摘 要：以二元二次等式为约束条件求二元一次式的最值问题有三种常见的解题策略：1.降元，把二元函数的条件最值问题转化为无约束的一元函数的最值问题.2.换元，借代数变换，将问题简化.3.升幂，建立关于目标函数 的不等式，将问题转化为解不等式问题求解.
　　关键词：换元；变换；取等条件
　　2011年高考浙江卷理数第16题是一道以二元二次等式为约束条件求二元一次式的最值问题.这个题目的解法多有特色，可以应用许多数学思想方法，涉及的知识面也很广，是解题训练中的优质题目，值得开发利用.本文以此题为例，对二次式约束下求最值问题的解题策略做个总结.
　　例：设为实数，若，则的最大值是 .
　　策略1降元.通过解方程，或者将方程参数化，把二元函数的条件最值问题转化为无约束的一元函数的最值问题.
　　评注：该解法从条件最值的本意出发，解约束方程，得函数；代入式，得函数，是一个多值函数；将其单值化，把问题转化为求的最大值；最后用求导法完成求解.这是一种原始朴素的解法，按部就班，过程长，计算量大.不过，也是一种简单直接的解法.当中的求导法可以改为其他方法，有望简化计算，如解法2.
　　评注：该解法借助三角变换，不仅解除了表达式中的根号，而且将和两个函数合成为一个函数，使计算大为简化.
　　代入已知条件得所以.
　　评注：该解法的出发点，同样是把视为的函数，但其入手不是解题设方程，而是将题设方程与目标函数式联立起来，消去，得到新的方程通过对方程变形，利用实数平方的非负性，建立了的不等式，将问题转化为不等式问题进行求解，快捷便当，不失为是一个好解法.说到这里，有一点必须强调：当得到不等式之后，一定要证明等号有可能成立，才能确认的最大值和最小值.否则，不加证明也不加说明便武断下结论，则会出现：轻则犯说理欠周的毛病，重则有可能结论出错.
　　策略2换元，借代数变换，将问题简化.
　　则由得，所以，且当时取等号.因为所以，且当时，右边等号成立，.
　　则方程化为，令
　　评注：上述两个解法，是用变元的线性变换化简其次方程，不同的变换源于方程同解变形的不同形式除了线性变换，还可以用别的变换，例如下述解法6用的是极坐标变换.
　　策略3升幂.注意到是二元二次其次式，与已知条件易于沟通这一特点，可由此入手，建立关于的不等式，将问题转化为解不等式问题求解.
　　所以，由，可得，
　　评注：这种解法中，根据重要不等式，在之间建立不等式，利用条件构造关于的不等式，求出的范围，再求的取值范围.
　　，得，即.又有=，所以和是方程的两个实根，故得判别式，且当方程重根时，.
　　评注：这种解法是逆用韦达定理，根据和的积与和的关系式，构造一个以和为根的方程，根据求的范围.
　　和得
　　上述3个解法中，在灵活应用不等式和方程相关的基本知识方面，有不少实用的解题技术值得借鉴.这里就不逐一点评，留给有兴趣的读者自己体验.