对称问题是中学数学中常见的一类问题，它涉及函数、不等式、数列、排列组合、解析几何、立体几何等诸多内容。对称变换思想也是一种常用的数学思想方法，是近几年高考考查的热点问题之一。
　　一、函数中的对称问题
　　根据函数的奇偶性、周期性、光的反射定理、互为反函数图像的性质等所具有的对称性，进行高考命题。
　　例1（97年全国高考题），将y=2x的图像( ),再作关于直线y=x对称的图像,可以得到y=log2（x+1）的图像。
　　A、先向左平行移动1个单位
　　B、先向右平行移动1个单位
　　C、先向上平行移动1个单位
　　D、先向下平行移动1个单位
　　解析：y=log2（x+1）反函数是y=2x-1,我们只需把y=2x的图像向下平移一个单位,即可获得y=2x-1的图像,再作y=2x-1关于直线y=x对称的图像即可获得y=log2（x+1）的图像,故选D。
　　例2（2002年上海高考题），设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数,则t的一个可能值是______。
　　解:由f(x+t)是偶函数知,对称轴是y轴。
　　又f(x+t)=sin(2x+2t)，由正弦函数对称轴，知:
　　2×0+2t=kπ+ （k∈z）
　　即t= ＋ =π（k∈z）
　　则t的可能值为： ， ， ，…，π（k∈z）
　　二、不等式中的对称问题
　　根据不等式条件或求证式子结构两端的对称性，考虑将证式肢解，简化为先证一个二元齐次不等式，当可类推获另两个，以拼凑成证式。
　　例3，已知a、b、c均为正数，求证：aabbcc≥（abc）。
　　证明：先证aabb≥（ab）①
　　∵
　　因此，无论a≥b还是a　　同理可证：bbcc≥（bc） ②
　　ccaa≥（ca）③
　　将①②③三式相乘，整理，得aabbcc≥（abc）。
　　进而可推广到：
　　若：a1，a2，a3，…，an均为正数，则：≥
　　（a1a2a3…an）。
　　三、 数列中的对称问题
　　根据等差（或等比）数列距两边等距离两项和（或积）相等的对称性，可巧妙设元，减少运算量。
　　例4（90年全国高考题），有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
　　解：设前三个数依次为a-d、a、a+d,则第四个数是
　　，依题意有 。解之得 或
　　 a=9
　　 d=-6
　　四、排列﹑组合中的对称问题
　　根据所排元素位置或组合数性质的对称性特点，可巧妙解决问题。
　　例5（93年全国高考题），同室四人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年片，则四张贺年片不同的分配方式有（ ）。
　　A、6种B、9种C、11种D、23种
　　解：给宿舍四人分别编号为1、2、3、4,其对应贺年片编号也为1、2、3、4,则编号为1的人拿2号贺年片可列出图表，根据对称性，得 3×3=9种，故应选B。
　　例6（2001年杭州市），A、B、C、D、E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同排法共有（ ）。
　　A、24种B、60种C、90种D、120种
　　解：A、B、C、D、E五人站成一排，共有A55种，因B在A的右边或左边对称，故B必须站A的右边的站法有 A55=60种,故应选B。
　　五、立体几何中的对称问题
　　可采用对称变换调整元素间的结构，或通过形象补形（轴对称、中心对称、镜面对称）而连成对称.
　　例7，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点,P是截面ABC1D1上的一动点,则A1P+PE的最小值为______。
　　解：如右图所示,因点A1与点D关于平面ABC1D1对称；
　　所以A1P＝PD，∴A1P+PE=PD+PE≥DE，仅当点P为DE与平面ABC1D1的交点时，等号成立。
　　在Rt△DBE中DE= DB2+BE2= 2+ = ，
　　即A1P+PE 的最小值为 。
　　例8，如右图,正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,过底面对角线AC作平行于侧棱SB的截面交SD于E，求直线BC与平面EAC所成角的大小。
　　解析:因AD∥BC,所以BC与平面EAC所成的角和AD与平面EAC所成的角关于平面EAC对称，故可转化为求AD与平面EAC所成的角。
　　连结BD,交AC于点O,则平面SBD⊥平面EAC。
　　连结OE,过点D作DF⊥OE,则DF⊥平面EAC。
　　连结AF,则∠DAF就是AD与平面EAC所成的角。
　　设AB=a，则SO=a；∴S△SBD=2aa= a2。
　　又S△DOE= S△SBD，∴DF= a。
　　在Rt△ADF中,sin∠DAF== ，∴∠DAF=30°,即直线BC与平面EAC所成的角为30°。
　　六、解析几何中的对称问题
　　例9 (94年全国高考题)，已知直线L过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若点A（-1,0）和点B（0,8）关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
　　解:设抛物线C:y2=2px（p>0）关于直线L的对称抛物线为C′,M′(x,y)为C′上的任一点,则可求得M′(x,y)关于直线L:y=kx的对称点M(xo,yo),则，因
　　M(xo,yo)在抛物线C上，∴yo2=2pxo。
　　这就是M′所在抛物线C′的方程,显然A、B都在抛物线C′上,故有 ,
　　两式相除,得（）3=1，
　　∴k2-k-1=0。
　　∵k>0，∴k= ，2p==。
　　所以，直线L的方程为 x，抛物线C的方程为y2=x。
　　例10（2002年全国高考题），设点P到M（-1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。
　　解：设p（x，y），则 ＝2（x≠0）。由2m=|PM|-|PN|
　　得：2m= 5x2+2x+1- 5x2-2x+1，
　　即
　　= （x+ ）2+（0- ）2- （x- ）2+（0+ ）2
　　问题转化为求动点Q（x，0）（x≠0）与两点关于y轴的对称点A（- ， ）、B（ ， ）距离之差d的取值范围。如右图所示，x→+∞时,|QA|-|QB|→|AB|，
　　即d→ 。
　　依对称性,当x→-∞时,d→- 。
　　即- 　　又∵x≠0，即点Q不能与原点O重合，∴d≠0，即m≠0，
　　∴所求m的取值范围为:（-，0）∪（0，）。
　　对称变换思想在解题中的应用，还可做更多的探讨,本文不再赘述。