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一年一度的中考落下帷幕，总有一些题目值得我们细细咀嚼，留下不少余味.本人对2017年黄石市中考数学试卷第10题（选择压轴题），作了一些有益的探讨，供大家参考与指正.
1题目再现
图1题目（2017黄石第10题）如圖1，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE ∠CBD，AC=1，则BD必定满足（）.
解法一因为AB=BC，将△ABE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数，得△CBP，连DP，如图2.则∠CBP=∠ABE，BE=BP，CP=AE.由∠DBE=∠ABE ∠CBD=∠CBP ∠CBD=∠DBP，即∠EBD=∠DBP，又BD=BD，BE=BP，所以△BED≌△BPD（SAS）.所以DP=ED，又DE=AE=CP，所以△CDP是等边三角形，所以∠DCP=60°.由周角定义知∠BCD ∠BCP=300°，又因为∠CBP=∠CPB=12（180°-∠BCP），同理∠DBC=∠BDC=12（180°-∠BCD），两式相加得∠DBP=∠CBP ∠DBC=12（360°-∠BCP-∠BCD）=12（360°-300°）=30°，所以∠DBP=30°=∠EBD，所以∠ABC=2∠EBD=60°，又AB=BC，所以△ABC是等边三角形，又AC=1，所以BC=1，所以在△BCD中，BC=CD=1，由三角形任意两边之和大于第三边得BD<2.
点评旋转变换是初中几何内容的重要组成部分，是中考的常考内容之一，运用旋转变换来分析问题、解决问题，更是几何高难问题的解决途径和通用方法，具有很高的应用技巧和思维含量.
图3解法二将△BAE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数至△BCF，连接DF，如图3.由解法一可知△EBD≌△FBD（SAS），△CDF是等边三角形.
img src="http://img1.qikan.com/qkimages/zxsx/zxsx201706/zxsx20170617-3-l.jpg" alt="" />
所以CB=CD=CF，即点B、D、F在以C为圆心，CB为半径的圆上.
由圆周角定理可知，∠DBF=12∠DCF=12×60°=30°，由△BED≌△BFD（已证），所以∠DBE=∠DBF=30°.因为∠DBE=∠ABE ∠CBD，∠CBF=∠ABE，所以∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又AC=1，所以BD 点评前段部分，运用旋转变换解决△CDF是等边三角形，后段部分运用圆的定义，构造辅助圆，再运用圆周角定理，解决角度问题.这种解法较之解法一，更加简洁明快，干脆利落.而构造辅助圆，往往在教学中容易被忽略，这需要一线教师重视圆的内容，着重引导学生归纳、总结圆的基本内容方法和基本辅助线的做法，并进行相关内容的专题训练.
方法二（翻折法）
图4分析如图4，由∠DBE=∠ABE ∠CBD，想到将∠ABE和∠CBD分别沿BE、BD翻折得到两对全等三角形和几个四边形，由凸五边形的边长相等得出四边形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，再运用这些图形的特殊性解决问题.
解法三将△ABE沿BE折叠，△BCD沿BD折叠，如图4，由∠DBE=∠ABE ∠CBD，AB=BC，则AB、BC折叠后重合，设重合的边为BP，连AP、EP、PD、PC，这样△ABE≌△PBE，而AB=AE，所以AB=AE=EP=BP，则四边形ABPE是菱形，同理四边形BCDP是菱形，因此AE瘙 綊 BP瘙 綊 CD，则四边形ACDE是平行四边形，由已知ED=CD，得ACDE是菱形，又AC=1，则CD=AC=1，所以CD=BC=1，在△BCD中，BD 点评图形的翻折是将一个图形沿一条直线折叠的运动，翻折后的图形与原图形全等.翻折是一种重要的几何变换，运用图形的翻折，能将分散的条件集中，为顺利解题创造出意想不到的条件.
为什么能用这三种方法解决？解法一、解法二使用旋转法，不但要将△ABE旋转得到△CBP，还要运用轴对称的思想得出△BED≌△BPD.其实这种证明的模式实际是“半角模型”的演变，这个模型的运用在平时教学中屡见不鲜，是一种典型的解题模式识别方法，同时也是一种解题经验，可见解题模式和解题经验在解题中至关重要.解法三使用翻折法，将△ABE、△BCD翻折后，要能发现四边形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，要有善于联想的大脑和善于发现的眼睛.这三种解法都运用了图形变换的思想，还要运用不少几何知识，技巧性强，综合性高，没有深厚的平几功底及敏锐的观察力是无法解决的.难道就没有其他简单一点的方法？经过思考，还是有的，请看：
方法三（整体代换）图5分析如图5，由各边相等知△ABE、△BCD都是等腰三角形，则∠1=∠3，∠2=∠4，再运用三角形的内角和定理推导出同旁内角互补，进一步得出AE瘙 綊 CD，四边形ACDE是菱形，则问题解决. 解法四因为AB=AE，所以∠1=∠3.同理BC=CD，则∠2=∠4.又在△BDE中，∠5 ∠6 ∠7=180°，而∠5=∠1 ∠2，所以∠1 ∠2 ∠6 ∠7=180°，即∠3 ∠4 ∠6 ∠7=180°，所以AE∥CD，进一步得AE瘙 綊 CD，所以四边形ACDE是平行四边形，而CD=DE，所以四边形ACDE是菱形，又AC=1，所以BC=CD=AC=1，所以BD<2.
点评本解法的别致之处在于：不求某个角的度数，而整体求某几个角的和.这实际是整体思想的运用.整体思想是指在研究问题时，从整体观点出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析，整体处理的解题思想方法.利用整体思想分析问题，往往可以找到更合理，更简洁实用的解题途径.
用整体代换竟然如此简单，此法的关键在于尝试运用“将△BDE的三个内角之和转化为∠AED ∠CDE”，为什么这样联想？题目的图形已很清楚暗示了四边形ACDE和△ABC都是特殊的图形，解题时，丰富的联想及大胆的猜想都是平几证明的原动力，这样为小心求证开辟蹊径.
作为选择压轴题，此题有待商榷.
3题目修改
单从学生答题上来看，不少学生解答此题耗时不超过半分钟，直接猜想△ABC是等边三角形得BC=1，再用三角形三边关系得出正确答案.这样，此题便失去了中考的考查功能.
其实这是一道改编试题，类似的题目有如下两种：
1.如图6所示，各边相等的五边形ABCDE中，若∠ABC=2∠DBE，则∠ABC=（）.
A.60°B.120°
C.90°D.45°
2.如图7，在凸五边形ABCDE中，连接AC、BE，AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=2∠DBE，求证：∠ABC=60°.图6图7显然，这两个题目连同黄石市中考第10题考查的知识点是一样的.作为解答题，学生不易证明；作为选择题，又一眼便猜出答案.怎样设计成一个区分度高的选择压轴题呢？这就需要命题者将解题的具体过程体现在题目的选项中.
图8改编如图8，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE ∠CBD，AC=1，则以下结论：①BD<2；②五边形ABCDE的面积是一个确定的值；③BE>BD；④∠EBD=30°，其中结论正确的个数有（）个.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
由上面的证明过程，很容易得出△ABC的面积是一个确定的值，即S△ABC=34×1=34，菱形ACDE的内角度数可以改变，其形状可以改变，则其面积也就不能确定，因此五边形ABCDE的面积不是确定的值，所以结论②错误；因菱形ACDE的内角度数不确定，那么BE、BD的大小关系也无法比较，因此③错误.由上面四种解法的任一证法都可以得出∠ABC=60°，所以∠EBD=30°，则④正确.所以正确的结论是①、④，故选B.
4教学启示
4.1重视解题反思
数学家波利亚曾经说过：“即使是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并把整个论证简洁地写下来，就会合上书，去找别的事做……”实际上，学生的思维能力的提高，最重要的一点莫过于对解题情况的反思.反思的内容有很多，比如：计算是否准确、简洁，推理是否合理、周密.解法是否有更多更好的方法，解题中用到了哪些知识点和哪些重要的方法？这道题为什么这样解决？能不能不用这种方法？有没有更好的方法？比如这道中考题，不能光选出正确答案就万事大吉，应该想一想怎样证明，有哪些方法证明，有没有更简单的方法证明，这种方法为以后的解题得到哪些启示……等等.久而久之，学生思维的广度与深度一定会有质的飞跃.
42重视模式识别
英国数学家怀特·海德说过：“數学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式的研究.”罗增儒教授在《解题学引论》指出：“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题以此索引，在记忆存储中提取出相应的方法来解决，这就是模式识别的解题策略.”[1]如果学生对平时的问题善于总结、积累，那么在以后解题时，就可以迅速的把新问题转化为已掌握的类型，如本题的每种方法都是建立在以前已有的解题模式、经验基础上，产生联想、识别，问题才得以快速解决.
4.3科学规范命题
章建跃教授认为真正的数学题“应该满足一些基本条件，例如：反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，不纠缠于细枝末节，体现基础知识和联系性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂，等等”[2].各种类型的考试题目相当一部分来源于对已有试题的改编，如何取材选题，如何添置生成，如何整合创新，如何为学生设计思路台阶，如何体现课改下考核的评价功能、导向功能及选拔功能都值得思考.改编试题必须在对原题的深入研究的基础上进行问题的重新整合创新，改编试题必须有利于学生的思维发展，既不能改成超级难题，又不能改成一眼就明的胡猜题.改编试题既要有思维含量，更要有一定灵活性，有一定的探究梯度，这样才能真正考出学生的思维层次，拉开差距.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.
[2]章建跃.发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）.
1题目再现
图1题目（2017黄石第10题）如圖1，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE ∠CBD，AC=1，则BD必定满足（）.
解法一因为AB=BC，将△ABE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数，得△CBP，连DP，如图2.则∠CBP=∠ABE，BE=BP，CP=AE.由∠DBE=∠ABE ∠CBD=∠CBP ∠CBD=∠DBP，即∠EBD=∠DBP，又BD=BD，BE=BP，所以△BED≌△BPD（SAS）.所以DP=ED，又DE=AE=CP，所以△CDP是等边三角形，所以∠DCP=60°.由周角定义知∠BCD ∠BCP=300°，又因为∠CBP=∠CPB=12（180°-∠BCP），同理∠DBC=∠BDC=12（180°-∠BCD），两式相加得∠DBP=∠CBP ∠DBC=12（360°-∠BCP-∠BCD）=12（360°-300°）=30°，所以∠DBP=30°=∠EBD，所以∠ABC=2∠EBD=60°，又AB=BC，所以△ABC是等边三角形，又AC=1，所以BC=1，所以在△BCD中，BC=CD=1，由三角形任意两边之和大于第三边得BD<2.
点评旋转变换是初中几何内容的重要组成部分，是中考的常考内容之一，运用旋转变换来分析问题、解决问题，更是几何高难问题的解决途径和通用方法，具有很高的应用技巧和思维含量.
图3解法二将△BAE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数至△BCF，连接DF，如图3.由解法一可知△EBD≌△FBD（SAS），△CDF是等边三角形.
img src="http://img1.qikan.com/qkimages/zxsx/zxsx201706/zxsx20170617-3-l.jpg" alt="" />
所以CB=CD=CF，即点B、D、F在以C为圆心，CB为半径的圆上.
由圆周角定理可知，∠DBF=12∠DCF=12×60°=30°，由△BED≌△BFD（已证），所以∠DBE=∠DBF=30°.因为∠DBE=∠ABE ∠CBD，∠CBF=∠ABE，所以∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又AC=1，所以BD
方法二（翻折法）
图4分析如图4，由∠DBE=∠ABE ∠CBD，想到将∠ABE和∠CBD分别沿BE、BD翻折得到两对全等三角形和几个四边形，由凸五边形的边长相等得出四边形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，再运用这些图形的特殊性解决问题.
解法三将△ABE沿BE折叠，△BCD沿BD折叠，如图4，由∠DBE=∠ABE ∠CBD，AB=BC，则AB、BC折叠后重合，设重合的边为BP，连AP、EP、PD、PC，这样△ABE≌△PBE，而AB=AE，所以AB=AE=EP=BP，则四边形ABPE是菱形，同理四边形BCDP是菱形，因此AE瘙 綊 BP瘙 綊 CD，则四边形ACDE是平行四边形，由已知ED=CD，得ACDE是菱形，又AC=1，则CD=AC=1，所以CD=BC=1，在△BCD中，BD
为什么能用这三种方法解决？解法一、解法二使用旋转法，不但要将△ABE旋转得到△CBP，还要运用轴对称的思想得出△BED≌△BPD.其实这种证明的模式实际是“半角模型”的演变，这个模型的运用在平时教学中屡见不鲜，是一种典型的解题模式识别方法，同时也是一种解题经验，可见解题模式和解题经验在解题中至关重要.解法三使用翻折法，将△ABE、△BCD翻折后，要能发现四边形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，要有善于联想的大脑和善于发现的眼睛.这三种解法都运用了图形变换的思想，还要运用不少几何知识，技巧性强，综合性高，没有深厚的平几功底及敏锐的观察力是无法解决的.难道就没有其他简单一点的方法？经过思考，还是有的，请看：
方法三（整体代换）图5分析如图5，由各边相等知△ABE、△BCD都是等腰三角形，则∠1=∠3，∠2=∠4，再运用三角形的内角和定理推导出同旁内角互补，进一步得出AE瘙 綊 CD，四边形ACDE是菱形，则问题解决. 解法四因为AB=AE，所以∠1=∠3.同理BC=CD，则∠2=∠4.又在△BDE中，∠5 ∠6 ∠7=180°，而∠5=∠1 ∠2，所以∠1 ∠2 ∠6 ∠7=180°，即∠3 ∠4 ∠6 ∠7=180°，所以AE∥CD，进一步得AE瘙 綊 CD，所以四边形ACDE是平行四边形，而CD=DE，所以四边形ACDE是菱形，又AC=1，所以BC=CD=AC=1，所以BD<2.
点评本解法的别致之处在于：不求某个角的度数，而整体求某几个角的和.这实际是整体思想的运用.整体思想是指在研究问题时，从整体观点出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析，整体处理的解题思想方法.利用整体思想分析问题，往往可以找到更合理，更简洁实用的解题途径.
用整体代换竟然如此简单，此法的关键在于尝试运用“将△BDE的三个内角之和转化为∠AED ∠CDE”，为什么这样联想？题目的图形已很清楚暗示了四边形ACDE和△ABC都是特殊的图形，解题时，丰富的联想及大胆的猜想都是平几证明的原动力，这样为小心求证开辟蹊径.
作为选择压轴题，此题有待商榷.
3题目修改
单从学生答题上来看，不少学生解答此题耗时不超过半分钟，直接猜想△ABC是等边三角形得BC=1，再用三角形三边关系得出正确答案.这样，此题便失去了中考的考查功能.
其实这是一道改编试题，类似的题目有如下两种：
1.如图6所示，各边相等的五边形ABCDE中，若∠ABC=2∠DBE，则∠ABC=（）.
A.60°B.120°
C.90°D.45°
2.如图7，在凸五边形ABCDE中，连接AC、BE，AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=2∠DBE，求证：∠ABC=60°.图6图7显然，这两个题目连同黄石市中考第10题考查的知识点是一样的.作为解答题，学生不易证明；作为选择题，又一眼便猜出答案.怎样设计成一个区分度高的选择压轴题呢？这就需要命题者将解题的具体过程体现在题目的选项中.
图8改编如图8，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE ∠CBD，AC=1，则以下结论：①BD<2；②五边形ABCDE的面积是一个确定的值；③BE>BD；④∠EBD=30°，其中结论正确的个数有（）个.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
由上面的证明过程，很容易得出△ABC的面积是一个确定的值，即S△ABC=34×1=34，菱形ACDE的内角度数可以改变，其形状可以改变，则其面积也就不能确定，因此五边形ABCDE的面积不是确定的值，所以结论②错误；因菱形ACDE的内角度数不确定，那么BE、BD的大小关系也无法比较，因此③错误.由上面四种解法的任一证法都可以得出∠ABC=60°，所以∠EBD=30°，则④正确.所以正确的结论是①、④，故选B.
4教学启示
4.1重视解题反思
数学家波利亚曾经说过：“即使是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并把整个论证简洁地写下来，就会合上书，去找别的事做……”实际上，学生的思维能力的提高，最重要的一点莫过于对解题情况的反思.反思的内容有很多，比如：计算是否准确、简洁，推理是否合理、周密.解法是否有更多更好的方法，解题中用到了哪些知识点和哪些重要的方法？这道题为什么这样解决？能不能不用这种方法？有没有更好的方法？比如这道中考题，不能光选出正确答案就万事大吉，应该想一想怎样证明，有哪些方法证明，有没有更简单的方法证明，这种方法为以后的解题得到哪些启示……等等.久而久之，学生思维的广度与深度一定会有质的飞跃.
42重视模式识别
英国数学家怀特·海德说过：“數学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式的研究.”罗增儒教授在《解题学引论》指出：“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题以此索引，在记忆存储中提取出相应的方法来解决，这就是模式识别的解题策略.”[1]如果学生对平时的问题善于总结、积累，那么在以后解题时，就可以迅速的把新问题转化为已掌握的类型，如本题的每种方法都是建立在以前已有的解题模式、经验基础上，产生联想、识别，问题才得以快速解决.
4.3科学规范命题
章建跃教授认为真正的数学题“应该满足一些基本条件，例如：反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，不纠缠于细枝末节，体现基础知识和联系性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂，等等”[2].各种类型的考试题目相当一部分来源于对已有试题的改编，如何取材选题，如何添置生成，如何整合创新，如何为学生设计思路台阶，如何体现课改下考核的评价功能、导向功能及选拔功能都值得思考.改编试题必须在对原题的深入研究的基础上进行问题的重新整合创新，改编试题必须有利于学生的思维发展，既不能改成超级难题，又不能改成一眼就明的胡猜题.改编试题既要有思维含量，更要有一定灵活性，有一定的探究梯度，这样才能真正考出学生的思维层次，拉开差距.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.
[2]章建跃.发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）.