一、一元二次不等式及其解法
　　1．形如[ax2+bx+c>0(或<0)(其中a≠0)]的不等式．
　　例1解不等式[x2+x-6>0]．
　　分析不等式左边可以因式分解，根据“符号法则——正正（负负）得正、正负得负”，将其转化为一元一次不等式组．
　　解原不等式可以化为：[(x+3)(x-2)>0]，
　　于是：[x+3<0x-2<0]或[x+3>0x-2>0]
　　[⇒x<-3x<2或x>-3x>2⇒x<-3或x>2.]
　　所以，原不等式的解是[x<-3或x>2]．
　　点评当把一元二次不等式化为[ax2+bx+c>0(或<0)]的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．
　　2．一元二次不等式[ax2+bx+c>0(或<0)]与二次函数[y=ax2+bx+c(a≠0)]及一元二次方程[ax2+bx+c=0]的关系（简称：三个二次）．
　　一般，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
　　（1）将二次项系数先化为正数；
　　（2）观察相应的二次函数图象．
　　①如果图象与[x]轴有两个交点[(x1,0),(x2,0)]，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根[x1、x2]（也可由根的判别式[Δ>0]来判断）．
　　那么（图1）：
　　[ax2+bx+c>0 (a>0) ⇔ xx2]
　　[ax2+bx+c<0 (a>0) ⇔ x1　　[图1][图2][图3]
　　②如果图象与[x]轴只有一个交点[(-b2a,0)]，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根[xx=x2=-b2a]（也可由根的判别式[Δ=0]来判断） ．
　　那么（图2）：
　　[ax2+bx+c>0 (a>0) ⇔ x≠-b2a.]
　　[ax2+bx+c<0 (a>0) ⇔]无解.
　　③如果图象与[x]轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根. （也可由根的判别式[Δ<0]来判断）
　　那么（图3）：
　　[ax2+bx+c>0 (a>0) ⇔ x]取一切实数.
　　[ax2+bx+c<0 (a>0) ⇔]无解.
　　如果单纯地解一个一元二次不等式的话，可以按照以下步骤处理：
　　（1）化二次项系数为正；
　　（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根[x1,x2]．那么“[>0]”型的解为[xx2]（俗称两根之外）；“[<0]”型的解为[x1　　（3）否则，对二次三项式进行配方，变成[ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a]，结合完全平方式为非负数的性质求解．
　　例2 已知不等式[ax2+bx+c<0(a≠0)]的解是[x<2 或 x>3]，求不等式[bx2+ax+c>0]的解．
　　解由不等式[ax2+bx+c<0(a≠0)]的解为[x<2, 或 x>3]，可知[a<0]，且方程[ax2+bx+c=0]的两根分别为2和3.
　　∴[-ba=5 ,  ca=6]，
　　即 [ba=-5 ,  ca=6]．
　　由于[a<0]，所以不等式[bx2+ax+c>0]可变为[bax2+x+ca<0] ，
　　即－[5x2+x+6<0 , ]
　　整理得[5x2-x-6>0 , ]
　　所以，不等式[bx2+ax-c>0]的解是[x＜－1]或[x＞65]．
　　点评本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
　　
　　二、简单分式不等式的解法
　　例3解不等式：[2x-3x+1<0].
　　分析类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数（式）相除异号，那么这两个数（式）相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．
　　解法一原不等式可化为：
　　[2x-3<0x+1>0或2x-3>0x+1<0⇒x<32x>-1或x>32x<-1⇒-1　　解法二原不等式可化为：
　　[(2x-3)(x+1)<0⇒-1　　例4解不等式[1x+2≤3]
　　解原不等式可化为：
　　[1x+2-3≤0⇒-3x-5x+2≤0⇒3x+5x+2≥0⇒(3x+5)(x+2)≥0x+2≠0⇒x<-2或x≥-53.]
　　点评（1）转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
　　（2）本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
　　[1x+2≤3⇒x+2>03(x+2)≥1或x+2<03(x+2)≤1⇒x>-2x≥-53或x<-2x≤-53⇒x≥-53或x<-2.]
　　三、含有字母系数的一元一次不等式
　　一元一次不等式最终可以化为[ax>b]的形式．
　　（1）当[a>0]时，不等式的解为：[x>ba]；
　　（2）当[a<0]时，不等式的解为：[x　　（3）当[a=0]时，不等式化为：[0⋅x>b]；
　　①若[b<0]，则不等式的解是全体实数；
　　②若[b≥0]，则不等式无解．
　　例5求关于[x]的不等式[m2x+2>2mx+m]的解．
　　解原不等式可化为：[m(m-2)x>m-2]
　　（1）当[m-2>0即m>2]时，[mx>1]，不等式的解为[x>1m]；
　　（2）当[m-2<0即m<2]时，[mx<1]．
　　①[0　　②[m<0]时，不等式的解为[x>1m]；
　　③[m=0]时，不等式的解为全体实数．
　　（3）当[m-2=0即m=2]时，不等式无解．
　　综上所述：当[m<0]或[m>2]时，不等式的解为[x>1m]；当[0　　[【练习】]
　　1．解不等式：[x(x+9)>3(x-3)].
　　2．解不等式：[2x2-x+12x+1>0].
　　3．已知不等式[x2-ax+b<0]的解是[2　　4．解关于[x]的不等式[(m-2)x>1-m]．
　　5．已知不等式[2x2+px+q<0]的解是[-20]的解．
　　[【参考答案】]
　　1．[x≠-3].
　　2．[x＞-12].
　　3．[a=5,b=6]．
　　4．（1）当[m>2]时，[x>1-mm-2]；（2）当[m<2]时，[x<1-mm-2]；（3） 当[m=2]时，[x]取全体实数．
　　5．[x≠1]