大船，2条小船最省钱。“坐满，没有空位”一定是最优方案吗？（为了不想学生形成思维的定势，也想让学生感受这样的题目用列表法解决问题的优势，适当的补充了一道练习题）请同学们思考下面这道练习题：我们一共有128人外出租船，小船140元，大船200元，小船限乘12人，大船限乘20人，怎样租船最省钱？
引导学生用列表法一一列举解决问题，有的学生列举到的方案是：
引导学生观察思考：方案②是“坐满，没有空位”了，是否这样租船最省钱？
坚持列举到最后的学生，发现这个问题竟然有三个“谷底”，方案⑦才是最优方案。
学生惊叹领悟：用列表法一一列举解决问题有时很必要；“坐满，没有空位”的方案与所谓的“谷底”都可能不止一个；正好“坐满，没有空位”的方案，不一定是最优方案。
“列表法”作为分析问题和解决问题的一种常用方法之一，是学生通过不断分析问题和解决问题的过程中逐步感悟获得的。我们也可以让学生收集使用“列表法”的典型实例，对“列表法”的运用越来越娴熟，理解也越来越深刻。随着学习的深入，学生已经积累了一些分析问题和解决问题的方法，在寻求方法时，我们应该引导学生思考：为什么要用这样的方法而不用那样的方法？用这样的方法有什么好处？会产生什么效果？是否可以几种方法结合在一起使用？教学中重视方法的训练，帮助学生积累经验，逐步向学生渗透数学思想方法，发展数学思维，提高解决问题的能力。
【参考文献】
[1]张丹.小学数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社，2010，8.
[2]陈莉.用“列表策略”解决实际问题教学实践研究[J].学苑教育，2010（18）：62.
[3]曹培英.小学数学问题解决的教学研究（三）[J].小学数学教育，2013（09）：3-5.
[4]曹培英.小学数学问题解决的教学研究（四）[J].小学数学教育，2013（10）：3-8.
【注：本文系广州市教育科学规划2016年度课题《基于‘四能’理念下的小学数学问题解决教学策略实践研究” 》（立项编号：1201574450）研究成果】