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题目：
（2013年高考）如图1，半径为 R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一电荷量为q(q>0)，质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射人磁场区域，射入点与ab的距离为R/2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力 )( )
(A) qBR/2m(B) qBR/m(C)3qBR/2m(D) 2qBR/m
解析：带电粒子沿平行于直径ab的方向射人磁场区域做匀速圆周运动，运动轨迹如图.设运动半径为r，圆心为O′，连接OC、OO′，OO′垂直平分弦长CD.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，所以∠C O′D=60°， 又CE= R/2，所以∠C OE=30°，则∠C O O′=∠C O′O= 30°，C O′=CO，即r=R.再根据洛仑兹力提供向心力有，qvB=mv2 R 解得v=qBR m，所以(B)选项正确.
这是一个带电粒子在圆形有界匀强磁场中的运动问题，解这个题目，从数学方法上，属于“几何分析法”.带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求.学生应该熟悉常见的有界磁场，能用牛顿定律解决带电粒子在磁场中的动力学问题；能分析建构物理情景，能熟练运用数学几何知识解决物理问题.在有界磁场中，带电粒子在磁场中运动可能不是一个完整的圆，而仅仅是一段圆弧.这时对带电粒子运动的“几何分析”则往往成为解题的关键.有界磁场中带电粒子运动的“几何分析”包括以下三个方面：
一、确定圆弧轨迹的圆心
当带电粒子垂直射入有边界的匀强磁场，其运动轨迹是一段圆弧，对粒子运动轨迹的几何分析是解题的关键，而能否确定粒子轨迹圆的圆心，又是轨迹几何分析的必要前提.寻找圆弧的圆心，一种思路是：已知运动粒子在磁场边界射入的速度方向和射出的速度方向时，应根据磁感应强度B的方向和物体运动速度 的方向，运用左手定则，确定射入点和射出点的洛仑兹力的方向，则圆心就在两个洛仑兹力延长线的交点上（如图2）.另一种思路
是由几何知识（圆心是任意两条半径的交点）和物理知识（曲线运动的瞬时速度沿轨迹切线方向）推知“两点瞬时速度的垂线的交点就是圆心”.因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图2所示.
有了圆心，半径就有了，我们就可以依赖三角形的知识看位置和半径关系.然后按部就班贯彻“找圆心→找半径→三角关系定位置”的解题思想.
例1 如图3所示，电子和质子以相同的动量进入直线边界的磁场，它们的动量都和磁场垂直，而和边界夹角θ .如果磁场足够大，它们出场时的位置有什么关系？
解析：根据r =P/(qB)知，电子和质子在磁场中做圆弧运动的半径相同.又由左手定则知，它们的偏转方向是不同的，故它们在上图中将分别划过劣弧和优弧，且分别从C点和B点打出磁场.根据上面介绍的法则，不难找出圆心分别为O2和O1（辅助法则：圆心必然在弦的中垂线上）.显然
AB=AC= 2rsinθ .答案：它们出场的位置相对进场的位置对称.事实上，这个结论针对两个圆弧相交也是成立的.
二、确定磁偏转的角度
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点.
①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图4所示，即φ=α=2θ.
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°.
带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向间的夹角叫磁偏转的磁偏角.磁偏角等于通过射入点和射出点的半径的夹角，即圆心角α.它又等于与圆心角同弧的圆周角的2倍.确定磁偏角有许多意义，例如求带电粒子在有界磁场中运动的时间：
t T=α 2π，则
t=α 2π
T=α 2π•
2πm qB
=αm qB.
若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式
t=α 2πT，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关.
例2如图5直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场.正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
解：由公式知，它们的半径和周期是相同的.只是偏转方向相反.先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形.所以两个射出点相距2r，由图还可看出，经历时间相差2T/3.解题的关键是找圆心、找半径和用对称.答案为射出点相距
s=(2mv)/(BE)，时间差为Δt=(4πm)/(3Bq).
图5 图6图7
三、带电粒子在匀强磁场中的偏转
①穿过矩形磁场区.如图6一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）.偏转角由sinθ=L/R求出.侧移由R2=L2+(R-y)2解出.经历时间由
t=mg Bq
得出.这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同.
②穿过圆形磁场区.如图7,画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）.偏角可由
tan(θ/2)=r/R求出.经历时间t=(mθ)/(Bq)
得出.由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心.
我们可以认识到：带电粒子在有界磁场中运动的“几何分析”是突破物体运动图景的关键，“几何分析”也是正确地运用数学知识的前提.运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难.
（2013年高考）如图1，半径为 R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一电荷量为q(q>0)，质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射人磁场区域，射入点与ab的距离为R/2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力 )( )
(A) qBR/2m(B) qBR/m(C)3qBR/2m(D) 2qBR/m
解析：带电粒子沿平行于直径ab的方向射人磁场区域做匀速圆周运动，运动轨迹如图.设运动半径为r，圆心为O′，连接OC、OO′，OO′垂直平分弦长CD.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，所以∠C O′D=60°， 又CE= R/2，所以∠C OE=30°，则∠C O O′=∠C O′O= 30°，C O′=CO，即r=R.再根据洛仑兹力提供向心力有，qvB=mv2 R 解得v=qBR m，所以(B)选项正确.
这是一个带电粒子在圆形有界匀强磁场中的运动问题，解这个题目，从数学方法上，属于“几何分析法”.带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求.学生应该熟悉常见的有界磁场，能用牛顿定律解决带电粒子在磁场中的动力学问题；能分析建构物理情景，能熟练运用数学几何知识解决物理问题.在有界磁场中，带电粒子在磁场中运动可能不是一个完整的圆，而仅仅是一段圆弧.这时对带电粒子运动的“几何分析”则往往成为解题的关键.有界磁场中带电粒子运动的“几何分析”包括以下三个方面：
一、确定圆弧轨迹的圆心
当带电粒子垂直射入有边界的匀强磁场，其运动轨迹是一段圆弧，对粒子运动轨迹的几何分析是解题的关键，而能否确定粒子轨迹圆的圆心，又是轨迹几何分析的必要前提.寻找圆弧的圆心，一种思路是：已知运动粒子在磁场边界射入的速度方向和射出的速度方向时，应根据磁感应强度B的方向和物体运动速度 的方向，运用左手定则，确定射入点和射出点的洛仑兹力的方向，则圆心就在两个洛仑兹力延长线的交点上（如图2）.另一种思路
是由几何知识（圆心是任意两条半径的交点）和物理知识（曲线运动的瞬时速度沿轨迹切线方向）推知“两点瞬时速度的垂线的交点就是圆心”.因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图2所示.
有了圆心，半径就有了，我们就可以依赖三角形的知识看位置和半径关系.然后按部就班贯彻“找圆心→找半径→三角关系定位置”的解题思想.
例1 如图3所示，电子和质子以相同的动量进入直线边界的磁场，它们的动量都和磁场垂直，而和边界夹角θ .如果磁场足够大，它们出场时的位置有什么关系？
解析：根据r =P/(qB)知，电子和质子在磁场中做圆弧运动的半径相同.又由左手定则知，它们的偏转方向是不同的，故它们在上图中将分别划过劣弧和优弧，且分别从C点和B点打出磁场.根据上面介绍的法则，不难找出圆心分别为O2和O1（辅助法则：圆心必然在弦的中垂线上）.显然
AB=AC= 2rsinθ .答案：它们出场的位置相对进场的位置对称.事实上，这个结论针对两个圆弧相交也是成立的.
二、确定磁偏转的角度
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点.
①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图4所示，即φ=α=2θ.
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°.
带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向间的夹角叫磁偏转的磁偏角.磁偏角等于通过射入点和射出点的半径的夹角，即圆心角α.它又等于与圆心角同弧的圆周角的2倍.确定磁偏角有许多意义，例如求带电粒子在有界磁场中运动的时间：
t T=α 2π，则
t=α 2π
T=α 2π•
2πm qB
=αm qB.
若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式
t=α 2πT，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关.
例2如图5直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场.正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
解：由公式知，它们的半径和周期是相同的.只是偏转方向相反.先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形.所以两个射出点相距2r，由图还可看出，经历时间相差2T/3.解题的关键是找圆心、找半径和用对称.答案为射出点相距
s=(2mv)/(BE)，时间差为Δt=(4πm)/(3Bq).
图5 图6图7
三、带电粒子在匀强磁场中的偏转
①穿过矩形磁场区.如图6一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）.偏转角由sinθ=L/R求出.侧移由R2=L2+(R-y)2解出.经历时间由
t=mg Bq
得出.这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同.
②穿过圆形磁场区.如图7,画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）.偏角可由
tan(θ/2)=r/R求出.经历时间t=(mθ)/(Bq)
得出.由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心.
我们可以认识到：带电粒子在有界磁场中运动的“几何分析”是突破物体运动图景的关键，“几何分析”也是正确地运用数学知识的前提.运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难.