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牛顿运动定律提供了一种解决物理问题的基本方法，即动力学的研究方法，这也是解决力学问题的基本方法之一.
选择力学规律的程序首先是看研究对象：对于单个物体或是整体，若问题中涉及位移和时间，则可用动力学（恒力作用）的观点列方程求解；若问题中只涉及位移，则可用能量的观点求解；若问题中只涉及时间，则可用动量的观点求解.
题目的信息是通过语言文字、公式、符号、图象以及它们之间的关系直接或间接地表示出来的. 在读题、审题时，一定要逐字逐句看清楚，弄明白，有时甚至要从语法结构、逻辑关系等方面判断，弄清条件（特别是隐含条件）、结论与哪些知识点相关，也就可以找出突破口，再从知识模块中提取与之相对应的方法，从而找到解决问题的方案.
一、多过程问题
例1 如图1，质量为10kg的物体在倾角为[θ=37°]的斜面底部受一个沿斜面向上的力[F=100N]作用，由静止开始运动，2s内物体在斜面上移动了4m，2s末撤去力[F]，[g=]10m/s2. 求[F]撤去后，经过多长时间物体返回斜面底部？
解析 物体在三个不同阶段的受力情况如图2.
在加速上滑阶段，有[s1=12a1t21]，[a1=]2m/s2设沿斜面向上为正方向，据牛顿第二定律，有[F-mgsin37°-Ff=ma1]
即[F-mgsin37°-Ff=20N]
在[F]撤走瞬间，物体的速度[v=a1t1=4m/s]
设在减速上滑阶段的加速度为[a2]，所用时间为[t2]，位移为[s2]，取沿斜面向下为正方向，有
[mgsin37°+Ff=ma2]
得[a2=8m/s2]，[t2=va2=0.5s]，[s2=v2t2=1m]
设在加速下滑阶段的加速度为[a3]，所用时间为[t3]，位移为[s3]，有
[mg⋅sin37°-Ff=ma3]
得[a3=4m/s2]
[s3=s1+s2=5m]
而[s3=12a3t23]，[t3=1.58s]
則撤去力后经时间[t=t2+t3=2.08s]，物体返回斜面底部.
点拨 力与运动问题有两种基本类型：（1）已知物体受力求运动情况；（2）已知物体运动情况求受力. 求解的基本方法是：①选定研究对象；②分析受力情况，画受力图；③分析物体运动情况，确定加速度；④根据牛顿运动定律、运动学公式等建立方程并求解.
二、连接体与临界问题
例2 如图3甲，一固定的光滑斜面的倾角[θ=30°]，在其底端有一固定挡板[C]，在斜面上两个物体[A]、[B]，质量均为1kg. 两物体之间用一根轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数[k=20N/m]. 开始时两物体均处于静止状态，现对物体[B]施加一个外力[F]使它做加速度[a=1m/s2]的匀加速直线运动，直到物体[A]恰好离开挡板[C]，[g=10m/s2]. 求：
（1）此过程中外力[F]的最小值与最大值；
（2）此过程的运动时间；
（3）若以物体[B]的初始位置为坐标原点，在图3乙中画出力[F]与物体[B]位移[x]变化的图象.
解析 （1）由题意可知，外力的最小值为开始时. 对物体[B]，有
[Fmin=ma=1N]
外力[F]的最大值在物体[A]恰好离开挡板时，此时[A]的加速度为0. 对整体，有
[Fmax-2mgsinθ=ma]
则[Fmax=2mgsinθ+ma=11N]
（2）由题意可知，物体[B]的位移
[x=2mgsinθk=0.5m]
由运动学公式，运动的时间[t=2xa=1s]
（3）由受力分析可知，外力[F]的表达式[F=kx+ma=20x+1]，如图4.
点拨 在连接体问题中，一定要巧妙选取研究对象，如初始时应选取物体[B]为研究对象，因为物体[A]静止且受弹簧弹力和挡板作用，若以[A]或者整体为研究对象都比较麻烦；弹力最大时[A]即将远离挡板运动，加速度为0，如果选择隔离体则会涉及弹簧弹力，故以整体为对象. 同时，如果碰到与弹簧连接的物体做匀变速运动，会有其他变力与弹力共同达到恒力作用的效果. 在画力与位移关系图时要有一个大致的判断，这也是我们判断结果正确与否的一个基本依据.
三、图象法与隐含条件问题
例3 如图5，一小环[A]套在一均匀圆木棒[B]上，质量都是[m]，[A]和[B]之间的滑动摩擦力为[f]. 开始时[B]竖直放置，下端离地面高度为[h]，[A]在[B]的顶端. 某时刻它们由静止自由下落，木棒与地面相撞后立即反弹，且反弹速度大小与碰前相等，不计空气阻力和碰地时间. 求：在[f＜mg]和[f＞mg]两种情况下，要求[B]在再次着地前，[A]不脱离[B]，[B]至少应多长？
图5
解析 首先[A]和[B]一起自由下落，木棒[B]落地前速度大小为[v0=2gh]
[B]棒碰地反弹上升时，[B]的加速度[aB=mg+fm]，方向向下；[A]环的速度向下，但加速度方向取决于[f]和[mg]的大小关系：
当[f＜mg]时，[A]环的加速度也向下，[aA=mg-fm]，[A]环仍向下加速. 取向下为正，速度图象如图6甲，到[B]再次着地前运动时间[t=2v0aB]
对[A]，有[sA=v0t+12aAt2]
要[A]不脱离[B]，必须[l≥sA]
或用二者速度图线与坐标所围的面积表示相对滑动的距离[Δs=v0+(v0+aAt)2×t≤l]
联立解得[l≥8m2g2h(mg+f)2]，即[B]棒至少长[8m2g2h(mg+f)2].
当[f＞mg]时，[B]棒碰地反弹上升时，[A]环的加速度也向上，[aA=f-mgm]， [A]环向下减速. 则[B]棒反弹到最高点再下落时，会与[A]环共速. 共速后二者间摩擦力消失，一起做竖直下抛运动.
取向下为正方向，速度图象如图6乙，二者的速度图线与坐标所围的面积表示相对滑动的距离. 相对滑动阶段，相对初速度[u=2v0]，相对加速度[a相=aA+aB=2fm]，相对末速度[ut=0]，相对滑动距离
[Δs=u2t-u20-2a相=0-（2v0)2-2×2fm=mv20f≤l]
联立解得[l≥2mghf]，即[B]棒至少长[2mghf].
点拨 对有相对位移的关联问题，可以借助速度图线辅助求解. 同时注意题目条件的细微变化带来的差异，如本题题设摩擦力大小不同，运动情况大不一样. 平时要养成“一题多变”“一题多解”“多题归一”的思维习惯，逐步获得“举一反三”的能力.
[【考点专练·必考1.1】]
1. 一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用. 此后，该质点的动能可能（ ）
A. 一直增大
B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大
C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
2. 为了节省能量，某商场安装了智能化的电动扶梯. 无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运转. 一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程，如图7. 则下列说法正确的是（ ）
A. 顾客始终受到三个力的作用
B. 顾客始终处于超重状态
C. 顾客对扶梯作用力的方向先指向左下方，再竖直向下
D. 顾客对扶梯作用的方向先指向右下方，再竖直向下
3. 在空气阻力大小恒定的条件下，小球从空中下落，与水平地面相碰（碰撞时间极短）后弹到空中某一高度. 以向下为正方向，其速度随时间变化的关系如图8，取[g=]10m/s2，则以下结论正确的是（ ）
A. 小球弹起的最大高度为1.0m
B. 小球弹起的最大高度为0.45m
C. 小球弹起到最大高度的时刻[t2=]0.80s
D. 空气阻力与重力的比值为1∶5
4. 如图9，一固定杆与水平方向的夹角为[θ]，将一质量为[m1]的小环A套在杆上，将质量为[m2]的小球[B]通过轻绳悬挂在环下，然后由静止释放，环沿杆下滑，稳定后悬绳与竖直方向成[β]角且保持不变，则系统稳定后（ ）
A. 环与小球可能一起做匀速运动
B. 若[θ=β]，则环与小球加速度[a=gsinθ]
C. 若[m1]不变，则[m2]越大，[β]越小
D. 由题设条件可判断，一定有[0<β≤θ]
5. 一物体自[t=0]时开始做直线运动，其速度图线如图10. 则（ ）
[2 4 6]
A. 在0～6s内，物体离出发点最远为30m
B. 在0～6s内，物体经过的路程为40m
C. 在0～4s内，物体的平均速率为7.5m/s
D. 在5～6s内，物体所受的合外力做负功
6. “蹦极”就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节处，从几十米高处跳下的一种极限运动. 某人做蹦极运动，所受绳子拉力[F]的上部随时间[t]变化的情况如图11，将蹦极过程近似为竖直方向的运动，重力加速度为[g]. 则此人在蹦极过程中的最大加速度约为（ ）
A. [g] B. [2g] C. [3g] D. [4g]
7. 如图12，石拱桥的正中央有一质量为[m]的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为[α]，重力加速度为[g]，若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为（ ）
A. [mg2sinα] B. [mg2cosα]
C. [12mgtanα] D. [12mgcotα]
8. 一物体做匀加速直线运动，通过一段位移[Δx]所用的时间[为t1]，紧接着通过下一段位移[Δx]所用时间为[t2]. 则物体运动的加速度为（ ）
A. [2Δx(t1-t2)t1t2(t1+t2)] B. [Δx(t1-t2)t1t2(t1+t2)]
C. [2Δx(t1+t2)t1t2(t1-t2)] D. [Δx(t1+t2)t1t2(t1-t2)]
9. 如图13，质量为[m=1kg]的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向成[θ=30°]，球与杆间的动摩擦因数为[36]，小球受到竖直向上的拉力[F=20N]，则小球沿杆上滑的加速度大小为（ ）
A. [2m/s2] B. [2.5m/s2]
C. [3m/s2] D. [4m/s2]
10. 如图14，墙上有两个钉子[a]和[b]，它们的连线与水平方向的夹角为[45°]，两者的高度差为[l]. 一条不可伸长的轻质细绳一端固定于[a]点，另一端跨过光滑钉子[b]悬挂一质量为[m1]的重物. 在绳子距[a]端[l2]的[c]点有一固定绳圈. 若绳圈上悬挂质量为[m2]的钩码，平衡后绳的[ac]段正好水平，则重物和钩码的质量比[m1m2]为（ ）
A. [5] B. 2 C. [52] D. [2]
11. 相隔一定距离的[A、B]两小球的质量相等，假设它们之间存在恒定的斥力作用. 原来两球均被按住处于静止状态，现突然松开两球，同时给[A]球以初速度[v0]使之沿两球连线向[B]球运动，[B]球初速度为零. 若两球的距离从最小值（两球未接触）到恢复为原始值所经历的时间为[t0]，求[B]球在斥力作用下的加速度大小.
12. 甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变. 在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半. 求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比.
13. 如图15，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体[A]和[B]，物体[A]放在倾角为[θ]的斜面上. 已知[A]的质量为[m]，[B]和斜面间动摩擦因数为[μ]（[μ
14. 如图16，长为[L]、内壁光滑的直管与水平地面成[30°]的固定放置. 将一质量为[m]的小物块固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为[M=km]的小物块相连，小物块悬挂于管口. 现将小物块释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变. 重力加速度为[g].
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）证明小球平抛运动的水平位移总小于[22L].
15. 如图17，质量[M=8kg]的足够长的小车停放在光滑水平面上，在小车右端施加一水平恒力[F=8N]. 当小车向右运动速度达到3m/s时，在小车的右端轻放一质量[m=]2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数[μ=0.2,] [g]取[10m/s2]. 求：
（1）经过多长时间，物块停止与小车间的相对运动；
（2）小物块从放在车上开始经过[t=3.0s]所通过的位移.
[【考点专练·必考1.2】]
1. 如图18，质量为[m]的小物块静止在倾角为[θ]的固定斜面上. 某时刻开始对小物块施加一个平行斜面向上的拉力[F，F]由零开始逐渐增大，当[F]增大到[F0]时，小物块开始沿斜面向上運动. 则[F0]的大小（ ）
A. 一定小于[2mgsinθ]
B. 一定等于[2mgsinθ]
C. 一定大于[2mgsinθ]
D. 可能等于[2mgsinθ]，也可能大于[2mgsinθ]
2. 如图19，甲、乙两同学从河中[O]点出发，分别沿直线游到[A]点和[B]点后，立即沿原路线返回到[O]点，[OA、OB]分别与水流方向平行和垂直，且[OA＝OB]. 若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间[t甲、t乙]的大小关系为（ ）
[水流方向]
A. [t甲 C. [t甲>t乙] D. 无法确定
3. 如图20，光滑水平面上有一质量为[m1]的足够长的木板，其上叠放一质量为[m2]的木块. 假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等. 现给木块施加一随时间[t]增大的水平力[F=kt]（[k]是常数），木板和木块加速度的大小分别为[a1]和[a2]. 下列反映[a1]和[a2]变化的选项正确的是（ ）
[A B][C D]
4. 倾角为[45°]的斜面固定于竖直墙上，为使质量分布均匀的光滑球静止在图21的位置，需用一个水平推力[F]作用于球上，[F]的作用线通过球心. 设球受到的重力为[G]，竖直墙对球的弹力为[N1]，斜面对球的弹力为[N2]，则（ ）
A. [N1]一定等于[F] B. [N2]一定大于[N1]
C. [N2]一定大于[G] D. [F]一定小于[G]
5. 磕头虫是一种不用足跳但又善于跳高的小甲虫. 当它腹朝天、背朝地躺在地面时，将头用力向后仰，拱起体背，在身下形成一个三角形空区，然后猛然收缩体内背纵肌，使重心迅速向下加速，背部猛烈撞击地面，地面反作用力便将其弹向空中（设磕头虫撞击地面和弹起的速率相等）. 弹射录像显示，磕头虫拱背后重心向下加速（视为匀加速）的距离约为0.8mm，弹射最大高度约为24cm. 人原地起跳方式是，先屈腿下蹲，然后突然蹬地向上加速. 如果加速过程（视为匀加速）人的重心上升高度约为0.5m，假设人与磕头虫向下的加速度大小相等，那么人离地后重心上升的最大高度可达（不计空气阻力的影响）（ ）
A. 150m B. 75m
C. 15m D. 7. 5m
6. 如图22甲，固定光滑斜面与地面成一定夹角，一物体在平行斜面向上的拉力作用下向上运动，拉力[F]和物体的速度[v]随时间变化的规律如图22乙，则物体的质量[m]及斜面与地面的夹角[θ]分别为（ ）
[2 4 6][2 4 6][1.0][5.5 5.0]
A. [1.0kg]，[45°] B. [1.0kg]，[30°]
C. [2.0kg]，[30°] D. [2.0kg]，[45°]
7. 如图23，倾角为[α]的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦. 现将质量分别为[M、m(M>m)]的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上. 两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等. 在[α]角取不同值的情况下（ ）
[绷带]
A. 两物块所受摩擦力的大小总是相等
B. 两物块不可能同时相对绸带静止
C. [M]不可能相对绸带发生滑动
D. [m]不可能相对斜面向上滑动
8. 如图24，将两相同的木块[a、b]置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁. 开始时[a、b]均静止. 弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，[a]所受摩擦力[Ffa≠0]，[b]所受摩擦力[Ffb=0]，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间（ ）
A. [Ffa]大小不变 B. [Ffa]方向改变
C. [Ffb]仍然为零 D. [Ffb]方向向右
9. 如图25甲，绷紧的水平传送带始终以恒定速率[v1]运行. 初速度大小为[v2]的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的[A]处滑上传送带. 若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的[v]-[t]图象（以地面为参考系）如图25乙. 已知[v2]＞[v1]，则（ ）
A. [t2]时刻，小物块离[A]处的距离达到最大
B. [t2]时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C. 0~[t2]时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D. 0~[t2]时间内，小物块始终受到大小不變的摩擦力作用
10. 如图26，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为[m1]和[m2]的物体[A]和[B]. 若滑轮有一定大小，质量为[m]且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦. 设细绳对[A]和[B]的拉力大小分别为[T1]和[T2]，已知下列四个关于[T1]的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断[T1]的表达式是（ ）
A. [(m+2m2)m1gm+2(m1+m2)] B. [(m+2m1)m2gm+4(m1+m2)]
C. [(m+4m2)m1gm+2(m1+m2)] D. [(m+4m1)m2gm+4(m1+m2)]
11. 质量为[m＝]2kg的物体放在粗糙水平面上，受水平推力[F＝]10N的作用从静止开始以加速度[a]＝4m/s2 做匀加速直线运动，9s末将力反向且大小不变，再经5s撤去力[F]，求物体从开始运动到停止下来所通过的总位移和总时间.
12. 某校课外活动小组自制了一枚质量为3.0kg的实验用火箭. 设火箭发射后，始终沿竖直方向运动. 火箭在地面点火后升至火箭燃料耗尽之前可认为做初速度为零的匀加速运动，经过4.0s到达离地面40m高处燃料恰好耗尽. 忽略火箭受到的空气阻力，[g]取10m/s2. 求：
（1）燃料恰好耗尽时火箭的速度大小；
（2）火箭上升离地面的最大高度；
（3）火箭加速上升时受到的最大推力的大小.
13. 如图27，平板车长[L]，质量为[m]，上表面到水平地面高度为[h]，以速度[v0]向右做匀速直线运动，[A、B]是左、右两个端点. 从某时刻起对平板车施加一个水平向左的恒力[F]，与此同时，将一个小球无速度轻放在平板车上的[P]点，[PB=L3]. 经一段时间，小球脱离平板车落到地面. 已知小球下落过程中不会和平板车相碰，所有摩擦均忽略不计. 求：
（1）小球从离开平板车开始至落到地面所用的时间；
（2）小球落地瞬间，平板车的速度大小.
14. 一滑块（可视为质点）经水平轨道[AB]进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道[BC]. 如图28，已知滑块的质量[m=]0.50kg，滑块经过[A]点时的速度[vA=]5.0m/s，[AB]长[x=]4.5m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数[μ=]0.10，圆弧形轨道的半径[R=]0.50m，滑块离开[C]点后竖直上升的最大高度[h=]0.10m. 取[g]=10m/s2. 求：
（1）滑块第一次经过[B]点时速度的大小；
（2）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上[B]点压力的大小；
（3）滑块在从[B]运动到[C]的过程中克服摩擦力所做的功.
15. 如图29，皮带传动装置与水平面夹角为[θ=30°]，轮半径[R=12π m]，两轮轴心相距[L=3.75m.][A、B]分别是传送带与两轮的切点，轮与传送带之间不打滑. 一个质量为[m=]0.1kg 的小物块与传送带间的动摩擦因数[μ=36]，[g]取10m/s2. 求：
（1）当传送带逆时针方向以速度[v1=]3m/s 匀速转动时，将小物块无初速地放在[A]点，它运动到[B]点的时间至少多长；
（2）小物块相对传送带运动时会在带上留下痕迹. 当传送带逆时针匀速运动时，小物块无初速地放在[A]点后运动至[B]点时飞出. 要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度[v2] 至少多大？
选择力学规律的程序首先是看研究对象：对于单个物体或是整体，若问题中涉及位移和时间，则可用动力学（恒力作用）的观点列方程求解；若问题中只涉及位移，则可用能量的观点求解；若问题中只涉及时间，则可用动量的观点求解.
题目的信息是通过语言文字、公式、符号、图象以及它们之间的关系直接或间接地表示出来的. 在读题、审题时，一定要逐字逐句看清楚，弄明白，有时甚至要从语法结构、逻辑关系等方面判断，弄清条件（特别是隐含条件）、结论与哪些知识点相关，也就可以找出突破口，再从知识模块中提取与之相对应的方法，从而找到解决问题的方案.
一、多过程问题
例1 如图1，质量为10kg的物体在倾角为[θ=37°]的斜面底部受一个沿斜面向上的力[F=100N]作用，由静止开始运动，2s内物体在斜面上移动了4m，2s末撤去力[F]，[g=]10m/s2. 求[F]撤去后，经过多长时间物体返回斜面底部？
解析 物体在三个不同阶段的受力情况如图2.
在加速上滑阶段，有[s1=12a1t21]，[a1=]2m/s2设沿斜面向上为正方向，据牛顿第二定律，有[F-mgsin37°-Ff=ma1]
即[F-mgsin37°-Ff=20N]
在[F]撤走瞬间，物体的速度[v=a1t1=4m/s]
设在减速上滑阶段的加速度为[a2]，所用时间为[t2]，位移为[s2]，取沿斜面向下为正方向，有
[mgsin37°+Ff=ma2]
得[a2=8m/s2]，[t2=va2=0.5s]，[s2=v2t2=1m]
设在加速下滑阶段的加速度为[a3]，所用时间为[t3]，位移为[s3]，有
[mg⋅sin37°-Ff=ma3]
得[a3=4m/s2]
[s3=s1+s2=5m]
而[s3=12a3t23]，[t3=1.58s]
則撤去力后经时间[t=t2+t3=2.08s]，物体返回斜面底部.
点拨 力与运动问题有两种基本类型：（1）已知物体受力求运动情况；（2）已知物体运动情况求受力. 求解的基本方法是：①选定研究对象；②分析受力情况，画受力图；③分析物体运动情况，确定加速度；④根据牛顿运动定律、运动学公式等建立方程并求解.
二、连接体与临界问题
例2 如图3甲，一固定的光滑斜面的倾角[θ=30°]，在其底端有一固定挡板[C]，在斜面上两个物体[A]、[B]，质量均为1kg. 两物体之间用一根轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数[k=20N/m]. 开始时两物体均处于静止状态，现对物体[B]施加一个外力[F]使它做加速度[a=1m/s2]的匀加速直线运动，直到物体[A]恰好离开挡板[C]，[g=10m/s2]. 求：
（1）此过程中外力[F]的最小值与最大值；
（2）此过程的运动时间；
（3）若以物体[B]的初始位置为坐标原点，在图3乙中画出力[F]与物体[B]位移[x]变化的图象.
解析 （1）由题意可知，外力的最小值为开始时. 对物体[B]，有
[Fmin=ma=1N]
外力[F]的最大值在物体[A]恰好离开挡板时，此时[A]的加速度为0. 对整体，有
[Fmax-2mgsinθ=ma]
则[Fmax=2mgsinθ+ma=11N]
（2）由题意可知，物体[B]的位移
[x=2mgsinθk=0.5m]
由运动学公式，运动的时间[t=2xa=1s]
（3）由受力分析可知，外力[F]的表达式[F=kx+ma=20x+1]，如图4.
点拨 在连接体问题中，一定要巧妙选取研究对象，如初始时应选取物体[B]为研究对象，因为物体[A]静止且受弹簧弹力和挡板作用，若以[A]或者整体为研究对象都比较麻烦；弹力最大时[A]即将远离挡板运动，加速度为0，如果选择隔离体则会涉及弹簧弹力，故以整体为对象. 同时，如果碰到与弹簧连接的物体做匀变速运动，会有其他变力与弹力共同达到恒力作用的效果. 在画力与位移关系图时要有一个大致的判断，这也是我们判断结果正确与否的一个基本依据.
三、图象法与隐含条件问题
例3 如图5，一小环[A]套在一均匀圆木棒[B]上，质量都是[m]，[A]和[B]之间的滑动摩擦力为[f]. 开始时[B]竖直放置，下端离地面高度为[h]，[A]在[B]的顶端. 某时刻它们由静止自由下落，木棒与地面相撞后立即反弹，且反弹速度大小与碰前相等，不计空气阻力和碰地时间. 求：在[f＜mg]和[f＞mg]两种情况下，要求[B]在再次着地前，[A]不脱离[B]，[B]至少应多长？
图5
解析 首先[A]和[B]一起自由下落，木棒[B]落地前速度大小为[v0=2gh]
[B]棒碰地反弹上升时，[B]的加速度[aB=mg+fm]，方向向下；[A]环的速度向下，但加速度方向取决于[f]和[mg]的大小关系：
当[f＜mg]时，[A]环的加速度也向下，[aA=mg-fm]，[A]环仍向下加速. 取向下为正，速度图象如图6甲，到[B]再次着地前运动时间[t=2v0aB]
对[A]，有[sA=v0t+12aAt2]
要[A]不脱离[B]，必须[l≥sA]
或用二者速度图线与坐标所围的面积表示相对滑动的距离[Δs=v0+(v0+aAt)2×t≤l]
联立解得[l≥8m2g2h(mg+f)2]，即[B]棒至少长[8m2g2h(mg+f)2].
当[f＞mg]时，[B]棒碰地反弹上升时，[A]环的加速度也向上，[aA=f-mgm]， [A]环向下减速. 则[B]棒反弹到最高点再下落时，会与[A]环共速. 共速后二者间摩擦力消失，一起做竖直下抛运动.
取向下为正方向，速度图象如图6乙，二者的速度图线与坐标所围的面积表示相对滑动的距离. 相对滑动阶段，相对初速度[u=2v0]，相对加速度[a相=aA+aB=2fm]，相对末速度[ut=0]，相对滑动距离
[Δs=u2t-u20-2a相=0-（2v0)2-2×2fm=mv20f≤l]
联立解得[l≥2mghf]，即[B]棒至少长[2mghf].
点拨 对有相对位移的关联问题，可以借助速度图线辅助求解. 同时注意题目条件的细微变化带来的差异，如本题题设摩擦力大小不同，运动情况大不一样. 平时要养成“一题多变”“一题多解”“多题归一”的思维习惯，逐步获得“举一反三”的能力.
[【考点专练·必考1.1】]
1. 一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用. 此后，该质点的动能可能（ ）
A. 一直增大
B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大
C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
2. 为了节省能量，某商场安装了智能化的电动扶梯. 无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运转. 一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程，如图7. 则下列说法正确的是（ ）
A. 顾客始终受到三个力的作用
B. 顾客始终处于超重状态
C. 顾客对扶梯作用力的方向先指向左下方，再竖直向下
D. 顾客对扶梯作用的方向先指向右下方，再竖直向下
3. 在空气阻力大小恒定的条件下，小球从空中下落，与水平地面相碰（碰撞时间极短）后弹到空中某一高度. 以向下为正方向，其速度随时间变化的关系如图8，取[g=]10m/s2，则以下结论正确的是（ ）
A. 小球弹起的最大高度为1.0m
B. 小球弹起的最大高度为0.45m
C. 小球弹起到最大高度的时刻[t2=]0.80s
D. 空气阻力与重力的比值为1∶5
4. 如图9，一固定杆与水平方向的夹角为[θ]，将一质量为[m1]的小环A套在杆上，将质量为[m2]的小球[B]通过轻绳悬挂在环下，然后由静止释放，环沿杆下滑，稳定后悬绳与竖直方向成[β]角且保持不变，则系统稳定后（ ）
A. 环与小球可能一起做匀速运动
B. 若[θ=β]，则环与小球加速度[a=gsinθ]
C. 若[m1]不变，则[m2]越大，[β]越小
D. 由题设条件可判断，一定有[0<β≤θ]
5. 一物体自[t=0]时开始做直线运动，其速度图线如图10. 则（ ）
[2 4 6]
A. 在0～6s内，物体离出发点最远为30m
B. 在0～6s内，物体经过的路程为40m
C. 在0～4s内，物体的平均速率为7.5m/s
D. 在5～6s内，物体所受的合外力做负功
6. “蹦极”就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节处，从几十米高处跳下的一种极限运动. 某人做蹦极运动，所受绳子拉力[F]的上部随时间[t]变化的情况如图11，将蹦极过程近似为竖直方向的运动，重力加速度为[g]. 则此人在蹦极过程中的最大加速度约为（ ）
A. [g] B. [2g] C. [3g] D. [4g]
7. 如图12，石拱桥的正中央有一质量为[m]的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为[α]，重力加速度为[g]，若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为（ ）
A. [mg2sinα] B. [mg2cosα]
C. [12mgtanα] D. [12mgcotα]
8. 一物体做匀加速直线运动，通过一段位移[Δx]所用的时间[为t1]，紧接着通过下一段位移[Δx]所用时间为[t2]. 则物体运动的加速度为（ ）
A. [2Δx(t1-t2)t1t2(t1+t2)] B. [Δx(t1-t2)t1t2(t1+t2)]
C. [2Δx(t1+t2)t1t2(t1-t2)] D. [Δx(t1+t2)t1t2(t1-t2)]
9. 如图13，质量为[m=1kg]的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向成[θ=30°]，球与杆间的动摩擦因数为[36]，小球受到竖直向上的拉力[F=20N]，则小球沿杆上滑的加速度大小为（ ）
A. [2m/s2] B. [2.5m/s2]
C. [3m/s2] D. [4m/s2]
10. 如图14，墙上有两个钉子[a]和[b]，它们的连线与水平方向的夹角为[45°]，两者的高度差为[l]. 一条不可伸长的轻质细绳一端固定于[a]点，另一端跨过光滑钉子[b]悬挂一质量为[m1]的重物. 在绳子距[a]端[l2]的[c]点有一固定绳圈. 若绳圈上悬挂质量为[m2]的钩码，平衡后绳的[ac]段正好水平，则重物和钩码的质量比[m1m2]为（ ）
A. [5] B. 2 C. [52] D. [2]
11. 相隔一定距离的[A、B]两小球的质量相等，假设它们之间存在恒定的斥力作用. 原来两球均被按住处于静止状态，现突然松开两球，同时给[A]球以初速度[v0]使之沿两球连线向[B]球运动，[B]球初速度为零. 若两球的距离从最小值（两球未接触）到恢复为原始值所经历的时间为[t0]，求[B]球在斥力作用下的加速度大小.
12. 甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变. 在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半. 求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比.
13. 如图15，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体[A]和[B]，物体[A]放在倾角为[θ]的斜面上. 已知[A]的质量为[m]，[B]和斜面间动摩擦因数为[μ]（[μ
14. 如图16，长为[L]、内壁光滑的直管与水平地面成[30°]的固定放置. 将一质量为[m]的小物块固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为[M=km]的小物块相连，小物块悬挂于管口. 现将小物块释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变. 重力加速度为[g].
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）证明小球平抛运动的水平位移总小于[22L].
15. 如图17，质量[M=8kg]的足够长的小车停放在光滑水平面上，在小车右端施加一水平恒力[F=8N]. 当小车向右运动速度达到3m/s时，在小车的右端轻放一质量[m=]2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数[μ=0.2,] [g]取[10m/s2]. 求：
（1）经过多长时间，物块停止与小车间的相对运动；
（2）小物块从放在车上开始经过[t=3.0s]所通过的位移.
[【考点专练·必考1.2】]
1. 如图18，质量为[m]的小物块静止在倾角为[θ]的固定斜面上. 某时刻开始对小物块施加一个平行斜面向上的拉力[F，F]由零开始逐渐增大，当[F]增大到[F0]时，小物块开始沿斜面向上運动. 则[F0]的大小（ ）
A. 一定小于[2mgsinθ]
B. 一定等于[2mgsinθ]
C. 一定大于[2mgsinθ]
D. 可能等于[2mgsinθ]，也可能大于[2mgsinθ]
2. 如图19，甲、乙两同学从河中[O]点出发，分别沿直线游到[A]点和[B]点后，立即沿原路线返回到[O]点，[OA、OB]分别与水流方向平行和垂直，且[OA＝OB]. 若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间[t甲、t乙]的大小关系为（ ）
[水流方向]
A. [t甲
3. 如图20，光滑水平面上有一质量为[m1]的足够长的木板，其上叠放一质量为[m2]的木块. 假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等. 现给木块施加一随时间[t]增大的水平力[F=kt]（[k]是常数），木板和木块加速度的大小分别为[a1]和[a2]. 下列反映[a1]和[a2]变化的选项正确的是（ ）
[A B][C D]
4. 倾角为[45°]的斜面固定于竖直墙上，为使质量分布均匀的光滑球静止在图21的位置，需用一个水平推力[F]作用于球上，[F]的作用线通过球心. 设球受到的重力为[G]，竖直墙对球的弹力为[N1]，斜面对球的弹力为[N2]，则（ ）
A. [N1]一定等于[F] B. [N2]一定大于[N1]
C. [N2]一定大于[G] D. [F]一定小于[G]
5. 磕头虫是一种不用足跳但又善于跳高的小甲虫. 当它腹朝天、背朝地躺在地面时，将头用力向后仰，拱起体背，在身下形成一个三角形空区，然后猛然收缩体内背纵肌，使重心迅速向下加速，背部猛烈撞击地面，地面反作用力便将其弹向空中（设磕头虫撞击地面和弹起的速率相等）. 弹射录像显示，磕头虫拱背后重心向下加速（视为匀加速）的距离约为0.8mm，弹射最大高度约为24cm. 人原地起跳方式是，先屈腿下蹲，然后突然蹬地向上加速. 如果加速过程（视为匀加速）人的重心上升高度约为0.5m，假设人与磕头虫向下的加速度大小相等，那么人离地后重心上升的最大高度可达（不计空气阻力的影响）（ ）
A. 150m B. 75m
C. 15m D. 7. 5m
6. 如图22甲，固定光滑斜面与地面成一定夹角，一物体在平行斜面向上的拉力作用下向上运动，拉力[F]和物体的速度[v]随时间变化的规律如图22乙，则物体的质量[m]及斜面与地面的夹角[θ]分别为（ ）
[2 4 6][2 4 6][1.0][5.5 5.0]
A. [1.0kg]，[45°] B. [1.0kg]，[30°]
C. [2.0kg]，[30°] D. [2.0kg]，[45°]
7. 如图23，倾角为[α]的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦. 现将质量分别为[M、m(M>m)]的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上. 两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等. 在[α]角取不同值的情况下（ ）
[绷带]
A. 两物块所受摩擦力的大小总是相等
B. 两物块不可能同时相对绸带静止
C. [M]不可能相对绸带发生滑动
D. [m]不可能相对斜面向上滑动
8. 如图24，将两相同的木块[a、b]置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁. 开始时[a、b]均静止. 弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，[a]所受摩擦力[Ffa≠0]，[b]所受摩擦力[Ffb=0]，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间（ ）
A. [Ffa]大小不变 B. [Ffa]方向改变
C. [Ffb]仍然为零 D. [Ffb]方向向右
9. 如图25甲，绷紧的水平传送带始终以恒定速率[v1]运行. 初速度大小为[v2]的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的[A]处滑上传送带. 若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的[v]-[t]图象（以地面为参考系）如图25乙. 已知[v2]＞[v1]，则（ ）
A. [t2]时刻，小物块离[A]处的距离达到最大
B. [t2]时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C. 0~[t2]时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D. 0~[t2]时间内，小物块始终受到大小不變的摩擦力作用
10. 如图26，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为[m1]和[m2]的物体[A]和[B]. 若滑轮有一定大小，质量为[m]且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦. 设细绳对[A]和[B]的拉力大小分别为[T1]和[T2]，已知下列四个关于[T1]的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断[T1]的表达式是（ ）
A. [(m+2m2)m1gm+2(m1+m2)] B. [(m+2m1)m2gm+4(m1+m2)]
C. [(m+4m2)m1gm+2(m1+m2)] D. [(m+4m1)m2gm+4(m1+m2)]
11. 质量为[m＝]2kg的物体放在粗糙水平面上，受水平推力[F＝]10N的作用从静止开始以加速度[a]＝4m/s2 做匀加速直线运动，9s末将力反向且大小不变，再经5s撤去力[F]，求物体从开始运动到停止下来所通过的总位移和总时间.
12. 某校课外活动小组自制了一枚质量为3.0kg的实验用火箭. 设火箭发射后，始终沿竖直方向运动. 火箭在地面点火后升至火箭燃料耗尽之前可认为做初速度为零的匀加速运动，经过4.0s到达离地面40m高处燃料恰好耗尽. 忽略火箭受到的空气阻力，[g]取10m/s2. 求：
（1）燃料恰好耗尽时火箭的速度大小；
（2）火箭上升离地面的最大高度；
（3）火箭加速上升时受到的最大推力的大小.
13. 如图27，平板车长[L]，质量为[m]，上表面到水平地面高度为[h]，以速度[v0]向右做匀速直线运动，[A、B]是左、右两个端点. 从某时刻起对平板车施加一个水平向左的恒力[F]，与此同时，将一个小球无速度轻放在平板车上的[P]点，[PB=L3]. 经一段时间，小球脱离平板车落到地面. 已知小球下落过程中不会和平板车相碰，所有摩擦均忽略不计. 求：
（1）小球从离开平板车开始至落到地面所用的时间；
（2）小球落地瞬间，平板车的速度大小.
14. 一滑块（可视为质点）经水平轨道[AB]进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道[BC]. 如图28，已知滑块的质量[m=]0.50kg，滑块经过[A]点时的速度[vA=]5.0m/s，[AB]长[x=]4.5m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数[μ=]0.10，圆弧形轨道的半径[R=]0.50m，滑块离开[C]点后竖直上升的最大高度[h=]0.10m. 取[g]=10m/s2. 求：
（1）滑块第一次经过[B]点时速度的大小；
（2）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上[B]点压力的大小；
（3）滑块在从[B]运动到[C]的过程中克服摩擦力所做的功.
15. 如图29，皮带传动装置与水平面夹角为[θ=30°]，轮半径[R=12π m]，两轮轴心相距[L=3.75m.][A、B]分别是传送带与两轮的切点，轮与传送带之间不打滑. 一个质量为[m=]0.1kg 的小物块与传送带间的动摩擦因数[μ=36]，[g]取10m/s2. 求：
（1）当传送带逆时针方向以速度[v1=]3m/s 匀速转动时，将小物块无初速地放在[A]点，它运动到[B]点的时间至少多长；
（2）小物块相对传送带运动时会在带上留下痕迹. 当传送带逆时针匀速运动时，小物块无初速地放在[A]点后运动至[B]点时飞出. 要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度[v2] 至少多大？