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解决反比例函数的面积问题，主要的理论依据是反比例函数解析式中“ K”的几何意义。即在反比例函数 y=kx(k﹥0)中，点P是双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、 y轴的垂线PA、PB，两垂线与x轴、y轴围成的矩形面积为｜k｜。由点P的任意性可知，反比例函数中的面积问题一般只与解析式中的k值有关，即与图象上点的具体的位置无关，因此反比例函数具备面积不变性，根据这一特点，在此
类问题中，我们可通过以下三种方法来解决：
方法一：转化点的位置
例1：如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=﹣4X和y=2X的图象交于点A和点B，若点C是X轴上的任意一点，连接AC、BC，则 △ABC的面积为 ____。
分析：由于线段AB与X轴平行，而对于x轴上任意一点而言，到直线AB的距离均相等，因此点C到直线AB的距离与点O到直线AB的距离相等，则△ABC与 △ABO同底等高即面积相等。
解：连接OA、OB，则.S△ABC=S△ABO.
由反比例函数中的k的几何意义可得： ,S△AOP=2,S△BOP=1,则 S△ABC=S△AOP+S△BOP=3
方法点拨：点C是x轴上的任意一点，即对于 轴上的任意点而言，和点A、点B组合的三角形的面积具有不变形，因此，我们可将任意点转化为特殊点，通过反比例函数中的特殊三角形面积来求
。这种将一般点转化为特殊点的方法使我们这类问题解决起来很简单。
方法二：设出点的坐标
例2：如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=﹣4X和y=2X和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上的任意一点，连接AC、BC，则 △ABC的面积为 ___
分析： 先设点B的横坐标为a，而点B在反比例函数y=2X的图象上，则点B的纵坐标为2a，由直线AB∥x轴，则A、P两点的纵坐标都为2a，而A点在反比例函数y=﹣4X的图象上，可得到A点坐标为 (﹣2a，2a)点P在直线AB上，则点P的坐标为(0，2a从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可。
解：设点B的横坐标为 ，而点B在反比例函数y=2X的图象上，则点B的纵坐标为2a，即点B的坐标为(a,2a)。∵直线 ∥ 轴，∴A，P两点的纵坐标都为2a，则点P的坐标为(0,2a)，而点A在反比例函数 y=﹣4X的图象上，∴y=2a 时，x=﹣2a，即点A的坐标为 (﹣2a，2a),∴AB =a-(﹣2a)=3a，∴S△ABC=12 •AB•OP=12•3a•2a=3。
方法点拨：此方法中，双曲线上的“点”具有任意性，因此设点时只要选择双曲线上的点即可，利用所设的点的坐标将图形的面积表示出来，经过整理之后，图形的面积只与解析式中的“ k”值有关，与点的具体坐标无关，因此解决面积问题时均可采用这种设点的坐标的方法，堪称一种“万能方法”，这也使得此类问题在解决的过程中有章可循。
方法三：等面积转化
例3：如图，A、B是反比例函数y=Kx(K﹥0)图像上的两个点，AC⊥X轴于点C，BD⊥y轴于点D，连结AD、BC，则△ADB与 △ACB的面积大小关系是 S△ADB___ S△ACB（填<、>或=）。
分析：过点A作y轴的垂线，过点B作x轴垂线，转化成反比例函数中的矩形面积，利用等面积差与等面积和将图形面积转化。
解：过点A作y轴的垂线，垂足为点E，过点B作x轴垂线，垂足为点F，设BD与AC的交点为点P。则 S矩形AEOC=S矩形AEOC,∴ S矩形BPCF=S矩形AEOP,又∵AD,BC 分别为矩形 AEDP、矩形BPCF的对角线，∴S△ADP=S△BPC,∴S△ADP+S△ABP=S△BPC +S△ABP ,∴ S△ADB = S△ACB .
方法点拨：在一些复杂图形中，可通过等面积的图形找到解决问题的突破口，但是此方法在技巧上要求更高一些，要能敏锐的观察出图形关系，综合性较强，但是解决问题非常简捷。
近几年的中考试题中，对反比例函数的考查主要集中在与面积有关的问题上，以上介绍的三种方法，可灵活的解决此类问题，在具体问题中根据题型特点灵活选用。
类问题中，我们可通过以下三种方法来解决：
方法一：转化点的位置
例1：如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=﹣4X和y=2X的图象交于点A和点B，若点C是X轴上的任意一点，连接AC、BC，则 △ABC的面积为 ____。
分析：由于线段AB与X轴平行，而对于x轴上任意一点而言，到直线AB的距离均相等，因此点C到直线AB的距离与点O到直线AB的距离相等，则△ABC与 △ABO同底等高即面积相等。
解：连接OA、OB，则.S△ABC=S△ABO.
由反比例函数中的k的几何意义可得： ,S△AOP=2,S△BOP=1,则 S△ABC=S△AOP+S△BOP=3
方法点拨：点C是x轴上的任意一点，即对于 轴上的任意点而言，和点A、点B组合的三角形的面积具有不变形，因此，我们可将任意点转化为特殊点，通过反比例函数中的特殊三角形面积来求
。这种将一般点转化为特殊点的方法使我们这类问题解决起来很简单。
方法二：设出点的坐标
例2：如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=﹣4X和y=2X和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上的任意一点，连接AC、BC，则 △ABC的面积为 ___
分析： 先设点B的横坐标为a，而点B在反比例函数y=2X的图象上，则点B的纵坐标为2a，由直线AB∥x轴，则A、P两点的纵坐标都为2a，而A点在反比例函数y=﹣4X的图象上，可得到A点坐标为 (﹣2a，2a)点P在直线AB上，则点P的坐标为(0，2a从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可。
解：设点B的横坐标为 ，而点B在反比例函数y=2X的图象上，则点B的纵坐标为2a，即点B的坐标为(a,2a)。∵直线 ∥ 轴，∴A，P两点的纵坐标都为2a，则点P的坐标为(0,2a)，而点A在反比例函数 y=﹣4X的图象上，∴y=2a 时，x=﹣2a，即点A的坐标为 (﹣2a，2a),∴AB =a-(﹣2a)=3a，∴S△ABC=12 •AB•OP=12•3a•2a=3。
方法点拨：此方法中，双曲线上的“点”具有任意性，因此设点时只要选择双曲线上的点即可，利用所设的点的坐标将图形的面积表示出来，经过整理之后，图形的面积只与解析式中的“ k”值有关，与点的具体坐标无关，因此解决面积问题时均可采用这种设点的坐标的方法，堪称一种“万能方法”，这也使得此类问题在解决的过程中有章可循。
方法三：等面积转化
例3：如图，A、B是反比例函数y=Kx(K﹥0)图像上的两个点，AC⊥X轴于点C，BD⊥y轴于点D，连结AD、BC，则△ADB与 △ACB的面积大小关系是 S△ADB___ S△ACB（填<、>或=）。
分析：过点A作y轴的垂线，过点B作x轴垂线，转化成反比例函数中的矩形面积，利用等面积差与等面积和将图形面积转化。
解：过点A作y轴的垂线，垂足为点E，过点B作x轴垂线，垂足为点F，设BD与AC的交点为点P。则 S矩形AEOC=S矩形AEOC,∴ S矩形BPCF=S矩形AEOP,又∵AD,BC 分别为矩形 AEDP、矩形BPCF的对角线，∴S△ADP=S△BPC,∴S△ADP+S△ABP=S△BPC +S△ABP ,∴ S△ADB = S△ACB .
方法点拨：在一些复杂图形中，可通过等面积的图形找到解决问题的突破口，但是此方法在技巧上要求更高一些，要能敏锐的观察出图形关系，综合性较强，但是解决问题非常简捷。
近几年的中考试题中，对反比例函数的考查主要集中在与面积有关的问题上，以上介绍的三种方法，可灵活的解决此类问题，在具体问题中根据题型特点灵活选用。