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【摘 要】在数学教学中，要撬动学生思维，需要引导学生深度参与学习，深度思考所学知识，深度应用知识，从而在理解知识的基础上，达成知识之间的整体性联通。本文以《小数的性质》的教学为例，开发多元学具，建立知识内容的前后联系，引导学生叩问小数意义的核心本质，从而形成对小数意义丰富多元、深刻多维的深度认知，撬动学生数学思维的发展。
【关键词】多元学具 验证猜想 思维发展
在小学数学课堂教学中，撬动学生的思维杠杆，提升和发展学生的核心素养，是课堂的核心目标。为此，教师要引导学生深度参与学习，以核心知识和核心知识所蕴含的核心范式为载体，给予学生充分的平台和空间，开发多元学具，指引学生运用高阶思维学习新的数学思想，达成知识之间的整体性联通。笔者现以《小数的性质》这一课为例，谈谈体会和思考。
一、探寻起点，明晰思维脉络
《小数的性质》是学习“小数的意义”的最后一课，在这之前学生已经能够基本认识小数的意义：通过圆、角、分等素材认识小数与十进制分数之间的关系，借助质量、长度等度量单位的转化，能够初步认识小数与十进制分数的关系，也能够初步认识小数的计数单位和位值意义。也就是说，一方面，学生能够从小数的数位和计数单位的角度，将小数与整数进行有效的对接;另一方面，学生已经能够运用有关长度单位的生活经历，以及数轴等直观数学模型来理解小数与十进制分数的关系。这就是本课教学设计的思维起点。为了更好地拓展学生的思维，笔者设计了这样的教学计划：以“小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变”为核心内容，引导学生深度参与，经历从具象到抽象再到数学本质的过程，在“发现—猜想—验证—应用”的学习过程中，通过不完全归纳法，探索出小数的性质。
二、联系实际，开发多元学具
小数的性质是蕴含在小数内部的一种变化规律，并不排斥和生活的关联。为此，笔者创设真实可感的生活情境，从学生熟悉的领域里发现问题，从“末尾添加一个0，小数的大小不变”入手，引导学生深入探讨。
（1）笔者给学生出示一张微信红包的图片，红包的金额收入是0.3元，系统显示的金额是0.30元。启发学生思考：这里的0.3和0.30相等吗？怎么证明？
（2）有学生认为可以通过圆、角、分之间的换算关系来证明：0.3元=3角，0.30元=30分，3角=30分，因此0.3元=0.30元，即0.3=0.30。
（3）也有学生运用米、分米、厘米之间的换算关系来证明。
0.3米=3分米 0.30米=30厘米=3分米
0.3米=0.30米 0.3=0.30
（4）笔者又启发学生思考：如果还想证明其他的小数，你还能用其他学具来证明吗？
有学生采用大小相同的两张方格纸，分别用阴影表示要证明的两个小数（如图1）。
还有学生根据数轴证明两个小数是相等的（如图2）。
还有学生借助数位顺序表证明两个小数相等（如图3）。
在以上环节中，笔者紧紧围绕“小数的末尾添上一个0，小数的大小是否不变”这个议题展开教学，以学生的认知起点为抓手，让不同水平的学生都能够深度参与到课堂探究活动中来，引导学生开发多元学具进行证明，有效实现了课堂教学的目标，主要表现在以下几个方面：①通过验证猜想，让学生感受到数学学科严密的逻辑性，从而培养质疑精神和严谨的数学意识;②给学生提供了一个平台和空间，让每个学生通过自主化、多元化的实践操作，感受到学习的乐趣;③学生依据生活经验举例证明，从而实现了多元学具的开发，让数学抽象思维逐步深化。
三、拓展深化，反思聚焦核心
為了拓展课堂的思维层次，笔者引导学生展开课堂反思，聚焦小数的核心概念进行横向的拓展及纵向的深化。
（1）笔者引导学生思考：怎么证明“小数点末尾添上多个0，小数的大小还会相等”？你从中发现了什么？
学生采用数位顺序表举例证明（如图4）。
学生通过数位顺序表，证明“小数的末尾添上0，小数的大小不变”，同时还发现，小数末尾添上0，小数大小不变，反过来，小数末尾去掉0，小数的大小也不变。由此学生顺利推导得出小数的性质：在小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。
（2）笔者引导学生回顾反思：想一想，我们用了什么学具，什么方法，一步步发现小数的性质呢？分别说一说这几种方法的优点和缺点。
学生指出，运用圆、角、分换算以及米、分米、厘米换算这两种方法虽然很好，但并不能用来表示所有的小数;采用方格纸和数轴这两种学具，都是图形表示法，虽然简单直接，但也不能用来表示所有的小数;运用数位顺序表这种方法，则可以方便地表示出任意一个小数，而且能够从数位和计数单位的角度顺利推导得出小数的性质。
以上环节中，笔者引导学生聚焦认知核心，寻找数学方法的多元化，让学生再次经历了从生活化到抽象化的过程，通过对各种证明方法的比较，让学生总结和反思，从中获得更优的方法，培养学生的方法论意识，推动学生思维的高阶发展。
四、应用实践，设置梯级练习
深入实践运用所学内容，这是推动学生思维发展的重要一环。为此，笔者在设计练习环节时，遵循梯级化策略：一方面要富有趣味性和层次性，难易程度适中，让学生跳一跳能够够得着，具有一定的挑战性;另一方面也要适当推陈出新，拓展学生的思维。
学生顺利推导得出小数的性质之后，笔者设计了四个梯级的练习。
梯级1：要求学生把两个相等的小数用线连起来（如图5）。
梯级2：不改变小数的大小，把下列小数中可以去掉的0去掉。
8.030，1030，0.900，39.00，0.009，450
梯级3：请找到小数点正确的位置，使6020，602，60200三个小数点上小数点后大小相等。
梯级4：给学生信息提示，让学生猜猜是什么样的小数。
提示：两位小数，小数部分有数字8;包含两个0，且只有一个0去掉后大小不变;所有数位上的数相加的和是10。
在这4个梯级练习中，梯级1和梯级2是从正向的角度考查学生对小数性质的理解和应用。梯级3和4是要求学生灵活运用小数的性质来解决实际问题，由此撬动学生的思维杠杆，提升学生的思维深度。
在以上《小数的性质》课堂实践中，教师从生活实际出发，让学生对“小数末尾添上一个0，小数的大小是否改变”这个问题展开了推理，这个推理是基于学生的已有经验，借助小数意义和图形直观，学生延伸推导得出小数的性质，从而让学生深刻经历了知识重演的过程。最后利用阶梯性的习题练习，让学生将所学内容深入内化，从而推动思维，获得发展。在整个过程中，学生从发现而来，再从实践而证，通过探究实证小数的性质，学会了开发多元学具来进行深入探究。同时，教师又引导学生对多元学具方法进行比较，这既是让学生聚焦多元方法的反思总结，又是对科学方法论的点拨和启发。
综上，教师带领学生借助多元化的学具探索小数性质，经历“发现—猜想—验证—应用”的活动过程，让学生运用所学知识，将其化为多元化的学具，一路探究并最终获得深刻感受，找到数学问题研究论证的一般方法。
笔者相信，教师给予学生耐心，搭建探究的平台，引导学生开发多元学具，正是课堂教学中推动学生思维的有效路径。
【参考文献】
[1]潘秋英，谢惠良. 抽象·推理·建模——“小数的意义和性质”教材解读与教学建议[J]. 小学数学教育，2016（Z4）.
[2]周怡颖. 引导推理
【关键词】多元学具 验证猜想 思维发展
在小学数学课堂教学中，撬动学生的思维杠杆，提升和发展学生的核心素养，是课堂的核心目标。为此，教师要引导学生深度参与学习，以核心知识和核心知识所蕴含的核心范式为载体，给予学生充分的平台和空间，开发多元学具，指引学生运用高阶思维学习新的数学思想，达成知识之间的整体性联通。笔者现以《小数的性质》这一课为例，谈谈体会和思考。
一、探寻起点，明晰思维脉络
《小数的性质》是学习“小数的意义”的最后一课，在这之前学生已经能够基本认识小数的意义：通过圆、角、分等素材认识小数与十进制分数之间的关系，借助质量、长度等度量单位的转化，能够初步认识小数与十进制分数的关系，也能够初步认识小数的计数单位和位值意义。也就是说，一方面，学生能够从小数的数位和计数单位的角度，将小数与整数进行有效的对接;另一方面，学生已经能够运用有关长度单位的生活经历，以及数轴等直观数学模型来理解小数与十进制分数的关系。这就是本课教学设计的思维起点。为了更好地拓展学生的思维，笔者设计了这样的教学计划：以“小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变”为核心内容，引导学生深度参与，经历从具象到抽象再到数学本质的过程，在“发现—猜想—验证—应用”的学习过程中，通过不完全归纳法，探索出小数的性质。
二、联系实际，开发多元学具
小数的性质是蕴含在小数内部的一种变化规律，并不排斥和生活的关联。为此，笔者创设真实可感的生活情境，从学生熟悉的领域里发现问题，从“末尾添加一个0，小数的大小不变”入手，引导学生深入探讨。
（1）笔者给学生出示一张微信红包的图片，红包的金额收入是0.3元，系统显示的金额是0.30元。启发学生思考：这里的0.3和0.30相等吗？怎么证明？
（2）有学生认为可以通过圆、角、分之间的换算关系来证明：0.3元=3角，0.30元=30分，3角=30分，因此0.3元=0.30元，即0.3=0.30。
（3）也有学生运用米、分米、厘米之间的换算关系来证明。
0.3米=3分米 0.30米=30厘米=3分米
0.3米=0.30米 0.3=0.30
（4）笔者又启发学生思考：如果还想证明其他的小数，你还能用其他学具来证明吗？
有学生采用大小相同的两张方格纸，分别用阴影表示要证明的两个小数（如图1）。
还有学生根据数轴证明两个小数是相等的（如图2）。
还有学生借助数位顺序表证明两个小数相等（如图3）。
在以上环节中，笔者紧紧围绕“小数的末尾添上一个0，小数的大小是否不变”这个议题展开教学，以学生的认知起点为抓手，让不同水平的学生都能够深度参与到课堂探究活动中来，引导学生开发多元学具进行证明，有效实现了课堂教学的目标，主要表现在以下几个方面：①通过验证猜想，让学生感受到数学学科严密的逻辑性，从而培养质疑精神和严谨的数学意识;②给学生提供了一个平台和空间，让每个学生通过自主化、多元化的实践操作，感受到学习的乐趣;③学生依据生活经验举例证明，从而实现了多元学具的开发，让数学抽象思维逐步深化。
三、拓展深化，反思聚焦核心
為了拓展课堂的思维层次，笔者引导学生展开课堂反思，聚焦小数的核心概念进行横向的拓展及纵向的深化。
（1）笔者引导学生思考：怎么证明“小数点末尾添上多个0，小数的大小还会相等”？你从中发现了什么？
学生采用数位顺序表举例证明（如图4）。
学生通过数位顺序表，证明“小数的末尾添上0，小数的大小不变”，同时还发现，小数末尾添上0，小数大小不变，反过来，小数末尾去掉0，小数的大小也不变。由此学生顺利推导得出小数的性质：在小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。
（2）笔者引导学生回顾反思：想一想，我们用了什么学具，什么方法，一步步发现小数的性质呢？分别说一说这几种方法的优点和缺点。
学生指出，运用圆、角、分换算以及米、分米、厘米换算这两种方法虽然很好，但并不能用来表示所有的小数;采用方格纸和数轴这两种学具，都是图形表示法，虽然简单直接，但也不能用来表示所有的小数;运用数位顺序表这种方法，则可以方便地表示出任意一个小数，而且能够从数位和计数单位的角度顺利推导得出小数的性质。
以上环节中，笔者引导学生聚焦认知核心，寻找数学方法的多元化，让学生再次经历了从生活化到抽象化的过程，通过对各种证明方法的比较，让学生总结和反思，从中获得更优的方法，培养学生的方法论意识，推动学生思维的高阶发展。
四、应用实践，设置梯级练习
深入实践运用所学内容，这是推动学生思维发展的重要一环。为此，笔者在设计练习环节时，遵循梯级化策略：一方面要富有趣味性和层次性，难易程度适中，让学生跳一跳能够够得着，具有一定的挑战性;另一方面也要适当推陈出新，拓展学生的思维。
学生顺利推导得出小数的性质之后，笔者设计了四个梯级的练习。
梯级1：要求学生把两个相等的小数用线连起来（如图5）。
梯级2：不改变小数的大小，把下列小数中可以去掉的0去掉。
8.030，1030，0.900，39.00，0.009，450
梯级3：请找到小数点正确的位置，使6020，602，60200三个小数点上小数点后大小相等。
梯级4：给学生信息提示，让学生猜猜是什么样的小数。
提示：两位小数，小数部分有数字8;包含两个0，且只有一个0去掉后大小不变;所有数位上的数相加的和是10。
在这4个梯级练习中，梯级1和梯级2是从正向的角度考查学生对小数性质的理解和应用。梯级3和4是要求学生灵活运用小数的性质来解决实际问题，由此撬动学生的思维杠杆，提升学生的思维深度。
在以上《小数的性质》课堂实践中，教师从生活实际出发，让学生对“小数末尾添上一个0，小数的大小是否改变”这个问题展开了推理，这个推理是基于学生的已有经验，借助小数意义和图形直观，学生延伸推导得出小数的性质，从而让学生深刻经历了知识重演的过程。最后利用阶梯性的习题练习，让学生将所学内容深入内化，从而推动思维，获得发展。在整个过程中，学生从发现而来，再从实践而证，通过探究实证小数的性质，学会了开发多元学具来进行深入探究。同时，教师又引导学生对多元学具方法进行比较，这既是让学生聚焦多元方法的反思总结，又是对科学方法论的点拨和启发。
综上，教师带领学生借助多元化的学具探索小数性质，经历“发现—猜想—验证—应用”的活动过程，让学生运用所学知识，将其化为多元化的学具，一路探究并最终获得深刻感受，找到数学问题研究论证的一般方法。
笔者相信，教师给予学生耐心，搭建探究的平台，引导学生开发多元学具，正是课堂教学中推动学生思维的有效路径。
【参考文献】
[1]潘秋英，谢惠良. 抽象·推理·建模——“小数的意义和性质”教材解读与教学建议[J]. 小学数学教育，2016（Z4）.
[2]周怡颖. 引导推理