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中图分类号:G632文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)20-129-02
应试教育数学教学模式的弊端是:重结论轻过程、重训练轻思维、重方法的轻思想、重教学轻教育,其结果容易造成“事倍功半”、“高分低能”,不利于学生数学素质的提高。笔者认为,数学教学是重要的,但是数学教育比数学教学更重要,数学思想方法教学比数学内容教学更重要。以下就数学思想方法的教学谈点体会。
一、数学思想方法的教学是数学教学的根本
1.数学思想方法的教学体现了数学教育的功能。数学教育就是数学观的教育,它是数学的存在和发展、理论与应用的认识教育,是数学的个性与共性、具体与抽象基本认识的教育,包括数学意识、数学态度、数学观念、数学思想、数学方法等,数学教学应使学生形成正确的数学观。
2.数学思想方法的教学是提高学生数学素质,培养学生创造性思维的需要。随着社会的进步与发展,不使用数学的内容、思想、方法和语言的科学技术逐渐不存在了。数学成为现代科学文化的重要组成部分,数学教育的实质是在数学思想方法、数学思维原则指导下,使不同的学生学习不同层次的数学知识,建立不同水平的数学观念、思想和方法,具有不同程度解决问题、逻辑推理和信息交流的能力,形成坚定自信的意志品格和开放性创造性的思维品质,这就是培养21世纪人才的数学教学观。
3.数学思想方法教学是发展人的潜能,减轻学生负担,优化课堂教学的途径。劳埃说:“教育无非是数学的思想、观念和思维方法,就是发挥人的潜能,使人形成良好的认知结构,从而促进知识结构的形成和发展。突出数学思想的教学,学生就会成为观念演变过程中积极主动参与者,而不是成果的旁观者或消极接受者。这样的学习才会激发兴趣、增强信心、摆脱依赖、形成个性、减轻负担、优化课堂教学。
二、中学阶段常用的数学思想方法
1.数形结合的思想方法。数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过对图形的处理,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,从而达到化难为易,化抽象为直观的目的。这个思想方法在函数、复数、三角、解析几何等的学习研究中体现得非常突出。
2.函数、方程的思想。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数量特征,建立函数关系。与函数思想相联系的就是方程思想。例如一元二次不等式的解,一元二次方程根的研究、二次函数最值等问题,都是函数变量关系与制约,函数图像的运动与变化的生动体现。
3.逻辑划分的思想。根据需要对研究对象进行分类,然后对划分的第一类分别进行研究、求解、综合后即得答案,逻辑划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,有些问题分类后还可以在每一类中再进行细分。例如,函数y=ax2+bx+c,先按是否二次函数(即a=0与a≠0)进行分类,在二次函数的条件下,可先按△>0、△=0、△<0分类,接着按a正负符号再分类。也可以先按a正负符号分类,再按△>0、△=0、△<0分类。
4.化归转化思想。中学数学中,方程间的转化、不等式间的转化、方程与不等式间的转化、复杂与简单问题间的转化、特殊与一般间的转化、抽象与具体间的转化等,都是数学中常用的化归转化。
5.数学变换思想。保持数学问题的某些不变性质,改变信息形态,借以解决问题的思想方法。具体可分为传遵纪守法形式变换,符号表达方式的变换,空间关系的变换。传递形式的变换,指的是语义信息、符号信息、形象信息的变换。如语义信息“a、b、c都为零”转换为“a2+b2+c2=0”等,是一各语义与符号、符号与形象信息间的变换。
6.探索归纳思想、观察、实验、分析、归纳,这是人们认识客观事物的重要方法。探索归纳的思想在数学学习中最突出地体现在数列单元的学习与研究中,此外许多单元的教学都可以进行探索归纳的设计,变演绎为归纳,或者演绎与归纳交错进行,有利于学生探索归纳思想观念的形成。
三、实施数学思想方法教学的原则
1.情感性原则。在教师努力创造和谐、自然、美好、合作的氛围中,在师生共同研究探索中,使学生逐步地潜移默化地形成数学思想方法的观念系统,使学生真正感到数学思想方法能够帮助他们驾驭、把握数学学习的过程,轻松愉快地获得数学知识与数学的思维能力,提高数学的素养,独立地解决问题,形成数学的观念系统。
2.渗透性原则。数学思想方法与数学具体内容是不可分割的整体,因此数学思想方法要与具体的数学内容相结合,在应用过程中理解其意义和作用,发挥其功效。教学中,对每种思想和方法都应结合具体内容讲授,渗透教学的全过程,此外,还应在不同的课型如概念课、方法课、练习课、复习课、必修课、选修课、活动课中渗透,还应该在教法和学法中渗透,使学生深刻感受并潜移默化。
3.整体性原则。在数学过程中,要理解教材的编写意图,从整体书或整个章节单元,把握数学的思想方法。反过来,只有用数学思想方法整体地把握整本书或整个章节的教学,才能抓住重点,突破难眯。例如,初中代数第二章《有理数》,注意突出正与负、加与减、乘与除、精确与近似的辩证关系及其相互转化的思想,这样在有理数的四则运算中,就把问题的研究集中到加法和乘法上,这就是可逆转化思想的应用。
4.层次性原则。知识结构和认知结构具有层次性,决定了数学过程中体现的数学思想方法也应该具有层次性,也就是以局部——整体——局部——再整体的规律不断地分层次地展开。例如解不等式,初中先学习解一元一次不等式(组),接着研究一元二次不等式;高中在此基础上再研究分工不等式、高次不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式。在学习解方程、不等式之后,又要从方程不等式的整体上认识化归的数学思想,及其具体的解法表达特点。
5.主体性原则。教师还逐步地启发学生在自己的学习实践活动中,经过自己的努力,认识数学思想方法是获得数学知识、应用数学知识、解决数学问题的指导思想和思维原则。数学的知识、解决问题的方法,并非靠老师赋予,而是靠学生自己在正确的数学思想方法指导下努力学习和实践获得的。
6.结构性原则。思想与结构是不可分割的整体,不存在没有思想的结构,也不存在没有结构的思想。数学的知识结构、认知结构要体现数学的思想方法,反之,数学的思想方法也要存在于数学的知识结构与认知结构之中。
7.应用性原则。数学的应用主要是解题,解题是一种教与学的实践活动,是数学思想活动的场所。即使是解决常规问题,看起来这是在实现一系列规范操作,其实不然,因为操作程序是别人的思想“外化”的结果,不过是对思想过程的一种简约,学习解题常常先要经过模仿阶段,模仿不应该只是重复动作,不应该只是机械操作,而应该反复提示解题的数学思想和思维原则。
四、未来教育目的观和学科教育本质要求重视数学思想方法的教学
未来社会既是一个科技迅速发展的知识密集型社会,又是一个生活质量全面提高,文化需求全面增长的社会。因此,我们必须提倡和坚持一种完整的教育目的观,一种既信奉科学,又崇尚人格完善的,以科学为基础和手段,以人自身的完善和解放为终极目的的人的发展观 ,以促使个人和社会朝着和谐健康方向发展的未来教育目的观,这一教育目的观要求我们在科学实践活动中,在整个教育活动中不断发展和完善人的品质——文化素养、思维素养、思想素养、行为素养、心理素养,培养和发展人的各种能力,使个体在学习掌握文化知识的同时,在思想、道德、行为、身体等诸方面都得到发展。
数学在自然科学、社会科学、行为科学等方面的广泛应用,使得现代科学的任何部分几乎都已带上了不可磨灭的数学印记。而数学的思想方法,是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学的观点和文化,数学的精神和态度,它使人思维敏捷,表达清楚,工作有条理;使人善于处世和做事,使人实事求是,锲而不舍,使人在文化方面的修养得到提高,更好地理解、领略和创造现代社会的文明。
综上所述,在数学教育中应该重视数学思想方法的教学。在教学中教师不能就基础知识而教学,应总结、提炼出其中的数学思想方法,才能真正提高学生的数学能力。
贯彻数学思想方法的教学,可以从以下途径来进行:
1.充分挖掘教材中的数学思想方法。数学思想方法是隐性的更本质的知识内容,因此教师必须深入钻研教材,充分挖掘有关思想方法。例如,在中学教学中,有理数乘法法则的讲述,在一些旧教材中注重由一般到特殊的演绎推理,而新编的教材中充分运用了数形结合和归纳推理的方法,后者降低了难度而又不失科学性,教师可给学生介绍这两种基本而又常用的思想方法。
2.有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透和介绍有关数学思想方法。首先, 在进行教学时,一般可以从数学内容中所蕴涵的数学方法去考虑应渗透、或介绍或强调哪些数学思想?要求学生在什么层次上把握数学方法?然后进行合理的教学设计,有意识地进行数学思想方法的教学。其次,在学生数学知识形成过程中,有计划地介绍有关的数学思想方法。在知识结论推导阶段和解题教学中选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法,在知识总结阶段,可采用公理化、结构化等思想方法。
总而言之,在数学教学过程中要充分展现数学思想方法,并且要贯彻以下三条原则:
第一,反映数学发展规律,介绍数学概念的形成背景,运用生活中和数学内容的矛盾提出问题。
第二,根据教学内容渗透、介绍,突出相应的或隐含的数学思想方法。
第三,引导学生探索或体验相应的数学思想方法,通过:“直觉——试探——思索——猜想——证明”这一发现数学,理解数学的一般过程,去学习数学和数学思想方法。
应试教育数学教学模式的弊端是:重结论轻过程、重训练轻思维、重方法的轻思想、重教学轻教育,其结果容易造成“事倍功半”、“高分低能”,不利于学生数学素质的提高。笔者认为,数学教学是重要的,但是数学教育比数学教学更重要,数学思想方法教学比数学内容教学更重要。以下就数学思想方法的教学谈点体会。
一、数学思想方法的教学是数学教学的根本
1.数学思想方法的教学体现了数学教育的功能。数学教育就是数学观的教育,它是数学的存在和发展、理论与应用的认识教育,是数学的个性与共性、具体与抽象基本认识的教育,包括数学意识、数学态度、数学观念、数学思想、数学方法等,数学教学应使学生形成正确的数学观。
2.数学思想方法的教学是提高学生数学素质,培养学生创造性思维的需要。随着社会的进步与发展,不使用数学的内容、思想、方法和语言的科学技术逐渐不存在了。数学成为现代科学文化的重要组成部分,数学教育的实质是在数学思想方法、数学思维原则指导下,使不同的学生学习不同层次的数学知识,建立不同水平的数学观念、思想和方法,具有不同程度解决问题、逻辑推理和信息交流的能力,形成坚定自信的意志品格和开放性创造性的思维品质,这就是培养21世纪人才的数学教学观。
3.数学思想方法教学是发展人的潜能,减轻学生负担,优化课堂教学的途径。劳埃说:“教育无非是数学的思想、观念和思维方法,就是发挥人的潜能,使人形成良好的认知结构,从而促进知识结构的形成和发展。突出数学思想的教学,学生就会成为观念演变过程中积极主动参与者,而不是成果的旁观者或消极接受者。这样的学习才会激发兴趣、增强信心、摆脱依赖、形成个性、减轻负担、优化课堂教学。
二、中学阶段常用的数学思想方法
1.数形结合的思想方法。数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过对图形的处理,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,从而达到化难为易,化抽象为直观的目的。这个思想方法在函数、复数、三角、解析几何等的学习研究中体现得非常突出。
2.函数、方程的思想。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数量特征,建立函数关系。与函数思想相联系的就是方程思想。例如一元二次不等式的解,一元二次方程根的研究、二次函数最值等问题,都是函数变量关系与制约,函数图像的运动与变化的生动体现。
3.逻辑划分的思想。根据需要对研究对象进行分类,然后对划分的第一类分别进行研究、求解、综合后即得答案,逻辑划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,有些问题分类后还可以在每一类中再进行细分。例如,函数y=ax2+bx+c,先按是否二次函数(即a=0与a≠0)进行分类,在二次函数的条件下,可先按△>0、△=0、△<0分类,接着按a正负符号再分类。也可以先按a正负符号分类,再按△>0、△=0、△<0分类。
4.化归转化思想。中学数学中,方程间的转化、不等式间的转化、方程与不等式间的转化、复杂与简单问题间的转化、特殊与一般间的转化、抽象与具体间的转化等,都是数学中常用的化归转化。
5.数学变换思想。保持数学问题的某些不变性质,改变信息形态,借以解决问题的思想方法。具体可分为传遵纪守法形式变换,符号表达方式的变换,空间关系的变换。传递形式的变换,指的是语义信息、符号信息、形象信息的变换。如语义信息“a、b、c都为零”转换为“a2+b2+c2=0”等,是一各语义与符号、符号与形象信息间的变换。
6.探索归纳思想、观察、实验、分析、归纳,这是人们认识客观事物的重要方法。探索归纳的思想在数学学习中最突出地体现在数列单元的学习与研究中,此外许多单元的教学都可以进行探索归纳的设计,变演绎为归纳,或者演绎与归纳交错进行,有利于学生探索归纳思想观念的形成。
三、实施数学思想方法教学的原则
1.情感性原则。在教师努力创造和谐、自然、美好、合作的氛围中,在师生共同研究探索中,使学生逐步地潜移默化地形成数学思想方法的观念系统,使学生真正感到数学思想方法能够帮助他们驾驭、把握数学学习的过程,轻松愉快地获得数学知识与数学的思维能力,提高数学的素养,独立地解决问题,形成数学的观念系统。
2.渗透性原则。数学思想方法与数学具体内容是不可分割的整体,因此数学思想方法要与具体的数学内容相结合,在应用过程中理解其意义和作用,发挥其功效。教学中,对每种思想和方法都应结合具体内容讲授,渗透教学的全过程,此外,还应在不同的课型如概念课、方法课、练习课、复习课、必修课、选修课、活动课中渗透,还应该在教法和学法中渗透,使学生深刻感受并潜移默化。
3.整体性原则。在数学过程中,要理解教材的编写意图,从整体书或整个章节单元,把握数学的思想方法。反过来,只有用数学思想方法整体地把握整本书或整个章节的教学,才能抓住重点,突破难眯。例如,初中代数第二章《有理数》,注意突出正与负、加与减、乘与除、精确与近似的辩证关系及其相互转化的思想,这样在有理数的四则运算中,就把问题的研究集中到加法和乘法上,这就是可逆转化思想的应用。
4.层次性原则。知识结构和认知结构具有层次性,决定了数学过程中体现的数学思想方法也应该具有层次性,也就是以局部——整体——局部——再整体的规律不断地分层次地展开。例如解不等式,初中先学习解一元一次不等式(组),接着研究一元二次不等式;高中在此基础上再研究分工不等式、高次不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式。在学习解方程、不等式之后,又要从方程不等式的整体上认识化归的数学思想,及其具体的解法表达特点。
5.主体性原则。教师还逐步地启发学生在自己的学习实践活动中,经过自己的努力,认识数学思想方法是获得数学知识、应用数学知识、解决数学问题的指导思想和思维原则。数学的知识、解决问题的方法,并非靠老师赋予,而是靠学生自己在正确的数学思想方法指导下努力学习和实践获得的。
6.结构性原则。思想与结构是不可分割的整体,不存在没有思想的结构,也不存在没有结构的思想。数学的知识结构、认知结构要体现数学的思想方法,反之,数学的思想方法也要存在于数学的知识结构与认知结构之中。
7.应用性原则。数学的应用主要是解题,解题是一种教与学的实践活动,是数学思想活动的场所。即使是解决常规问题,看起来这是在实现一系列规范操作,其实不然,因为操作程序是别人的思想“外化”的结果,不过是对思想过程的一种简约,学习解题常常先要经过模仿阶段,模仿不应该只是重复动作,不应该只是机械操作,而应该反复提示解题的数学思想和思维原则。
四、未来教育目的观和学科教育本质要求重视数学思想方法的教学
未来社会既是一个科技迅速发展的知识密集型社会,又是一个生活质量全面提高,文化需求全面增长的社会。因此,我们必须提倡和坚持一种完整的教育目的观,一种既信奉科学,又崇尚人格完善的,以科学为基础和手段,以人自身的完善和解放为终极目的的人的发展观 ,以促使个人和社会朝着和谐健康方向发展的未来教育目的观,这一教育目的观要求我们在科学实践活动中,在整个教育活动中不断发展和完善人的品质——文化素养、思维素养、思想素养、行为素养、心理素养,培养和发展人的各种能力,使个体在学习掌握文化知识的同时,在思想、道德、行为、身体等诸方面都得到发展。
数学在自然科学、社会科学、行为科学等方面的广泛应用,使得现代科学的任何部分几乎都已带上了不可磨灭的数学印记。而数学的思想方法,是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学的观点和文化,数学的精神和态度,它使人思维敏捷,表达清楚,工作有条理;使人善于处世和做事,使人实事求是,锲而不舍,使人在文化方面的修养得到提高,更好地理解、领略和创造现代社会的文明。
综上所述,在数学教育中应该重视数学思想方法的教学。在教学中教师不能就基础知识而教学,应总结、提炼出其中的数学思想方法,才能真正提高学生的数学能力。
贯彻数学思想方法的教学,可以从以下途径来进行:
1.充分挖掘教材中的数学思想方法。数学思想方法是隐性的更本质的知识内容,因此教师必须深入钻研教材,充分挖掘有关思想方法。例如,在中学教学中,有理数乘法法则的讲述,在一些旧教材中注重由一般到特殊的演绎推理,而新编的教材中充分运用了数形结合和归纳推理的方法,后者降低了难度而又不失科学性,教师可给学生介绍这两种基本而又常用的思想方法。
2.有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透和介绍有关数学思想方法。首先, 在进行教学时,一般可以从数学内容中所蕴涵的数学方法去考虑应渗透、或介绍或强调哪些数学思想?要求学生在什么层次上把握数学方法?然后进行合理的教学设计,有意识地进行数学思想方法的教学。其次,在学生数学知识形成过程中,有计划地介绍有关的数学思想方法。在知识结论推导阶段和解题教学中选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法,在知识总结阶段,可采用公理化、结构化等思想方法。
总而言之,在数学教学过程中要充分展现数学思想方法,并且要贯彻以下三条原则:
第一,反映数学发展规律,介绍数学概念的形成背景,运用生活中和数学内容的矛盾提出问题。
第二,根据教学内容渗透、介绍,突出相应的或隐含的数学思想方法。
第三,引导学生探索或体验相应的数学思想方法,通过:“直觉——试探——思索——猜想——证明”这一发现数学,理解数学的一般过程,去学习数学和数学思想方法。