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必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.复数 的虚部是．
2.函数 （ ）的最小正周期为_______________．
3.若平面向量 和 互相平行,其中 .则 .
4.设 是满足 的正数,则 的最大值是 ．
5.已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面 、 ,有下列命题
①若 ；
②若 ；
③若 ；
④若 ；
其中所有正确命题的序号是.
6. 在如下程序框图中，已知： ，则输出的是▲．
7.已知数列 的通项公式是 ,数列 的通项公式是 ,令集合 , , ．将集合 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 ．则数列 的前28项的和 ．
8. 已知曲线 的一条切线的斜率为 则切点的横坐标是；
9.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是．
10.已知正棱锥S—ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得
的概率是.
11.若抛物线y =4x的焦点是F，准线是l，点M是抛物线上一点，且MF=5，M在上l的射影为N，则△MNF的面积为 ；
12.设函数 , 表示不超过实数 的最大整数,则函数 的值域为______________.
13.研究问题：“已知关于 的不等式 的解集为 ,解关于 的不等式 ”,有如下解决方案：
解：由 ,令 ,则 ,
所以不等式 的解集为 .
参考上述解法,已知关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为 ．
14.若直线 交于M、N两点,且M、N关于直线对称,动点 在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动,则 的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在 中,内角 , , 所对的边长分别是 , , .
(1)若 , ,且 的面积 ，求 , 的值；
(2)若 ,试判断 的形状.
16. 如图，已知三棱锥P—ABC,∠ACB= 90°,CB = 4,AB = 20,
D为AB中点,M为PB的中点,且 PDB是正三角形,PA⊥PC．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面PAC⊥平面ABC.
17.某工厂生产了一批产品共有100件,尺寸大小属于区间 , 或 , 的为合格品,属于区间 , 的为优等品.根据尺寸大小按如下区间进行分组： , 、 , 、 , 、 , 、 , ，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位： ）.
(1)求这批产品中合格品与优等品共有多少件？
(2)只有合格品与优等品才可以在市场上销售,且优等品的售价每件不超过31元,优等品的售价不低于合格品的售价.当合格品的售价为每件 元，优等品的售价每件 元时,合格品的销售量为 件,优等品的销售量为 件,那么 、 分别为多少时,这批产品的销售总量最大,最大销售总量是多少件？
18. 已知圆O:，圆C:，由两圆外一点 引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足PA=PB.
(1)求实数a、b间满足的等量关系；
(2)求切线PA的最小值；
(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切
并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；
若不存在，说明理由.
19.已知函数 （ 为实常数）．
(1)设 在区间 上的最小值为 ,求 的表达式；
(2)设 ,若函数 在区间 上是增函数,求实数 的取值范围．
20.已知数列 和 满足： ,, ,其中 为实数, 为正整数．
(1)对任意实数 ,证明数列 不是等比数列；
(2)对于给定的实数 ,试求数列 的前 项和 ；
(3)设 ,是否存在实数 ,使得对任意正整数 ,都有 成立? 若存在,求 的取值范围；若不存在,说明理由．
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图， ⊙ 的内接三角形， ⊙ 的切线，
交 于点 ，交⊙ 于点 ，若 ，
B. 选修4－2：矩阵与变换
如图矩形 在变换 的作用下变成了平行四边形 ，求变换 所对应的矩阵 ．
C. 选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线 和圆 ，判断直线和圆的位置关系．
D. 选修4－5：不等式选讲
设x, y, z为正数，证明：2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+ y2(x+z)+ z2(x+y).
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在
D1C1上，且D1E= D1C1,试求直线EF与平面D1AC所成
角的正弦值.
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 ．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为 ，求 的数学期望．
【答案】
1. 22. 3. 2或4. lg25. 2
6.7.820 8.3 9.10.11.1012.{－1,10}13. 14
15.（1） ， ；（2）等腰三角形．
16. 略
17.（1）90; （2）当x=3，y=31时，这批产品的销售总量最大，为85件．
18. (1) ; (2)2;(3) 不存在.
19．（1）（2）
20.（1）略；(2) ;
(3)当 时，由 ，不存在实数满足题目要求；当 存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ,且 的取值范围是 .
21A..
21B..
21C. 相切.
21D. 略.
22.
23. （1） ；（2） ；（3）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.复数 的虚部是．
2.函数 （ ）的最小正周期为_______________．
3.若平面向量 和 互相平行,其中 .则 .
4.设 是满足 的正数,则 的最大值是 ．
5.已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面 、 ,有下列命题
①若 ；
②若 ；
③若 ；
④若 ；
其中所有正确命题的序号是.
6. 在如下程序框图中，已知： ，则输出的是▲．
7.已知数列 的通项公式是 ,数列 的通项公式是 ,令集合 , , ．将集合 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 ．则数列 的前28项的和 ．
8. 已知曲线 的一条切线的斜率为 则切点的横坐标是；
9.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是．
10.已知正棱锥S—ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得
的概率是.
11.若抛物线y =4x的焦点是F，准线是l，点M是抛物线上一点，且MF=5，M在上l的射影为N，则△MNF的面积为 ；
12.设函数 , 表示不超过实数 的最大整数,则函数 的值域为______________.
13.研究问题：“已知关于 的不等式 的解集为 ,解关于 的不等式 ”,有如下解决方案：
解：由 ,令 ,则 ,
所以不等式 的解集为 .
参考上述解法,已知关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为 ．
14.若直线 交于M、N两点,且M、N关于直线对称,动点 在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动,则 的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在 中,内角 , , 所对的边长分别是 , , .
(1)若 , ,且 的面积 ，求 , 的值；
(2)若 ,试判断 的形状.
16. 如图，已知三棱锥P—ABC,∠ACB= 90°,CB = 4,AB = 20,
D为AB中点,M为PB的中点,且 PDB是正三角形,PA⊥PC．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面PAC⊥平面ABC.
17.某工厂生产了一批产品共有100件,尺寸大小属于区间 , 或 , 的为合格品,属于区间 , 的为优等品.根据尺寸大小按如下区间进行分组： , 、 , 、 , 、 , 、 , ，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位： ）.
(1)求这批产品中合格品与优等品共有多少件？
(2)只有合格品与优等品才可以在市场上销售,且优等品的售价每件不超过31元,优等品的售价不低于合格品的售价.当合格品的售价为每件 元，优等品的售价每件 元时,合格品的销售量为 件,优等品的销售量为 件,那么 、 分别为多少时,这批产品的销售总量最大,最大销售总量是多少件？
18. 已知圆O:，圆C:，由两圆外一点 引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足PA=PB.
(1)求实数a、b间满足的等量关系；
(2)求切线PA的最小值；
(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切
并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；
若不存在，说明理由.
19.已知函数 （ 为实常数）．
(1)设 在区间 上的最小值为 ,求 的表达式；
(2)设 ,若函数 在区间 上是增函数,求实数 的取值范围．
20.已知数列 和 满足： ,, ,其中 为实数, 为正整数．
(1)对任意实数 ,证明数列 不是等比数列；
(2)对于给定的实数 ,试求数列 的前 项和 ；
(3)设 ,是否存在实数 ,使得对任意正整数 ,都有 成立? 若存在,求 的取值范围；若不存在,说明理由．
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图， ⊙ 的内接三角形， ⊙ 的切线，
交 于点 ，交⊙ 于点 ，若 ，
B. 选修4－2：矩阵与变换
如图矩形 在变换 的作用下变成了平行四边形 ，求变换 所对应的矩阵 ．
C. 选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线 和圆 ，判断直线和圆的位置关系．
D. 选修4－5：不等式选讲
设x, y, z为正数，证明：2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+ y2(x+z)+ z2(x+y).
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在
D1C1上，且D1E= D1C1,试求直线EF与平面D1AC所成
角的正弦值.
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 ．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为 ，求 的数学期望．
【答案】
1. 22. 3. 2或4. lg25. 2
6.7.820 8.3 9.10.11.1012.{－1,10}13. 14
15.（1） ， ；（2）等腰三角形．
16. 略
17.（1）90; （2）当x=3，y=31时，这批产品的销售总量最大，为85件．
18. (1) ; (2)2;(3) 不存在.
19．（1）（2）
20.（1）略；(2) ;
(3)当 时，由 ，不存在实数满足题目要求；当 存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有 ,且 的取值范围是 .
21A..
21B..
21C. 相切.
21D. 略.
22.
23. （1） ；（2） ；（3）