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【摘要】在高中阶段，数学相对于其它学科来说是比较抽象、严密而泛味的，学生对数学的学习显得艰难而缺乏学习的兴趣。要激发学生对数学的学习兴趣,培养学以致用的意识和能力,关键还是激发他们对数学重要性和应用性的再认识。除了应将基本概念、定义、定理、方法讲清、讲透之外,在教学过程中适当地引入与课堂知识相关的简单“数学模型案例”,是行之有效的办法。本文主要研究在数学解题中的模型化方法、步骤，以及数学模型化在高中解题中的应用。
【关键词】高中数学 解题 模型化 方法 步骤 应用
数学来源于实践，又高于实践，服务于实践。因此，我们学习数学的目的，就是为解决实际问题，不管是运用已有数学知识去解决实际问题，还是从社会实践去發现新的数学研究课题，去创造性地研究和发展数学科学，化实际问题为数学模型都起着极其重要的作用。
因此,本文主要研究在数学解中的模型化方法、步骤，以及数学模型化在高中解题中的应用。下面我们首先学习几个数学模型的有关概念：
1.数学模型
我们早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了，当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的。譬如你一定解过这样的所谓“航行问题”：
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速、水速各若干？用x 、y 分别代表船速和水速，可以列出方程
（x+y）·30=750，(x-y)·50=750
实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型，列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题，方程的解x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。
一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型是联系客观世界与数学的桥梁。数学模型是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型。广义地看，一切数学概念、公式、理论体系、算法系统都可称为数学模型，如：算术是计算盈亏的模型，几何是物体外形的模型等.狭义地看，只有反映特定问题的数学结构才称为数学模型，如一次函数是匀速直线运动的模型,不定方程是鸡兔同笼问题的模型等 ［1] 。
2.模型化方法在数学解题中的基本步骤
(1)从要解决的现实问题中恰当构建相应的数学模型。
(2)在建立的数学模型上进行推理或演算,求得解答。
(3)把所得的解答“翻译”回原问题中,得到原问题的解答。
(4)将这些结果用实际的现实原型信息加以验证。模型化流程图。
3.在模型化中几种常用的数学模型
3.1 函数模型。
函数的本质是几个变量之间的对应，它反映了事物运动变化过程中的关系，是一个具有广泛应用价值的模型。许多问题借助于函数模型的构建，使得问题在新的观念实行转化，再由函数的性质来寻求解题途径。
3.1.1 常用函数模型。
例１：求证|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2+…+xn| ≤x11+|x2|+|x2|1+|x2|+…+|xn|1+|xn|
分析：要证不等式的每一项都是x1+x的形式，于是可构造函数f(x)＝ x1+x
证明：构造函数：f(x)＝x1+x
∵f(x1) －f(x2)＝x11+x1 －x21+x2 ＝x1-x2(1+x1)(1+x2)，当 x2＞x1≥0
f(x1)＜f(x2)，所以f(x)当x≥０是增函数。
因为|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn| ，
所以|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|1+|x1+x2+…+xn|＝|x1|1+|x1+x2+…+xn| ＋…＋
|xn|1+|x1+x2+…+xn|≤|x1|1+|x1|＋…＋|xn|1+|xn|
3.1.2 抽象函数模型。
常用函数模型一般给出解析式，但有些函数，在推理与分析中，经常未给解析式、仅给出恒等式或方程。像这类抽象函数问题呈现的都是抽象函数的有关性质，学生便难以像常规问题那样去寻求信息、布置解题方案，即使教师反复多次地把“绝妙”的解题方法奉献给学生，他们偶遇类似问题仍不知所措[2]。本文尝试从特殊模型出发进行思考，以期突破教与学之难点。
1.二次函数模型。
二次函数在形上的对称性所产生的数量关系的恒等式：f(a-x)=f(a+x) ②，是这类命题的基础。而②式也恰好反映了抽象函数关于x=a对称。
例1: 已知函数f(x) 在［2，+∞）上为减函数，且f(1-x)=f(3+x) ，试解关于x的不等式：f［log12(x2+x+12)］ ＜f［log12(2x2-x+58)］。
分析：恒等式②表明了函数f(x) 的图像关于直线x=2对称，此时，不必借助于满足条件的一个具体函数y=(x-2)2，也能发现f(x) 在（-∞，2］上为增函数。
∵f［log12(x2+x+12)=f［log12(x+12)2+14］ ≤2，
f［log12(2x2-x+58)=f［log12［2(x-14)2+12)］≤1
∴原不等式等价于log12 (x2+x+12)＜log12(2x2-x+58)
x2+x+12＞2x2-x+58x2-2x+18＜0，
∴1-174＜x＜1+174 ，故原不等式的解集为(1-174,1+174) 。
3.2 方程模型。
方程是解决实际问题的数学模型，其要点是：
(1)设未知量。将未知量与已知量一齐参与问题各有关量的表述。
(2) 根据条件列出已知量与未知量之间的等量关系式。
(3) 解方程，求得未知量。
其中第二点用数学模型来模拟数量关系，是列方程的关键，借助方程可得简捷解法。
例[4] ：求证tanπ7tan2π7tan3π7= 7 。
分析：式子两边平方得tan2π7tan22π7tan23π7=7，因此，设法构造一个以
tan2π7tan22π7tan23π7为根的一元三次方程
证明：构造方程tan3a=-tan4a （ 0＜a＜π） ①
则有tan7a=tan3a+tan4a1-tan3atan4a=0 ，于是(1)有a=kπ7 （K=1，2，…6），用倍角公式把方程化为3tana-tan3a1-3tan3a+4tana-4tan2a1-6tan2atan4a =0，从而
tan6-21tan4a-35tan2a-7=0，令tan2a=x ，则x3-21x2+35x-7=0 ②
因为tannπ7 =-tan(π-nπ7) （n=1，2，3），所以方程②的三个根为tan2π7 ，tan22π7 ，tan23π7 ，由韦达定理得（tanπ7tan2π7tan3π7）=7 ，即=tanο7 tan2π7tan3π7=7
3.3 几何模型。
一些代数问题直接解答比较困难,若根据数量关系化将其为与之相关的图形问题,再通过几何作图构建几何模型,再根据图形的性质和特点求解,将会使得问题的解答简易直观。
例[4]:正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b+B=c+C=K,求证:aB+bC+ca＜k2。
分析:由aB+bC+cA＜k2联想到面积关系.又由a+A=b+B=c+C=K,联想到构造以K为边长的正三角形.
证明:作边长为K的正三角形PQR如图3.1
分别在各边上取点L,M,N使QL=A,LR=a,
RM=B,MP=b ,PN=C,NQ=c,
因为SLRM+ SMPN+SNQL＜SPQR
所以34aB+34cA＜34k2,
即aB+bC+cA＜k2
4 .数学模型化在中学解题中的应用
根据中学数学自身的特点,在中学数学教学中应注重以下两个方面的教学:
4.1 数学模型化教育的两个问题。
（一）要使学生从数学概念模型化入手，掌握数学基本模型构造的原则。
（二）在数學解题中运用模型化思维方法。
下面列举几个相关例子加深对这些方法原则的认识。
4.1.1 数形结合的问题。
这是一将抽象的数学语言与直观的数学图形结合起来的解题方法。
例１：求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。
分析：把原函数稍加变形：y=(x+2)2+1+(x-2)2+22 即可发现，可以用两点间的距离公式加以解决。函数值可以看作是x轴
上动点P(x,0) 到两定点A(-2,-1) 、B(2,2) 的距离之和（如右图4.1所示），y=|PA|+|PB|≥|AB|=5，故函数的值域为［5，+∞）
本题构造了平面内两点间距离这一数学模型，把代数问题转化为几何问题求解。
4.1.2 求极值问题。
这类问题在中学数学中极为普遍，解法也不惟一，绝大多数方法是借助于数学模型，使问题简化，从而达到解题的目的。
例２：对于满足(x-3)2+(y-3)2＝６的所有实数对(x,y)，求yx 的最大值。
分析：yx易让人联想到直线的的斜率公式，结合题意。
我们可以建立起斜率的数学模型，yx可以理解为圆(x-3)2+(y-3)2=6上的动点P(x,y) 与原点相连的斜率（如图4.2所示）。由点到直线的距离公式即可
求出：(yx)max ＝３＋22 ，(yx)min ＝３－22 。
4.2 正确掌握数学思想方法的辩证关系，进而优化思维品质。
如果说数学问题是数学的心脏，那么解决数学问题的思想方法应当是数学的灵魂。数学思想方法是数学思想的导向，它不是指解决某一具体问题的方法与技巧，而是根据数学学科本身的认识规律来看待数学世界的[3]。如何考察数学问题中带有普遍指导性的思想方法，正确地掌握思想方法，即是要注意它们各自的特点及相互关系，并加以有机结合与灵活运用。
5.结论
在学习数学的过程中，熟练掌握数学模型化方法，对于解决一些繁杂的问题是具有极其重要的作用，通过建立数学模型，把一些难题简化为人人都可以看懂学会的题目,从而培养学生对数学学习的浓厚兴趣。在高中阶段，数学相对于其它学科来说是比较抽象、严密而泛味的，学生对数学的学习显得艰难而缺乏学习的兴趣,要激发学生对数学的学习兴趣,培养学以致用的意识和能力,关键还是激发他们对数学重要性和应用性的再认识。除了应将基本概念、定义、定理、方法讲清、讲透之外,在教学过程中适当地引入与课堂知识相关的简单“数学模型案例”,是行之有效的办法。
参考文献
［1］ 姜启源.数学模型［Ｍ］.第三版.高等教育出版社，2003.08.
［2］ 张德勤.数学解题中的模型化思考［J］.数学通报，2004.04.
［3］ 鲁凤菊.构造数学模型例说［J］. 株洲师范高等专科学校学报，2000.09.
【关键词】高中数学 解题 模型化 方法 步骤 应用
数学来源于实践，又高于实践，服务于实践。因此，我们学习数学的目的，就是为解决实际问题，不管是运用已有数学知识去解决实际问题，还是从社会实践去發现新的数学研究课题，去创造性地研究和发展数学科学，化实际问题为数学模型都起着极其重要的作用。
因此,本文主要研究在数学解中的模型化方法、步骤，以及数学模型化在高中解题中的应用。下面我们首先学习几个数学模型的有关概念：
1.数学模型
我们早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了，当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的。譬如你一定解过这样的所谓“航行问题”：
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速、水速各若干？用x 、y 分别代表船速和水速，可以列出方程
（x+y）·30=750，(x-y)·50=750
实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型，列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题，方程的解x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。
一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型是联系客观世界与数学的桥梁。数学模型是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型。广义地看，一切数学概念、公式、理论体系、算法系统都可称为数学模型，如：算术是计算盈亏的模型，几何是物体外形的模型等.狭义地看，只有反映特定问题的数学结构才称为数学模型，如一次函数是匀速直线运动的模型,不定方程是鸡兔同笼问题的模型等 ［1] 。
2.模型化方法在数学解题中的基本步骤
(1)从要解决的现实问题中恰当构建相应的数学模型。
(2)在建立的数学模型上进行推理或演算,求得解答。
(3)把所得的解答“翻译”回原问题中,得到原问题的解答。
(4)将这些结果用实际的现实原型信息加以验证。模型化流程图。
3.在模型化中几种常用的数学模型
3.1 函数模型。
函数的本质是几个变量之间的对应，它反映了事物运动变化过程中的关系，是一个具有广泛应用价值的模型。许多问题借助于函数模型的构建，使得问题在新的观念实行转化，再由函数的性质来寻求解题途径。
3.1.1 常用函数模型。
例１：求证|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2+…+xn| ≤x11+|x2|+|x2|1+|x2|+…+|xn|1+|xn|
分析：要证不等式的每一项都是x1+x的形式，于是可构造函数f(x)＝ x1+x
证明：构造函数：f(x)＝x1+x
∵f(x1) －f(x2)＝x11+x1 －x21+x2 ＝x1-x2(1+x1)(1+x2)，当 x2＞x1≥0
f(x1)＜f(x2)，所以f(x)当x≥０是增函数。
因为|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn| ，
所以|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|1+|x1+x2+…+xn|＝|x1|1+|x1+x2+…+xn| ＋…＋
|xn|1+|x1+x2+…+xn|≤|x1|1+|x1|＋…＋|xn|1+|xn|
3.1.2 抽象函数模型。
常用函数模型一般给出解析式，但有些函数，在推理与分析中，经常未给解析式、仅给出恒等式或方程。像这类抽象函数问题呈现的都是抽象函数的有关性质，学生便难以像常规问题那样去寻求信息、布置解题方案，即使教师反复多次地把“绝妙”的解题方法奉献给学生，他们偶遇类似问题仍不知所措[2]。本文尝试从特殊模型出发进行思考，以期突破教与学之难点。
1.二次函数模型。
二次函数在形上的对称性所产生的数量关系的恒等式：f(a-x)=f(a+x) ②，是这类命题的基础。而②式也恰好反映了抽象函数关于x=a对称。
例1: 已知函数f(x) 在［2，+∞）上为减函数，且f(1-x)=f(3+x) ，试解关于x的不等式：f［log12(x2+x+12)］ ＜f［log12(2x2-x+58)］。
分析：恒等式②表明了函数f(x) 的图像关于直线x=2对称，此时，不必借助于满足条件的一个具体函数y=(x-2)2，也能发现f(x) 在（-∞，2］上为增函数。
∵f［log12(x2+x+12)=f［log12(x+12)2+14］ ≤2，
f［log12(2x2-x+58)=f［log12［2(x-14)2+12)］≤1
∴原不等式等价于log12 (x2+x+12)＜log12(2x2-x+58)
x2+x+12＞2x2-x+58x2-2x+18＜0，
∴1-174＜x＜1+174 ，故原不等式的解集为(1-174,1+174) 。
3.2 方程模型。
方程是解决实际问题的数学模型，其要点是：
(1)设未知量。将未知量与已知量一齐参与问题各有关量的表述。
(2) 根据条件列出已知量与未知量之间的等量关系式。
(3) 解方程，求得未知量。
其中第二点用数学模型来模拟数量关系，是列方程的关键，借助方程可得简捷解法。
例[4] ：求证tanπ7tan2π7tan3π7= 7 。
分析：式子两边平方得tan2π7tan22π7tan23π7=7，因此，设法构造一个以
tan2π7tan22π7tan23π7为根的一元三次方程
证明：构造方程tan3a=-tan4a （ 0＜a＜π） ①
则有tan7a=tan3a+tan4a1-tan3atan4a=0 ，于是(1)有a=kπ7 （K=1，2，…6），用倍角公式把方程化为3tana-tan3a1-3tan3a+4tana-4tan2a1-6tan2atan4a =0，从而
tan6-21tan4a-35tan2a-7=0，令tan2a=x ，则x3-21x2+35x-7=0 ②
因为tannπ7 =-tan(π-nπ7) （n=1，2，3），所以方程②的三个根为tan2π7 ，tan22π7 ，tan23π7 ，由韦达定理得（tanπ7tan2π7tan3π7）=7 ，即=tanο7 tan2π7tan3π7=7
3.3 几何模型。
一些代数问题直接解答比较困难,若根据数量关系化将其为与之相关的图形问题,再通过几何作图构建几何模型,再根据图形的性质和特点求解,将会使得问题的解答简易直观。
例[4]:正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b+B=c+C=K,求证:aB+bC+ca＜k2。
分析:由aB+bC+cA＜k2联想到面积关系.又由a+A=b+B=c+C=K,联想到构造以K为边长的正三角形.
证明:作边长为K的正三角形PQR如图3.1
分别在各边上取点L,M,N使QL=A,LR=a,
RM=B,MP=b ,PN=C,NQ=c,
因为SLRM+ SMPN+SNQL＜SPQR
所以34aB+34cA＜34k2,
即aB+bC+cA＜k2
4 .数学模型化在中学解题中的应用
根据中学数学自身的特点,在中学数学教学中应注重以下两个方面的教学:
4.1 数学模型化教育的两个问题。
（一）要使学生从数学概念模型化入手，掌握数学基本模型构造的原则。
（二）在数學解题中运用模型化思维方法。
下面列举几个相关例子加深对这些方法原则的认识。
4.1.1 数形结合的问题。
这是一将抽象的数学语言与直观的数学图形结合起来的解题方法。
例１：求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。
分析：把原函数稍加变形：y=(x+2)2+1+(x-2)2+22 即可发现，可以用两点间的距离公式加以解决。函数值可以看作是x轴
上动点P(x,0) 到两定点A(-2,-1) 、B(2,2) 的距离之和（如右图4.1所示），y=|PA|+|PB|≥|AB|=5，故函数的值域为［5，+∞）
本题构造了平面内两点间距离这一数学模型，把代数问题转化为几何问题求解。
4.1.2 求极值问题。
这类问题在中学数学中极为普遍，解法也不惟一，绝大多数方法是借助于数学模型，使问题简化，从而达到解题的目的。
例２：对于满足(x-3)2+(y-3)2＝６的所有实数对(x,y)，求yx 的最大值。
分析：yx易让人联想到直线的的斜率公式，结合题意。
我们可以建立起斜率的数学模型，yx可以理解为圆(x-3)2+(y-3)2=6上的动点P(x,y) 与原点相连的斜率（如图4.2所示）。由点到直线的距离公式即可
求出：(yx)max ＝３＋22 ，(yx)min ＝３－22 。
4.2 正确掌握数学思想方法的辩证关系，进而优化思维品质。
如果说数学问题是数学的心脏，那么解决数学问题的思想方法应当是数学的灵魂。数学思想方法是数学思想的导向，它不是指解决某一具体问题的方法与技巧，而是根据数学学科本身的认识规律来看待数学世界的[3]。如何考察数学问题中带有普遍指导性的思想方法，正确地掌握思想方法，即是要注意它们各自的特点及相互关系，并加以有机结合与灵活运用。
5.结论
在学习数学的过程中，熟练掌握数学模型化方法，对于解决一些繁杂的问题是具有极其重要的作用，通过建立数学模型，把一些难题简化为人人都可以看懂学会的题目,从而培养学生对数学学习的浓厚兴趣。在高中阶段，数学相对于其它学科来说是比较抽象、严密而泛味的，学生对数学的学习显得艰难而缺乏学习的兴趣,要激发学生对数学的学习兴趣,培养学以致用的意识和能力,关键还是激发他们对数学重要性和应用性的再认识。除了应将基本概念、定义、定理、方法讲清、讲透之外,在教学过程中适当地引入与课堂知识相关的简单“数学模型案例”,是行之有效的办法。
参考文献
［1］ 姜启源.数学模型［Ｍ］.第三版.高等教育出版社，2003.08.
［2］ 张德勤.数学解题中的模型化思考［J］.数学通报，2004.04.
［3］ 鲁凤菊.构造数学模型例说［J］. 株洲师范高等专科学校学报，2000.09.