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【摘要】小学数学拓展课的选材问题，不仅关系到学生思维与能力的培养，也关系到学生对课内知识的理解和掌握。教师可以以人教版教材中“你知道吗”等内容为素材，在对其进行补充、完善与整合的基础上，开发数学拓展课，让拓展课成为促进学生发展的重要途径。
【关键词】格子乘法;数学史;教学实践
小学数学拓展课的选材问题，不仅关系到学生思维与能力的培养，也关系到学生对课内知识的理解和掌握。如何选择数学拓展课的学习素材，是体现教师课程设计能力的关键要素之一。教师可以将人教版教材中“你知道吗？”这个栏目中的内容作为素材，在对其进行补充、完善与整合的基础上，开发数学拓展课。三年级拓展课《格子乘法》就是由此而来的。
【课前思考】
（一）关于学习时间的思考
人教版教材把“格子乘法”作为一种“新”方法，放在四年级上册“你知道吗？”这个栏目中，以课外知识补充的形式让学生了解。但基于这一内容开发的拓展课，更适合在三年级下学期进行教学。首先，从人教版教材的编排体系来看，学生在三年级下学期学习了两位数乘两位数的笔算乘法，具备学习这个内容的知识基础。其次，将“格子乘法”的学习顺序前置，不仅能丰富两位数乘两位数的笔算方法，也为学生后续学习三位数乘两位数提供新的思路。
（二）关于教学目标的思考
“格子乘法”是人类文明的重要遗产，可以丰富学生对数学文化的了解。同时，作为解决乘法计算问题的一种方法，其背后有乘法的意义、运算定律等算理的支撑，与常规列竖式计算方法在形式上有所不同，更有利于促进学生对算理的理解。本课的教学目标如下：
1.理解“格子乘法”的算理和算法，建立“格子乘法”模型，并能用这种方法进行两位数乘两位数的计算。
2.了解乘法发展史，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。
【教学过程】
（一）复习回顾，引入新知
1.复习回顾
教师出示47x58，并引导：我们已经学过两位数乘两位数的笔算乘法，请你计算“47×58”这道题目，说一说你是怎么做的。
生：47×58就是求58个47是多少，可以先算出50个47，再算出8个47，最后把它们的积相加，算式是47×58=47×50 47×8=2350 376=2726。
生：列竖式计算，先用58个位上的8去乘47，积的末尾和个位对齐，再用58的十位上的5去乘47，积的末尾和十位对齐，再把两次乘得的积相加。
（生说过程，师出示竖式图，如图1）
2.引入“格子乘法”
师：老师这里有一种方法，也计算出了47×58的积（见图2），你能看懂这是什么意思吗？
引导学生交流体会，在学生了解了用“格子乘法”解决问题的过程以后，请学生继续思考，列竖式与“格子乘法”之间有什么相同和不同之处。
生：计算方法不一样、形式不一样、样子不一样、写法不一样，计算结果一样……
师：是不是所有的乘法都能这样来算呢？我们需要来验证一下。
（设计意图：学生在学习了两位数乘两位数笔算乘法之后，往往对笔算乘法形成了思维定式。“格子乘法”这种学生眼中的“新”方法，会有效地激发起他们的好奇心和求知欲。学生自然地联想到，是不是所有的乘法都能这样来算呢？从而推动课堂教学。）
（二）阅读尝试，获取新知
1.借助学习材料自学
师：到底是不是所有的乘法都可以这样计算呢？老师这里有一份关于“格子乘法”的学习材料（见下文），请你按要求完成任务。（1）读一读：材料中的方法是怎么样的？（2）试一试：用两种方法（竖式计算和材料中的方法）计算一题。（3）说一说：你有什么发现？
学习材料
我们如果要计算47×58，根据“格子乘法”可以这样算。
第一步：画一个两行两列的格子，然后画出每个格子中的对角线。把第一个乘数47按从左往右的顺序写在格子的上面，再把第二个乘数58按从上到下的顺序写在格子的右边。
第二步：先算7乘5等于35，分别写上3和5，接着算4乘5等于20，分别写上2和0，再算7乘8等于56，分别写上5和6，最后算4乘8等于32，分别写上3和2。
第三步：把每条斜线中的数字相加，写在下面，如果满十了，就要向上一条斜线进1。
所以47乘58等于2726。
2.模仿验证
学生依据学习材料，模仿编题计算并验证，完成之后集中汇报。
生：我的算式是46X23，用列豎式的方法计算得出1058，用“格子乘法”算出来的也是1058。
生：我举的例子是27X16，用两种方法算出来的积是一样的。
……
师：那我们能下结论了吗？（生众：可以）
师（小结）：材料中的这种方法可以计算出两位数乘两位数的积。
（设计意图：数学活动是学生获取数学知识和数学经验的有效途径之一。教学时教师首先给出学习材料，让学生通过数学阅读来了解“格子乘法”的计算步骤和方法，再引导学生进行举例验证，感受格子乘法计算结果的正确性。）
（三）理解算理，尝试拓展
1.微课介绍算理
师：请你结合题目，想一想这种计算方法的道理在哪里。让我们通过一个微课再来认识一下这种方法吧。（播放微课介绍算理，具体见图3）
师：你能给这种方法取个名字吗？
生：斜线乘法、格子乘法、方格乘法……
2.尝试拓展
师：刚才我们计算的都是两位数乘两位数，那么，三位数乘两位数、三位数乘三位数也能用这种方法算出积吗？请同学们自己写一道三位数乘两位数或三位数乘三位数的题目，用这种方法试一试。 （生尝试独立完成）
（设计意图：计算教学必须重视先让学生在理解算理的基础上掌握算法，再通过算法间的对比和沟通，加深对算理的理解。当然，学生需要掌握算法，但更需要经历建构算法的过程，从而实现算理与算法的内在统一。）
（四）数学文化，感受体会
师：其实，乘法计算的方法还有很多，同学们熟悉的用竖式计算的方法，是经过人们长期实践、验证，最终在诸多方法中被“选择”出来的一種被大家广泛认可的方法。
介绍：古埃及有倍乘法，中国古代有筹算乘法，古印度、意大利有竖式乘法、格子乘法，现在的竖式乘法（算法见图4，介绍过程略）
师：通过今天的学习，你是否也能创造出一种与众不同的计算方法呢？
（设计意图：整堂课结束之前，安排了了解数学乘法演变过程的内容，将数学文化渗入课堂、融入教学。学生不仅了解了知识结论，还了解了知识的形成过程，领悟了问题的本质。）
【教学反思】
（一）基于认知基础，建立数学猜想
学生学习了两位数乘两位数笔算乘法之后，已经初步理解算理，掌握了基本算法，在之后的计算中往往都采用既定的程序性算法去计算，很少去思考还有没有其他的方法。“格子乘法”可以拓展学生的思路，让学生体会到计算可以有不同的方法。当然，介绍方法时不要直接告诉学生这种方法一定能计算两位数乘两位数，而是引导学生先提出质疑“是不是所有的乘法都能这样来算呢”，再让学生经历提出数学猜想、进行数学思考的过程，符合学习数学的规律。
（二）组织数学活动，验证数学猜想
一个数学规律或者一种计算方法是否成立，需要经得起实践检验，教学中有必要安排数学活动，引导学生通过验证，说明之前的判断与猜想是否正确。本节课教师先给出学习材料，引导学生通过数学阅读的方式了解“格子乘法”的计算方法，再让学生选择不同的算式举例验证。这是让学生经历由特殊到一股，说明规律一般性和适用性的过程。
（三）多种方法沟通，理解算法算理
判断“格子乘法”是否可行，不仅要看其与竖式计算结果是否一致，还要理解其中的道理。比如，计算47×58，无论是竖式计算，还是格子计算，都用到了四句口诀：7乘5，实际上就是7乘50;4乘5，实际上就是40乘50;7乘8，其实是47个位上的7乘58个位上的8;4乘8，其实是40乘8。最后，如果再依据斜线的方向，将同一斜线上的所有数相加，从本质来讲，就是相同数位相加，满十进一。由此不难理解，“格子乘法”其实就是竖式的另外一种表征形式。引导学生体会到这一点，并对两者进行结构关联，是本节课教学中教师重点解决的问题之一。
（四）了解乘法演变，感受数学文化
数学文化的基本内容是数学史、数学家、数学思想、数学思维、数学方法等等。数学文化的根本特征是它表现了一种探索精神。在课尾，教师呈现历史上多种不同的乘法计算方法，将数学文化融入教学之中，让学生了解知识的形成过程，加深对所学知识的理解。
人教版教材中的“你知道吗？”栏目中所蕴含的知识内容，为教师课程创新提供了丰富的内容素材。在拓展课开发过程中，教师要注重内容的筛选，将符合学生认知水平、能满足学生学习心理需求的内容，进行完善与重组，让拓展课真正成为促进学生发展的重要途径。
【关键词】格子乘法;数学史;教学实践
小学数学拓展课的选材问题，不仅关系到学生思维与能力的培养，也关系到学生对课内知识的理解和掌握。如何选择数学拓展课的学习素材，是体现教师课程设计能力的关键要素之一。教师可以将人教版教材中“你知道吗？”这个栏目中的内容作为素材，在对其进行补充、完善与整合的基础上，开发数学拓展课。三年级拓展课《格子乘法》就是由此而来的。
【课前思考】
（一）关于学习时间的思考
人教版教材把“格子乘法”作为一种“新”方法，放在四年级上册“你知道吗？”这个栏目中，以课外知识补充的形式让学生了解。但基于这一内容开发的拓展课，更适合在三年级下学期进行教学。首先，从人教版教材的编排体系来看，学生在三年级下学期学习了两位数乘两位数的笔算乘法，具备学习这个内容的知识基础。其次，将“格子乘法”的学习顺序前置，不仅能丰富两位数乘两位数的笔算方法，也为学生后续学习三位数乘两位数提供新的思路。
（二）关于教学目标的思考
“格子乘法”是人类文明的重要遗产，可以丰富学生对数学文化的了解。同时，作为解决乘法计算问题的一种方法，其背后有乘法的意义、运算定律等算理的支撑，与常规列竖式计算方法在形式上有所不同，更有利于促进学生对算理的理解。本课的教学目标如下：
1.理解“格子乘法”的算理和算法，建立“格子乘法”模型，并能用这种方法进行两位数乘两位数的计算。
2.了解乘法发展史，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。
【教学过程】
（一）复习回顾，引入新知
1.复习回顾
教师出示47x58，并引导：我们已经学过两位数乘两位数的笔算乘法，请你计算“47×58”这道题目，说一说你是怎么做的。
生：47×58就是求58个47是多少，可以先算出50个47，再算出8个47，最后把它们的积相加，算式是47×58=47×50 47×8=2350 376=2726。
生：列竖式计算，先用58个位上的8去乘47，积的末尾和个位对齐，再用58的十位上的5去乘47，积的末尾和十位对齐，再把两次乘得的积相加。
（生说过程，师出示竖式图，如图1）
2.引入“格子乘法”
师：老师这里有一种方法，也计算出了47×58的积（见图2），你能看懂这是什么意思吗？
引导学生交流体会，在学生了解了用“格子乘法”解决问题的过程以后，请学生继续思考，列竖式与“格子乘法”之间有什么相同和不同之处。
生：计算方法不一样、形式不一样、样子不一样、写法不一样，计算结果一样……
师：是不是所有的乘法都能这样来算呢？我们需要来验证一下。
（设计意图：学生在学习了两位数乘两位数笔算乘法之后，往往对笔算乘法形成了思维定式。“格子乘法”这种学生眼中的“新”方法，会有效地激发起他们的好奇心和求知欲。学生自然地联想到，是不是所有的乘法都能这样来算呢？从而推动课堂教学。）
（二）阅读尝试，获取新知
1.借助学习材料自学
师：到底是不是所有的乘法都可以这样计算呢？老师这里有一份关于“格子乘法”的学习材料（见下文），请你按要求完成任务。（1）读一读：材料中的方法是怎么样的？（2）试一试：用两种方法（竖式计算和材料中的方法）计算一题。（3）说一说：你有什么发现？
学习材料
我们如果要计算47×58，根据“格子乘法”可以这样算。
第一步：画一个两行两列的格子，然后画出每个格子中的对角线。把第一个乘数47按从左往右的顺序写在格子的上面，再把第二个乘数58按从上到下的顺序写在格子的右边。
第二步：先算7乘5等于35，分别写上3和5，接着算4乘5等于20，分别写上2和0，再算7乘8等于56，分别写上5和6，最后算4乘8等于32，分别写上3和2。
第三步：把每条斜线中的数字相加，写在下面，如果满十了，就要向上一条斜线进1。
所以47乘58等于2726。
2.模仿验证
学生依据学习材料，模仿编题计算并验证，完成之后集中汇报。
生：我的算式是46X23，用列豎式的方法计算得出1058，用“格子乘法”算出来的也是1058。
生：我举的例子是27X16，用两种方法算出来的积是一样的。
……
师：那我们能下结论了吗？（生众：可以）
师（小结）：材料中的这种方法可以计算出两位数乘两位数的积。
（设计意图：数学活动是学生获取数学知识和数学经验的有效途径之一。教学时教师首先给出学习材料，让学生通过数学阅读来了解“格子乘法”的计算步骤和方法，再引导学生进行举例验证，感受格子乘法计算结果的正确性。）
（三）理解算理，尝试拓展
1.微课介绍算理
师：请你结合题目，想一想这种计算方法的道理在哪里。让我们通过一个微课再来认识一下这种方法吧。（播放微课介绍算理，具体见图3）
师：你能给这种方法取个名字吗？
生：斜线乘法、格子乘法、方格乘法……
2.尝试拓展
师：刚才我们计算的都是两位数乘两位数，那么，三位数乘两位数、三位数乘三位数也能用这种方法算出积吗？请同学们自己写一道三位数乘两位数或三位数乘三位数的题目，用这种方法试一试。 （生尝试独立完成）
（设计意图：计算教学必须重视先让学生在理解算理的基础上掌握算法，再通过算法间的对比和沟通，加深对算理的理解。当然，学生需要掌握算法，但更需要经历建构算法的过程，从而实现算理与算法的内在统一。）
（四）数学文化，感受体会
师：其实，乘法计算的方法还有很多，同学们熟悉的用竖式计算的方法，是经过人们长期实践、验证，最终在诸多方法中被“选择”出来的一種被大家广泛认可的方法。
介绍：古埃及有倍乘法，中国古代有筹算乘法，古印度、意大利有竖式乘法、格子乘法，现在的竖式乘法（算法见图4，介绍过程略）
师：通过今天的学习，你是否也能创造出一种与众不同的计算方法呢？
（设计意图：整堂课结束之前，安排了了解数学乘法演变过程的内容，将数学文化渗入课堂、融入教学。学生不仅了解了知识结论，还了解了知识的形成过程，领悟了问题的本质。）
【教学反思】
（一）基于认知基础，建立数学猜想
学生学习了两位数乘两位数笔算乘法之后，已经初步理解算理，掌握了基本算法，在之后的计算中往往都采用既定的程序性算法去计算，很少去思考还有没有其他的方法。“格子乘法”可以拓展学生的思路，让学生体会到计算可以有不同的方法。当然，介绍方法时不要直接告诉学生这种方法一定能计算两位数乘两位数，而是引导学生先提出质疑“是不是所有的乘法都能这样来算呢”，再让学生经历提出数学猜想、进行数学思考的过程，符合学习数学的规律。
（二）组织数学活动，验证数学猜想
一个数学规律或者一种计算方法是否成立，需要经得起实践检验，教学中有必要安排数学活动，引导学生通过验证，说明之前的判断与猜想是否正确。本节课教师先给出学习材料，引导学生通过数学阅读的方式了解“格子乘法”的计算方法，再让学生选择不同的算式举例验证。这是让学生经历由特殊到一股，说明规律一般性和适用性的过程。
（三）多种方法沟通，理解算法算理
判断“格子乘法”是否可行，不仅要看其与竖式计算结果是否一致，还要理解其中的道理。比如，计算47×58，无论是竖式计算，还是格子计算，都用到了四句口诀：7乘5，实际上就是7乘50;4乘5，实际上就是40乘50;7乘8，其实是47个位上的7乘58个位上的8;4乘8，其实是40乘8。最后，如果再依据斜线的方向，将同一斜线上的所有数相加，从本质来讲，就是相同数位相加，满十进一。由此不难理解，“格子乘法”其实就是竖式的另外一种表征形式。引导学生体会到这一点，并对两者进行结构关联，是本节课教学中教师重点解决的问题之一。
（四）了解乘法演变，感受数学文化
数学文化的基本内容是数学史、数学家、数学思想、数学思维、数学方法等等。数学文化的根本特征是它表现了一种探索精神。在课尾，教师呈现历史上多种不同的乘法计算方法，将数学文化融入教学之中，让学生了解知识的形成过程，加深对所学知识的理解。
人教版教材中的“你知道吗？”栏目中所蕴含的知识内容，为教师课程创新提供了丰富的内容素材。在拓展课开发过程中，教师要注重内容的筛选，将符合学生认知水平、能满足学生学习心理需求的内容，进行完善与重组，让拓展课真正成为促进学生发展的重要途径。