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【摘要】 针对高三备考解斜三角形这一模块复习中,教师的教授与学生的解答遇到的典型问题进行思考,并提出解决的办法。
【关键词】 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 三角函数
1考纲知识解读
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。能够运用正弦定理、余弦定理等知识的方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
解三角形的内容是三角函数知识、三角形知识、平面向量知识综合考查,考纲中要求“掌握”,属于最高级别的要求。
解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正余弦定理求值;二是与平面向量知识结合(主要是数量积);判定三角形形状或结合正余弦定理求值。试题一般为中低档试题,客观题,解答题均有可能出现。
除牢固掌握正、余弦定理外,三角形的有关知识如:内心、外心、重心、垂心、内角和、三边关系,面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB等也要牢固掌握。
在高三的第一轮复习中,我谈谈针对解三角的复习教学过程中遇到的一些问题及解决的办法。
题型一:应用正、余弦定理解斜三角形。
解决策略:对正、余弦定理要灵活运用,以及掌握它们所蕴含的边化角,角化边思想方法。
2009年全国卷I,第17题:在ΔABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b。
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手。对已知条件①a2-c2=2b,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件②sinAcosC=3cosAsinC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分。
解法一:用余弦定理,角化边。在ΔABC中QsinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:
a·=3·c
化简并整理得:2(a2-c2)=b2又由已知a2-c2=2b∴4b=b2
解得:b=4或b=0(舍)
解法二:用正弦定理,角化边。
由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA
由a2-c2=2b,b≠0。得:b=2ccosA+2……①
由sinAcosC=3cosAsinC,得:
sinAcosC+cosAsinC=4cosAsicC
sin(A+C)=4cosAsinC
即sinB=4cosAsinC
由正弦定理角化边得:b=4ccosA……②
由①,②解得b=4。
总结:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查,在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力。
2010年全国卷I,第17题:已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C。
分析:该题是考查正、余弦定理的灵活运用。
2真题感悟
解斜三角是近年高考命题的热点之一。近几年对解三角的要求基本未作调整,主要考查正、余弦定理的运用。但是在解题的过程中常常由于三角形三内角有A+B+C=π这一关系,化简计算中就会与三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等常用公式联系在一起。
题型二:应用正、余弦定理判断三角形的形状。
例:在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断该三角形的形状。
解法一:边化角。由已知化简得a2cosAsinB=b2cosBsinA由正弦定理得sinAcosA=sinB,由二倍角公式得sin2A=sin2B,则有2A=2B或2A+2B=π,则有A=B或A+B=,为等腰三角形或者直角三角形。
解法二:角化边。由a2cosAsinB=b2cosBsinA,及正、余弦定理得:a2b=b2a,化简后得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,可得出a=b或a2+b2=c2故为等腰三角形或直角三角形。
总结:运用正余弦定理的边化角、角化边思想方法,要恰当。
题型三:常见的解斜三角的失误:没有选好切入点盲目投入公式运算;对内角和这一隐含条件进行充分运用;没有进行有效的挖掘条件,出现少解或多解的情况。
例:2009北京卷,在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,B=,cosA=,b=。求sinC的值。
分析:有学生直接用正弦定理求边a与c这样计算量大,可由sinC=[π-(A+B)]=sin(A+B),转化之后用两角和与差公式即可解决。
由此教师要在复习时讲解在解三角形时的常用关系式与常用结论。
解三角形时的常用关系式:①三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;②三角形中大边对大角,小边对小角;直角三角形用勾股定理解决边的问题;③△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,=-。
所以有:sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,sin()=cos,cos=sin
解三角形时的常用结论:①在△ABC中,A>B?圳sinA>sinB?圳cosA 3教学体会
3.1认真研究《考试大纲》及教学要求和目标,分析本章节特点,把握重点难点,根据学生原有知识结构有针对性地设计教学计划,组织教学过程,做好复习指导。
3.2在教学中重基础知识,重基本方法,重基本技能,重教材,重应用,重工具作用,不拔高,不选偏题和难题,遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3.3利用解三角形的应用问题,结合教学过程进行数学建模的训练,要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围,会对公式进行变形;在运用公式解三角形时,会分类讨论三角形类型;指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系,总结出解与三角形有关的应用问题。
3.4强化数形结合的思想,化归的思想,分类与讨论的思想,方程的思想等;加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解解三角形与三角函数的联系。
参考文献
1状元之路(理科).第6版,2010.3
2高考完全解读.第1版,2008.3
【关键词】 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 三角函数
1考纲知识解读
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。能够运用正弦定理、余弦定理等知识的方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
解三角形的内容是三角函数知识、三角形知识、平面向量知识综合考查,考纲中要求“掌握”,属于最高级别的要求。
解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正余弦定理求值;二是与平面向量知识结合(主要是数量积);判定三角形形状或结合正余弦定理求值。试题一般为中低档试题,客观题,解答题均有可能出现。
除牢固掌握正、余弦定理外,三角形的有关知识如:内心、外心、重心、垂心、内角和、三边关系,面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB等也要牢固掌握。
在高三的第一轮复习中,我谈谈针对解三角的复习教学过程中遇到的一些问题及解决的办法。
题型一:应用正、余弦定理解斜三角形。
解决策略:对正、余弦定理要灵活运用,以及掌握它们所蕴含的边化角,角化边思想方法。
2009年全国卷I,第17题:在ΔABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b。
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手。对已知条件①a2-c2=2b,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件②sinAcosC=3cosAsinC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分。
解法一:用余弦定理,角化边。在ΔABC中QsinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:
a·=3·c
化简并整理得:2(a2-c2)=b2又由已知a2-c2=2b∴4b=b2
解得:b=4或b=0(舍)
解法二:用正弦定理,角化边。
由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA
由a2-c2=2b,b≠0。得:b=2ccosA+2……①
由sinAcosC=3cosAsinC,得:
sinAcosC+cosAsinC=4cosAsicC
sin(A+C)=4cosAsinC
即sinB=4cosAsinC
由正弦定理角化边得:b=4ccosA……②
由①,②解得b=4。
总结:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查,在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力。
2010年全国卷I,第17题:已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C。
分析:该题是考查正、余弦定理的灵活运用。
2真题感悟
解斜三角是近年高考命题的热点之一。近几年对解三角的要求基本未作调整,主要考查正、余弦定理的运用。但是在解题的过程中常常由于三角形三内角有A+B+C=π这一关系,化简计算中就会与三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等常用公式联系在一起。
题型二:应用正、余弦定理判断三角形的形状。
例:在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断该三角形的形状。
解法一:边化角。由已知化简得a2cosAsinB=b2cosBsinA由正弦定理得sinAcosA=sinB,由二倍角公式得sin2A=sin2B,则有2A=2B或2A+2B=π,则有A=B或A+B=,为等腰三角形或者直角三角形。
解法二:角化边。由a2cosAsinB=b2cosBsinA,及正、余弦定理得:a2b=b2a,化简后得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,可得出a=b或a2+b2=c2故为等腰三角形或直角三角形。
总结:运用正余弦定理的边化角、角化边思想方法,要恰当。
题型三:常见的解斜三角的失误:没有选好切入点盲目投入公式运算;对内角和这一隐含条件进行充分运用;没有进行有效的挖掘条件,出现少解或多解的情况。
例:2009北京卷,在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,B=,cosA=,b=。求sinC的值。
分析:有学生直接用正弦定理求边a与c这样计算量大,可由sinC=[π-(A+B)]=sin(A+B),转化之后用两角和与差公式即可解决。
由此教师要在复习时讲解在解三角形时的常用关系式与常用结论。
解三角形时的常用关系式:①三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;②三角形中大边对大角,小边对小角;直角三角形用勾股定理解决边的问题;③△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,=-。
所以有:sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,sin()=cos,cos=sin
解三角形时的常用结论:①在△ABC中,A>B?圳sinA>sinB?圳cosA
3.1认真研究《考试大纲》及教学要求和目标,分析本章节特点,把握重点难点,根据学生原有知识结构有针对性地设计教学计划,组织教学过程,做好复习指导。
3.2在教学中重基础知识,重基本方法,重基本技能,重教材,重应用,重工具作用,不拔高,不选偏题和难题,遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3.3利用解三角形的应用问题,结合教学过程进行数学建模的训练,要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围,会对公式进行变形;在运用公式解三角形时,会分类讨论三角形类型;指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系,总结出解与三角形有关的应用问题。
3.4强化数形结合的思想,化归的思想,分类与讨论的思想,方程的思想等;加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解解三角形与三角函数的联系。
参考文献
1状元之路(理科).第6版,2010.3
2高考完全解读.第1版,2008.3