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[缘起]
《数学课程标准》情调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。因此，在小学阶段渗透数学建模思想已显得越来越重要。数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，在作了一些必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具：并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等等。
那么，如何在日常数学教学中渗透建模思想呢?带着这样的问题，我们进行了苦苦的探索。“植树问题”属于经典的奥数教学内容，具有较高的思维含量和较强的探究空间，也是能够渗透数学建模思想的一种非常有效的载体。教师在教学这一内容时往往更多地关注植树规律的获得，而恰恰相反，对植树规律获取的过程即建模过程可能比掌握规律本身来得更重要。我校应璐鲒老师在执教这一内容时较好地阐释了数学建模的策略——小步子建模，保证学生有充分的时间和空间参与建模的全过程。
[教学范本及评析]
一、创设原型
1 教学“间隔”的含义
师：同学们，我们都有一双手，手里面藏着有趣的数学知识，你想了解吗?请举起你的右手并五指张开。
师：在张开的五指中，你还看到了什么?(空隙或叉)
师：数学中我们把这个“空隙”或“叉”叫做“间隔”。(板书)
师：数一数一只手中有几个间隔。(4个)这个4，数学上称做“间隔数”。(板书)
2 列举生活中的“间隔”
师：生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗?(两棵树之间、两个同学之间、两个铃声之间……)
师：同学们举得例子可真多!今天这堂课，我们就一起来研究和间隔有关的植树问题。(板书课题：植树问题)
(评析：这样的开头亲切而简洁。通过观察双手和列举生活中大量含有“间隔”的实例，使学生较好地理解“间隔”与“间隔数”的含义，同时为后面的建模提供了生活原型。)
二、构建模型
1 动手操作、探究问题
(1)解读信息，尝试解答
出示问题：同学们在全长1000米的马路一边植树，每隔5米栽一棵(两端要栽)，一共需要多少棵树苗?
师：从题中你了解到了哪些数学信息?(解读“每隔5米栽一棵”“两端要栽”“一边”)
师：算一算，一共需要多少棵树苗?(请用算式说话)
反馈答案：
方法一：1000÷5=200
方法二：1000÷5=200；200 1=201
(评析：只有真正理解了植树问题的这些术语，才能为后面的建模扫清障碍。把教材中的全长100米改为1000米，更有利于化归思想的运用。学生的两种解答方法为下一步的化归做好了铺垫。)
(2)示范植树，化难为易
师：现在出现了两种答案，到底哪种答案是正确的呢?这需要验证。咱们可以模拟实际种一种。我们用泡沫代替小路，用牙签代替小树，因为“两端要栽”，先在一端栽上1棵，隔5米栽1棵，再隔5米栽1棵，隔5米栽l棵……(栽第5棵的时候，教师做晕的动作)
师：我们现在栽了多少米?(20米)这么久才种了20米，一共要种1000米。如果这样一棵一棵地栽下去，你有什么感受?(太麻烦)
师：对呀，老师的手都栽酸了。其实，像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法——复杂问题简单化。用简单的例子来研究它们的规律，然后用找到的规律来解决问题。大家想用这种方法试试吗?
师：我们把1000米改为20米。一齐读题：
同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵(两端要栽)，一共需要多少棵树苗?
(评析：示范的第一个目的是让学生理解每个间隔是相等的；其二是为学生下一步的模拟栽树提供范例；其三是让学生体会到化归的必要性。)
(3)初次植树，感受规律
师：四人一组模拟栽一栽、算一算。
师：说说一共栽了多少棵树?(5棵)
师：想一想，20米里面有几个5米?(4个)
师：这个4表示什么?(间隔数)
师：通过栽树，你发现了什么?(植树棵树比间隔数多!)
(评析：让学生学会模拟栽树的方法，为下一步的建模做准备。)
2 合作探究，建构模型
(1)画图植树，体验规律
师：如果让你来植树，同样全长20米，我们还可以每隔几米栽1棵?(板书：2米、4米、10米、20米)
师：我们还可以用什么方法来种一种?(画线段图)
师：每组选取其中一种方案进行画图研究，看看间隔数和棵数之间的关系。(学生研究，教师巡视)
师：谁先来汇报一下研究成果?(学生汇报，教师把汇报的数据集中展示出来)
(评析：让学生学会用数学的方法研究数学问题。把研究成果汇总在一起，为下一步学生的发现提供充分的信息。)
(2)开放植树，感悟规律
师：除了路长是20米，还可以是几米，怎么种?
师：下面请同学们用自己喜欢的方式去植树，路的全长与间隔距离由你们自己决定，不过每组只能确定一种方案去植树。(学生操作，教师巡视，有意识指导学生扩大全长及间距)
师：谁来汇报一下植树成果?(学生汇报，教师把成果继续汇总到统计表上)
(评析：开放路长和间隔距离，增强学生学生的主动性；有意识地指导学生扩大数据，使建模素材更有可信度，同时为解决开始的问题做准备。)
(3)观察反思，提炼规律
师：仔细观察表格，你们发现了什么?(学生很容易得出：两端都栽：棵数＝间隔数 1；间隔数＝棵数-1)(板书结论)
师：这个“1”表示什么?(师结合线段图用红粉笔一棵树一个间隔的演示)
生：“1”既可表示开头的这棵树，也可以表示末尾的那棵树。
(评析：让学生真正理解植树问题的两个模型。)
3 完成问题，明确算法
师：你们现在能解决前面这个问题了吗?哪个答案是正喃的?
师：我们通过简单的例子发现了规律，应用这个规律解央了一个复杂的问题。以后再遇到“南端要栽”求棵数，知道该怎么做了吗?
(评析：既是呼应开头，又是对上述探究学习的一个小结。)
三、灵活应用
师：同学们真会观察和发现，很快找出了植树问题中蕴含的规律，真不错。那么，植树问题在生活中还会以怎样的形式出现呢?我们一起来看看：
1 同学们做早操，某行从第一人到最后一人的距离是24米，每两人之间相距2米，这行有多少人?(学生解答后反馈)
2 永安溪大桥全长480米，在桥的两边从头到尾每隔60米有一盏路灯(两端都有)，共有多少盏路灯?(学生练习后，抓住“两边”进行反馈)
师：看来，应用植树问题的规律，不仅能解决植树的问 题，生活中很多类似的现象也能用植树问题的规律来解决。
(评析：让学生感受到植树问题在生活中的广泛应用，而掌握了模型，解决起来就非常简单，使学生充分感受到数学知识的巨大作用。)
四、总结拓展
师：同学们，今天你有什么收获?
师：请同学们在回家的路上数一数学校到家里共有几棵树(几根电线杆、几盏路灯)，几个间隔?(把看到的信息写在本子上)
(评析：布置这个任务的目的有两个，第一是让学生在实际生活中验证课堂中建构的模型，第二是为下节课的学习寻找素材。)
[总测]
一、建模内容要简要
课堂的时间是千常数，学生的学习精力是有限的。因此，选择恰当的学习内容，特别是抓住课的本质，精简非本质的内容，就会使一节课显得既充实又简约，有骨也有肉。关于一条线段的植树问题有三种情形：两端都要栽；一端栽另一端不栽；两端都不栽。有的教师喜欢把三种情形放在同一课内进行教学，以加强三种方法之间的比较，但在一节课内学习这么多内容，学生对植树问题模型的理解肯定是肤浅的，也无法深刻感悟植树问题在实际生活中的应用。因此，应老师对教材内容进行了一定的删减，本课只教学第一种情形——两端都栽，其变式训练求路长也没有出现。这样处理的目的是突出植树问题基本模型的构建，保证学生有充分的时间和空间体验植树问题模型的建构过程。其实，在第一课时深刻地建立起植树问题的模型，后续知识的教学就驾轻就熟了。
二、建模过程要充实
新课程对数学教学的一条重要要求，就是要让学生全面地、充分地参与数学知识的产生过程：也就是教学要具有充实的知识建构过程。那么，如何做到这一点呢?首先要把教材的重点、难点、关键之处深化、细化，像放大镜一样把它放大；其次是处理教材时要突出数学味，要适当渗透一些数学思想、数学方法、数学思维，让数学课更理性；最后是教学的推进要具有明显的层次性、递进性，要让学生充分感受数学知识的形成过程。为让学生真正理解植树问题的基本模型，应老师把建模过程分成八个层次即，小步进行，可以说达到了充分细化。其建模的主要进程如下：创设原型，理解“间隔”与“间隔数”含义；解读问题中蕴含的数学信息(两端都栽；一边；每隔5米)；教师模拟栽树；学生第一次利用“泡沫”和“牙签”模拟栽树；学生利用画线段图的方式第二次模拟栽树；学生第三次模拟栽树(开放路长、间距及栽树方法)：信息汇总，植树问题基本模型水到渠成；结合线段图解释数学模型中“1”的含义。通过这样八个步骤的层层推进，学生对植树问题基本模型的认识就比较透彻了。更难能可贵的是，教师在渗透数学建模思想的同时也向学生渗透了化归思想，教学时把教材中的路长从100米改成1000米，就是为实现化归思想做准备的。
(浙江省仙居县三桥小学 317300)
《数学课程标准》情调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。因此，在小学阶段渗透数学建模思想已显得越来越重要。数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，在作了一些必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具：并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等等。
那么，如何在日常数学教学中渗透建模思想呢?带着这样的问题，我们进行了苦苦的探索。“植树问题”属于经典的奥数教学内容，具有较高的思维含量和较强的探究空间，也是能够渗透数学建模思想的一种非常有效的载体。教师在教学这一内容时往往更多地关注植树规律的获得，而恰恰相反，对植树规律获取的过程即建模过程可能比掌握规律本身来得更重要。我校应璐鲒老师在执教这一内容时较好地阐释了数学建模的策略——小步子建模，保证学生有充分的时间和空间参与建模的全过程。
[教学范本及评析]
一、创设原型
1 教学“间隔”的含义
师：同学们，我们都有一双手，手里面藏着有趣的数学知识，你想了解吗?请举起你的右手并五指张开。
师：在张开的五指中，你还看到了什么?(空隙或叉)
师：数学中我们把这个“空隙”或“叉”叫做“间隔”。(板书)
师：数一数一只手中有几个间隔。(4个)这个4，数学上称做“间隔数”。(板书)
2 列举生活中的“间隔”
师：生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗?(两棵树之间、两个同学之间、两个铃声之间……)
师：同学们举得例子可真多!今天这堂课，我们就一起来研究和间隔有关的植树问题。(板书课题：植树问题)
(评析：这样的开头亲切而简洁。通过观察双手和列举生活中大量含有“间隔”的实例，使学生较好地理解“间隔”与“间隔数”的含义，同时为后面的建模提供了生活原型。)
二、构建模型
1 动手操作、探究问题
(1)解读信息，尝试解答
出示问题：同学们在全长1000米的马路一边植树，每隔5米栽一棵(两端要栽)，一共需要多少棵树苗?
师：从题中你了解到了哪些数学信息?(解读“每隔5米栽一棵”“两端要栽”“一边”)
师：算一算，一共需要多少棵树苗?(请用算式说话)
反馈答案：
方法一：1000÷5=200
方法二：1000÷5=200；200 1=201
(评析：只有真正理解了植树问题的这些术语，才能为后面的建模扫清障碍。把教材中的全长100米改为1000米，更有利于化归思想的运用。学生的两种解答方法为下一步的化归做好了铺垫。)
(2)示范植树，化难为易
师：现在出现了两种答案，到底哪种答案是正确的呢?这需要验证。咱们可以模拟实际种一种。我们用泡沫代替小路，用牙签代替小树，因为“两端要栽”，先在一端栽上1棵，隔5米栽1棵，再隔5米栽1棵，隔5米栽l棵……(栽第5棵的时候，教师做晕的动作)
师：我们现在栽了多少米?(20米)这么久才种了20米，一共要种1000米。如果这样一棵一棵地栽下去，你有什么感受?(太麻烦)
师：对呀，老师的手都栽酸了。其实，像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法——复杂问题简单化。用简单的例子来研究它们的规律，然后用找到的规律来解决问题。大家想用这种方法试试吗?
师：我们把1000米改为20米。一齐读题：
同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵(两端要栽)，一共需要多少棵树苗?
(评析：示范的第一个目的是让学生理解每个间隔是相等的；其二是为学生下一步的模拟栽树提供范例；其三是让学生体会到化归的必要性。)
(3)初次植树，感受规律
师：四人一组模拟栽一栽、算一算。
师：说说一共栽了多少棵树?(5棵)
师：想一想，20米里面有几个5米?(4个)
师：这个4表示什么?(间隔数)
师：通过栽树，你发现了什么?(植树棵树比间隔数多!)
(评析：让学生学会模拟栽树的方法，为下一步的建模做准备。)
2 合作探究，建构模型
(1)画图植树，体验规律
师：如果让你来植树，同样全长20米，我们还可以每隔几米栽1棵?(板书：2米、4米、10米、20米)
师：我们还可以用什么方法来种一种?(画线段图)
师：每组选取其中一种方案进行画图研究，看看间隔数和棵数之间的关系。(学生研究，教师巡视)
师：谁先来汇报一下研究成果?(学生汇报，教师把汇报的数据集中展示出来)
(评析：让学生学会用数学的方法研究数学问题。把研究成果汇总在一起，为下一步学生的发现提供充分的信息。)
(2)开放植树，感悟规律
师：除了路长是20米，还可以是几米，怎么种?
师：下面请同学们用自己喜欢的方式去植树，路的全长与间隔距离由你们自己决定，不过每组只能确定一种方案去植树。(学生操作，教师巡视，有意识指导学生扩大全长及间距)
师：谁来汇报一下植树成果?(学生汇报，教师把成果继续汇总到统计表上)
(评析：开放路长和间隔距离，增强学生学生的主动性；有意识地指导学生扩大数据，使建模素材更有可信度，同时为解决开始的问题做准备。)
(3)观察反思，提炼规律
师：仔细观察表格，你们发现了什么?(学生很容易得出：两端都栽：棵数＝间隔数 1；间隔数＝棵数-1)(板书结论)
师：这个“1”表示什么?(师结合线段图用红粉笔一棵树一个间隔的演示)
生：“1”既可表示开头的这棵树，也可以表示末尾的那棵树。
(评析：让学生真正理解植树问题的两个模型。)
3 完成问题，明确算法
师：你们现在能解决前面这个问题了吗?哪个答案是正喃的?
师：我们通过简单的例子发现了规律，应用这个规律解央了一个复杂的问题。以后再遇到“南端要栽”求棵数，知道该怎么做了吗?
(评析：既是呼应开头，又是对上述探究学习的一个小结。)
三、灵活应用
师：同学们真会观察和发现，很快找出了植树问题中蕴含的规律，真不错。那么，植树问题在生活中还会以怎样的形式出现呢?我们一起来看看：
1 同学们做早操，某行从第一人到最后一人的距离是24米，每两人之间相距2米，这行有多少人?(学生解答后反馈)
2 永安溪大桥全长480米，在桥的两边从头到尾每隔60米有一盏路灯(两端都有)，共有多少盏路灯?(学生练习后，抓住“两边”进行反馈)
师：看来，应用植树问题的规律，不仅能解决植树的问 题，生活中很多类似的现象也能用植树问题的规律来解决。
(评析：让学生感受到植树问题在生活中的广泛应用，而掌握了模型，解决起来就非常简单，使学生充分感受到数学知识的巨大作用。)
四、总结拓展
师：同学们，今天你有什么收获?
师：请同学们在回家的路上数一数学校到家里共有几棵树(几根电线杆、几盏路灯)，几个间隔?(把看到的信息写在本子上)
(评析：布置这个任务的目的有两个，第一是让学生在实际生活中验证课堂中建构的模型，第二是为下节课的学习寻找素材。)
[总测]
一、建模内容要简要
课堂的时间是千常数，学生的学习精力是有限的。因此，选择恰当的学习内容，特别是抓住课的本质，精简非本质的内容，就会使一节课显得既充实又简约，有骨也有肉。关于一条线段的植树问题有三种情形：两端都要栽；一端栽另一端不栽；两端都不栽。有的教师喜欢把三种情形放在同一课内进行教学，以加强三种方法之间的比较，但在一节课内学习这么多内容，学生对植树问题模型的理解肯定是肤浅的，也无法深刻感悟植树问题在实际生活中的应用。因此，应老师对教材内容进行了一定的删减，本课只教学第一种情形——两端都栽，其变式训练求路长也没有出现。这样处理的目的是突出植树问题基本模型的构建，保证学生有充分的时间和空间体验植树问题模型的建构过程。其实，在第一课时深刻地建立起植树问题的模型，后续知识的教学就驾轻就熟了。
二、建模过程要充实
新课程对数学教学的一条重要要求，就是要让学生全面地、充分地参与数学知识的产生过程：也就是教学要具有充实的知识建构过程。那么，如何做到这一点呢?首先要把教材的重点、难点、关键之处深化、细化，像放大镜一样把它放大；其次是处理教材时要突出数学味，要适当渗透一些数学思想、数学方法、数学思维，让数学课更理性；最后是教学的推进要具有明显的层次性、递进性，要让学生充分感受数学知识的形成过程。为让学生真正理解植树问题的基本模型，应老师把建模过程分成八个层次即，小步进行，可以说达到了充分细化。其建模的主要进程如下：创设原型，理解“间隔”与“间隔数”含义；解读问题中蕴含的数学信息(两端都栽；一边；每隔5米)；教师模拟栽树；学生第一次利用“泡沫”和“牙签”模拟栽树；学生利用画线段图的方式第二次模拟栽树；学生第三次模拟栽树(开放路长、间距及栽树方法)：信息汇总，植树问题基本模型水到渠成；结合线段图解释数学模型中“1”的含义。通过这样八个步骤的层层推进，学生对植树问题基本模型的认识就比较透彻了。更难能可贵的是，教师在渗透数学建模思想的同时也向学生渗透了化归思想，教学时把教材中的路长从100米改成1000米，就是为实现化归思想做准备的。
(浙江省仙居县三桥小学 317300)