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张红娜 河南省许昌市普通教育教学研究室小学数学教研员，中学高级教师；许昌市专业技术拔尖人才，“巾帼建功”标兵，“三八红旗手”；河南省中小学教师教育专家，学科带头人，推进素质教育“百名名师”之一，优秀教研员；中国教育学会小学数学教学专业委员会先进工作者，课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心优秀教研员。
工作中始终坚持“以研导教、以教促研”的教研宗旨，逐渐形成了“严谨、求实、厚重、灵动”的教研风格。执教的课先后在省、国家级赛课中获得一等奖；主持的课题有三项获得省级科研成果一等奖，一项获国家级“十一五”重点课题成果一等奖，目前正在进行河南省教育科学“十二五”规划重点课题《小学数学厚重课堂的探索与实践》的研究；撰写的文章有10多篇在省级以上评比中获奖，30多篇在省级以上专业学术期刊上发表；辅导的青年教师有20多人次在省级以上教学评比中获得一等奖。先后参与多种教辅资料的编写工作，多次应邀参加全国学术交流活动，并作课、评课，受到好评。
“教学有法，但无定法，贵在得法。”细细品味古人有关教育的这番言论，再次为其中的教育至理及前人的教育智慧所折服。数学教学说到底，就是要解决这样三个问题：“是什么？”“为什么？”“什么用？”解决这些问题的过程中，选择什么样的教学策略，如何实施，并非千课一法，要依据教学内容和学生学情而定。即好的教学“但无定法，贵在得法”。
《三角形的内角和》是小学数学中基本且重要的教学内容之一，也是老师们赛课或公开课教学争相选择的教学内容。作为教研人员，我看了很多青年教师对这节课“大同小异”的演绎，通过对他们的课堂进行多角度的剖析与反思，我有了新的教学“灵感”，于是，便走进我的“厚重课堂”，用心谱写出了《三角形的内角和》教学的三部曲。
一、“是什么”——不必遮面直接现
“三角形的内角和是180°”，这是三角形的内角和定理，也是三角形的一个重要性质。作为一个固定的数据和重要的数学结论，多数学生课前通过不同的学习渠道应该都有所了解。但老师们在设计教学时，总是愿意先给它蒙上神秘的面纱，然后再通过“猜想—验证”等学习活动逐层揭开。于是，课前便产生了“学生万一一开始就说出来了怎么办”的担忧。课上，有的老师对个别学生的“一时冲动”给予搪塞——“你知道的可真多”，有的老师对学生的“不请自答”给予严厉的眼神——“你发言举手了吗”，有的老师对学生高举的小手以手势示意——“请你们先把手放下来”……总之，他们不想让学生打乱了自己“千呼万唤始出来”的教学预设，想让学生产生“三角形的内角和是180°”是我们发现的这一自豪感。
诚然，老师们的想法符合新课程理念——让学生充分经历数学知识的产生、发展和形成过程，进而培养学生良好的数学情感。但我认为，教学方法的选择和使用一定要视内容和学情而定，其中对学生充分的研读尤为重要。“三角形的内角和是180°”多数学生课前已经知道，既然如此，我们的教学就不必遮遮掩掩，而应该以学定教、顺学而导。下面是我的教学处理：
黑板上事先由上而下出示如下三种三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）：
师：同学们，这是我们认识过的三角形，通过学习，我们知道：三角形都有三个角，这三个角都叫作三角形的“内角”。根据内角的特点，我们可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。认真观察这三类三角形，它们的内角有什么相同点和不同点？
生：相同点是都有两个锐角，不同点是最大的角分别是锐角、直角、钝角。
师：为什么锐角三角形中有三个锐角，而直角三角形中只有一个直角、钝角三角形中只有一个钝角？还有，虽然每种三角形中较小的两个角都是锐角，这两个锐角之和一样吗？
部分学生高举小手急着发言：老师，我知道！我知道！
师：哦，这么多同学都知道啊！这些问题其实都跟三角形的内角和有关，是吗？（板书课题）
生：是！
师：三角形的内角和是一个固定的值，你们知道是多少吗？
部分学生：是180°！
师：说得对！（师随即板书结论）为什么是180°，你知道吗？
学情是教学的重要依据，课前了解学生的知识基础和认知经验，我们就能准确地选择和把握教学的起点。这第一部曲就是依据学生已掌握的三角形的分类、内角特点等知识，创设了一个引导学生开门见山的学习情境，使学生上课伊始就知道本节课要学习的知识，同时带着疑问思考：为什么三角形的内角和是180°呢？
二、“为什么”——“转轴拨弦三两声”
“三角形的内角和为什么是180°？”中学数学中有严格的证明。作为小学生，虽然不能“证明”，但完全可以通过力所能及的方式来进行初步的“验证”，而这最能够体现新课标的要求。作为教师，我们应该如何让学生在能力允许的范围内“知其所以然”？教学该怎样“基于学生”“服务于学生”，又“诱发于学生”呢？
带着上述思考，我这样处理了这一教学环节：
师指板书问：三角形的内角和是180°，看到这个度数，你马上会想到我们认识的什么角？
生：平角。
师：也难怪，平角的度数也是180°。（师随即在黑板上画出一个平角）
师：知道了三角形的内角和是180°，我们的学习才刚刚开始，因为我们不能仅仅知道数学知识“是什么”，还要弄清楚——
生抢答：“为什么！”
师：看来，你们都是会学习的孩子，是学习的有心人！现在，你们一定最想知道，三角形的内角和为什么是180°？为什么和平角的度数是一样的？我猜得对吗？
生一致同意：对！
师：那你们自己有什么办法能搞个明白呢？
（生开始若有所思）
稍后，师提出：谁有好办法愿意推荐给大家？ 多数学生：量一量三个内角的度数，再加起来看和是不是180°。
一生补充：直角三角形就不用量三个角了，只要量两个锐角就可以了。
师：除了量，还有别的方法吗？
只有一个学生拿出直角三角形示意：可以把两个锐角折到直角处，正好能拼成90°，三个角合起来就是180°。
师顺势问：好方法！直角三角形能这样验证，其余两种三角形能吗？
多数学生摇头。
看学生说不出更好的方法，我便放手让学生自主探究。
师：刚才，大家相互交流了自己的方法，其实，课本中也给大家介绍了一些好方法，你们也可以去学习和借鉴。下面，就请你们选择其中的方法对手中的任意三角形的内角和进行验证。
（学生或测量或折拼，或独做或合作，自主学习真实、扎实。）
师组织学生交流：刚才的学习中，哪些同学用的是“测量”的方法？你们的结果怎么样？
（多数学生为180°，少数学生为170°、181°、178°、190°等）
师指板书结果问：三角形的内角和明明是180°，为什么他们的结果不是？谁来解释给他们几个听？
生争相解释：肯定是测量时没量准！说不定是读数时，把量角器上的刻度读反了。是不是加的时候算错了？他们剪的三角形肯定不标准，边不直！测量时有误差，不会那么准确。离180°接近的还好说，是因为误差，差得远的肯定是不认真……
（看学生如此“帮我解围”，我真庆幸这个皮球“踢”得值！）
师：除了测量，有用别的方法验证的吗？
（生分别用他们手中的学具，到前面演示了“折拼”“撕拼”等方法。）
师：看来，向书本学习，也是一种好办法！把每种三角形的三个内角拼在一起，都正好能组成一个平角！难怪，它们的和是180°！数学，真有说不出的神奇！
师：“三角形的内角和是180°”，这是三角形的一个重要性质，今天我们只是用自己想到或学到的实验的方法，对有限个三角形的内角和进行了初步验证。这个结论对所有的三角形都成立吗？这需要更严密的证明，以后进入中学，你们就能学习到这种证明方法，让我们一起期待今后更有意义的数学学习，好吗？
如果认真研读学生就会发现，多数学生对结论的验证方法仅限于“测量”，至于“折拼”或“撕拼”等方法，则离学生的实际思维还有一定的距离，严密的证明则距离更远。这第二部曲就是创设了一个让学生自主探究的学习环境，除了让学生根据已有的经验，用测量的方法验证三角形的内角和是180°外，还特别注意引导学生向书本学习，也就是引导学生学习前人的间接经验，用“折拼”或“撕拼”的方法来验证，同时逐步培养学生阅读数学课本的好习惯。至此，“为什么”的教学告一段落，它使学生明白，这是实验几何的结束，是论证几何的开始。
三、“什么用”——“此时无声胜有声”
怎样用“三角形的内角和是180°”解决具体问题，这也是教学的重点。但多数教师的课堂因为前面“验证”费时，至此便一带而过，草草收场。他们认为之所以确定“此处为略”，除了时间不够外，更多的原因是教材中所要解决的问题都很简单，教师没啥可讲，学生完全可以课后进行。
而我却认为，我们真的应该在此环节“做做文章”。我的教学是：
师：通过刚才的学习，我们不仅知道了“是什么”，而且知道了“为什么”，接下来，我们要认真来关注，学习三角形的内角和“有什么用”？
师指着课始出示的三个三角形，提出问题：
你能告诉大家，为什么锐角三角形中有三个锐角，而直角三角形中只有一个直角、钝角三角形中只有一个钝角吗？
（生答略）
每种三角形中较小的两个锐角合起来比，和一样吗？
生：直角三角形中两个锐角的和正好等于90°，锐角三角形中两锐角之和大于90°，钝角三角形中两锐角之和小于90°。
师：如果告诉三角形其中两个内角的度数，你能知道第三个角的度数吗？
（以其中的锐角三角形和钝角三角形为例，处理过程略去）
师追问：在直角三角形中，想知道第三个角的度数，需要告诉你几个角的度数？
生通过争论达成共识：直角的度数已知，只需要告诉一个未知角就可以求另一个未知角了。
师：其实，我们知道，三角形除了按角的特点分类，还可以按边的特点分类，想想看，按边可以怎么分？
生：可以分为等腰三角形和等边三角形。
师纠正：根据三角形中边是否相等，可以把三角形分为“不等边三角形”和“等腰三角形”两类，而“等边三角形”属于特殊的等腰三角形（师随即在相应位置板书）。
其实，刚才黑板上的三个三角形都属于“不等边三角形”。
师：通过刚才的学习我们发现，在不等边三角形中，除直角三角形外，知道两个角的度数，才能求出第三个角的度数。那等腰三角形中呢？（师出示一个等腰锐角三角形）
生：正好相反，只告诉一个角的度数，就可以知道其余两个角的度数是多少？
师追问：如果是等腰直角三角形呢？
生思考后顿悟：每个角的度数我们都知道。
师：等腰直角三角形它的三个角的度数是确定的，我们常用的三角板中就有这样的三角形。
师：还有一个最特殊的等腰三角形，（出示等边三角形）它的每个角是多少度呢？
生：都是60°！180°÷3。
师：如果按角分，它应该属于哪种三角形呢？
生：锐角三角形。
师引导学生感悟：
在应用三角形的内角和解决实际问题的过程中，要依据三角形的特点灵活选择简便的方法。
虽然三角形的分类标准不同，分得的结果也不一样，但它们之间还是有着非常紧密的联系！
最后，师拓展：其实，三角形的内角和还可以帮助你们去发现四边形、五边形等其他多边形的内角和，请同学们课后进一步去感受它的作用和神奇魅力！
学习的最终目的是应用，即“学以致用”。而“应用”又非单一的巩固和练习，它需要举一反三、触类旁通，最终达到“用实”“用活”“用透”的学习效果。这第三部曲就为学生创设了一系列有价值的问题解决情境，把所学知识置于相关知识体系中，由近及远、由一般到特殊、由基础到灵活、由部分到整体、由单一到联系，学生在应用中体悟着数学的价值，感受着数学的魅力。
[本文为河南教育科学“十二五”规划2011年度重点课题“小学数学‘厚重课堂’的探索与实践。课题编号：[2011]-JKGHBB-0716]?
工作中始终坚持“以研导教、以教促研”的教研宗旨，逐渐形成了“严谨、求实、厚重、灵动”的教研风格。执教的课先后在省、国家级赛课中获得一等奖；主持的课题有三项获得省级科研成果一等奖，一项获国家级“十一五”重点课题成果一等奖，目前正在进行河南省教育科学“十二五”规划重点课题《小学数学厚重课堂的探索与实践》的研究；撰写的文章有10多篇在省级以上评比中获奖，30多篇在省级以上专业学术期刊上发表；辅导的青年教师有20多人次在省级以上教学评比中获得一等奖。先后参与多种教辅资料的编写工作，多次应邀参加全国学术交流活动，并作课、评课，受到好评。
“教学有法，但无定法，贵在得法。”细细品味古人有关教育的这番言论，再次为其中的教育至理及前人的教育智慧所折服。数学教学说到底，就是要解决这样三个问题：“是什么？”“为什么？”“什么用？”解决这些问题的过程中，选择什么样的教学策略，如何实施，并非千课一法，要依据教学内容和学生学情而定。即好的教学“但无定法，贵在得法”。
《三角形的内角和》是小学数学中基本且重要的教学内容之一，也是老师们赛课或公开课教学争相选择的教学内容。作为教研人员，我看了很多青年教师对这节课“大同小异”的演绎，通过对他们的课堂进行多角度的剖析与反思，我有了新的教学“灵感”，于是，便走进我的“厚重课堂”，用心谱写出了《三角形的内角和》教学的三部曲。
一、“是什么”——不必遮面直接现
“三角形的内角和是180°”，这是三角形的内角和定理，也是三角形的一个重要性质。作为一个固定的数据和重要的数学结论，多数学生课前通过不同的学习渠道应该都有所了解。但老师们在设计教学时，总是愿意先给它蒙上神秘的面纱，然后再通过“猜想—验证”等学习活动逐层揭开。于是，课前便产生了“学生万一一开始就说出来了怎么办”的担忧。课上，有的老师对个别学生的“一时冲动”给予搪塞——“你知道的可真多”，有的老师对学生的“不请自答”给予严厉的眼神——“你发言举手了吗”，有的老师对学生高举的小手以手势示意——“请你们先把手放下来”……总之，他们不想让学生打乱了自己“千呼万唤始出来”的教学预设，想让学生产生“三角形的内角和是180°”是我们发现的这一自豪感。
诚然，老师们的想法符合新课程理念——让学生充分经历数学知识的产生、发展和形成过程，进而培养学生良好的数学情感。但我认为，教学方法的选择和使用一定要视内容和学情而定，其中对学生充分的研读尤为重要。“三角形的内角和是180°”多数学生课前已经知道，既然如此，我们的教学就不必遮遮掩掩，而应该以学定教、顺学而导。下面是我的教学处理：
黑板上事先由上而下出示如下三种三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）：
师：同学们，这是我们认识过的三角形，通过学习，我们知道：三角形都有三个角，这三个角都叫作三角形的“内角”。根据内角的特点，我们可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。认真观察这三类三角形，它们的内角有什么相同点和不同点？
生：相同点是都有两个锐角，不同点是最大的角分别是锐角、直角、钝角。
师：为什么锐角三角形中有三个锐角，而直角三角形中只有一个直角、钝角三角形中只有一个钝角？还有，虽然每种三角形中较小的两个角都是锐角，这两个锐角之和一样吗？
部分学生高举小手急着发言：老师，我知道！我知道！
师：哦，这么多同学都知道啊！这些问题其实都跟三角形的内角和有关，是吗？（板书课题）
生：是！
师：三角形的内角和是一个固定的值，你们知道是多少吗？
部分学生：是180°！
师：说得对！（师随即板书结论）为什么是180°，你知道吗？
学情是教学的重要依据，课前了解学生的知识基础和认知经验，我们就能准确地选择和把握教学的起点。这第一部曲就是依据学生已掌握的三角形的分类、内角特点等知识，创设了一个引导学生开门见山的学习情境，使学生上课伊始就知道本节课要学习的知识，同时带着疑问思考：为什么三角形的内角和是180°呢？
二、“为什么”——“转轴拨弦三两声”
“三角形的内角和为什么是180°？”中学数学中有严格的证明。作为小学生，虽然不能“证明”，但完全可以通过力所能及的方式来进行初步的“验证”，而这最能够体现新课标的要求。作为教师，我们应该如何让学生在能力允许的范围内“知其所以然”？教学该怎样“基于学生”“服务于学生”，又“诱发于学生”呢？
带着上述思考，我这样处理了这一教学环节：
师指板书问：三角形的内角和是180°，看到这个度数，你马上会想到我们认识的什么角？
生：平角。
师：也难怪，平角的度数也是180°。（师随即在黑板上画出一个平角）
师：知道了三角形的内角和是180°，我们的学习才刚刚开始，因为我们不能仅仅知道数学知识“是什么”，还要弄清楚——
生抢答：“为什么！”
师：看来，你们都是会学习的孩子，是学习的有心人！现在，你们一定最想知道，三角形的内角和为什么是180°？为什么和平角的度数是一样的？我猜得对吗？
生一致同意：对！
师：那你们自己有什么办法能搞个明白呢？
（生开始若有所思）
稍后，师提出：谁有好办法愿意推荐给大家？ 多数学生：量一量三个内角的度数，再加起来看和是不是180°。
一生补充：直角三角形就不用量三个角了，只要量两个锐角就可以了。
师：除了量，还有别的方法吗？
只有一个学生拿出直角三角形示意：可以把两个锐角折到直角处，正好能拼成90°，三个角合起来就是180°。
师顺势问：好方法！直角三角形能这样验证，其余两种三角形能吗？
多数学生摇头。
看学生说不出更好的方法，我便放手让学生自主探究。
师：刚才，大家相互交流了自己的方法，其实，课本中也给大家介绍了一些好方法，你们也可以去学习和借鉴。下面，就请你们选择其中的方法对手中的任意三角形的内角和进行验证。
（学生或测量或折拼，或独做或合作，自主学习真实、扎实。）
师组织学生交流：刚才的学习中，哪些同学用的是“测量”的方法？你们的结果怎么样？
（多数学生为180°，少数学生为170°、181°、178°、190°等）
师指板书结果问：三角形的内角和明明是180°，为什么他们的结果不是？谁来解释给他们几个听？
生争相解释：肯定是测量时没量准！说不定是读数时，把量角器上的刻度读反了。是不是加的时候算错了？他们剪的三角形肯定不标准，边不直！测量时有误差，不会那么准确。离180°接近的还好说，是因为误差，差得远的肯定是不认真……
（看学生如此“帮我解围”，我真庆幸这个皮球“踢”得值！）
师：除了测量，有用别的方法验证的吗？
（生分别用他们手中的学具，到前面演示了“折拼”“撕拼”等方法。）
师：看来，向书本学习，也是一种好办法！把每种三角形的三个内角拼在一起，都正好能组成一个平角！难怪，它们的和是180°！数学，真有说不出的神奇！
师：“三角形的内角和是180°”，这是三角形的一个重要性质，今天我们只是用自己想到或学到的实验的方法，对有限个三角形的内角和进行了初步验证。这个结论对所有的三角形都成立吗？这需要更严密的证明，以后进入中学，你们就能学习到这种证明方法，让我们一起期待今后更有意义的数学学习，好吗？
如果认真研读学生就会发现，多数学生对结论的验证方法仅限于“测量”，至于“折拼”或“撕拼”等方法，则离学生的实际思维还有一定的距离，严密的证明则距离更远。这第二部曲就是创设了一个让学生自主探究的学习环境，除了让学生根据已有的经验，用测量的方法验证三角形的内角和是180°外，还特别注意引导学生向书本学习，也就是引导学生学习前人的间接经验，用“折拼”或“撕拼”的方法来验证，同时逐步培养学生阅读数学课本的好习惯。至此，“为什么”的教学告一段落，它使学生明白，这是实验几何的结束，是论证几何的开始。
三、“什么用”——“此时无声胜有声”
怎样用“三角形的内角和是180°”解决具体问题，这也是教学的重点。但多数教师的课堂因为前面“验证”费时，至此便一带而过，草草收场。他们认为之所以确定“此处为略”，除了时间不够外，更多的原因是教材中所要解决的问题都很简单，教师没啥可讲，学生完全可以课后进行。
而我却认为，我们真的应该在此环节“做做文章”。我的教学是：
师：通过刚才的学习，我们不仅知道了“是什么”，而且知道了“为什么”，接下来，我们要认真来关注，学习三角形的内角和“有什么用”？
师指着课始出示的三个三角形，提出问题：
你能告诉大家，为什么锐角三角形中有三个锐角，而直角三角形中只有一个直角、钝角三角形中只有一个钝角吗？
（生答略）
每种三角形中较小的两个锐角合起来比，和一样吗？
生：直角三角形中两个锐角的和正好等于90°，锐角三角形中两锐角之和大于90°，钝角三角形中两锐角之和小于90°。
师：如果告诉三角形其中两个内角的度数，你能知道第三个角的度数吗？
（以其中的锐角三角形和钝角三角形为例，处理过程略去）
师追问：在直角三角形中，想知道第三个角的度数，需要告诉你几个角的度数？
生通过争论达成共识：直角的度数已知，只需要告诉一个未知角就可以求另一个未知角了。
师：其实，我们知道，三角形除了按角的特点分类，还可以按边的特点分类，想想看，按边可以怎么分？
生：可以分为等腰三角形和等边三角形。
师纠正：根据三角形中边是否相等，可以把三角形分为“不等边三角形”和“等腰三角形”两类，而“等边三角形”属于特殊的等腰三角形（师随即在相应位置板书）。
其实，刚才黑板上的三个三角形都属于“不等边三角形”。
师：通过刚才的学习我们发现，在不等边三角形中，除直角三角形外，知道两个角的度数，才能求出第三个角的度数。那等腰三角形中呢？（师出示一个等腰锐角三角形）
生：正好相反，只告诉一个角的度数，就可以知道其余两个角的度数是多少？
师追问：如果是等腰直角三角形呢？
生思考后顿悟：每个角的度数我们都知道。
师：等腰直角三角形它的三个角的度数是确定的，我们常用的三角板中就有这样的三角形。
师：还有一个最特殊的等腰三角形，（出示等边三角形）它的每个角是多少度呢？
生：都是60°！180°÷3。
师：如果按角分，它应该属于哪种三角形呢？
生：锐角三角形。
师引导学生感悟：
在应用三角形的内角和解决实际问题的过程中，要依据三角形的特点灵活选择简便的方法。
虽然三角形的分类标准不同，分得的结果也不一样，但它们之间还是有着非常紧密的联系！
最后，师拓展：其实，三角形的内角和还可以帮助你们去发现四边形、五边形等其他多边形的内角和，请同学们课后进一步去感受它的作用和神奇魅力！
学习的最终目的是应用，即“学以致用”。而“应用”又非单一的巩固和练习，它需要举一反三、触类旁通，最终达到“用实”“用活”“用透”的学习效果。这第三部曲就为学生创设了一系列有价值的问题解决情境，把所学知识置于相关知识体系中，由近及远、由一般到特殊、由基础到灵活、由部分到整体、由单一到联系，学生在应用中体悟着数学的价值，感受着数学的魅力。
[本文为河南教育科学“十二五”规划2011年度重点课题“小学数学‘厚重课堂’的探索与实践。课题编号：[2011]-JKGHBB-0716]?