论文部分内容阅读
数列是高考的重点、热点和难点，近几年高考数列通常作为压轴题，其解答题多与函数方程和不等式、三角、解析几何、导数等重要的数学知识交汇。解数列问题离不开通项公式，所以会解通项公式往往是推开数列大门的敲门砖。高考数列问题凡涉及到通项公式的，常以已知数列的递推关系式求通项公式，解这类问题的方法一般分为两类：一类是根据前几项的特点，归纳猜想出通项的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知的递推关系进行变形、转化，从而求出通项或化归为基本数列（等差、等比数列）的形式再求出通项。
一、 化归为特殊数列：等差（比）数列
例题1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12,an=-2SnSn-1(n≥2)，求an．
分析 关于通项an与Sn的关系式，常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2, 将其转化为Sn的递推式，或转化为an的递推式，本题适宜转化为Sn的递推式。
解 当n≥2时，由题设得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，得1Sn-1Sn-1=2，
即1Sn是以1S1=2为首项，2为公差的等差数列，故1Sn=2+(n-1)•2=2n，即Sn=12n,n∈N*，
于是当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2•12n•12(n-1)=-12n(n-1)，∴an=12,n=1，-12n(n-1),n≥2.
点拨 类似地，递推式an+1=banaan+b(b≠0)，可变形为1an+1-1an=ab，可知1an成等差数列。
例题2 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,….求数列{an}的通项．
分析 将点的坐标代入函数关系式，便可得an的递推关系式。
解 由已知得an+1=a2n+2an，所以an+1=(an+1)2-1，即an+1+1=
(an+1)2，
因为a1=2,所以an+1>1.两边取对数，得lg(an+1+1)=2lg(an+1)，令lg(an+1)=bn，得bn+1=2bn,n∈N*，所以{bn}成等比数列，所以bn=2n-1lg3，即lg(1+an)=2n-1lg3，所以an=32n-1-1．
点拨 一般地，递推式an+1=aqn(q≠0,0
二、 化归为常见基本型
(1) an+1=an+f(n)型；
(2) 若f(n)是常数，则递推式an+1-an=d，数列{an}为等差数列；
(3) 若f(n)是一次函数（或二次函数），则递推式an+1-an=kn+b（或an2+bn+c）符合叠加法的特征.
例题3 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn(c是常数，n=1,2,3,…)，且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列．
(1) 求c的值；
(2) 求{an}的通项公式．
解 (1) c=2.过程略；(2) 当n≥2时，由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,叠加得an-a1=［1+2+…+(n-1)］c=n(n-1)c2.又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3…)，当n=1时，上式也成立．所以an=n2-n+2(n=1,2,…).
三、 化归为特殊型
（1） an+`1=qan+f(n)(q为常数，q≠0且q≠1)型；
(2) an+1an=mn+bk(mn+c)k(k≠0,m≠0,b-c=pm,p∈Z)型、an+1an=kn(k≠0)型
或an+1an=kmn(k≠0,m>0且m≠1)型．
例题4 已知数列{an}，a1=1,an+1=2an+3n,n∈N*，求通项公式an．
解 设an+1+x•3n+1=2(an+x•3n),得an+1=2an-x•3n，比较系数，得：-x•3n=3n，即x=-1.
所以an+1-3n+1=2(an-3n)，又a1-3=-2，所以数列an-3n是以-2为首项，2为公比的等比数列，所以an-3n=-2•2n-1,即an=3n-2n，n∈N*.
点拨 本题防止把an+1+x•3n+1=2(an+x•3n)设成an+1+x=2(an+x)。
例题5 已知数列{an}，a1=1,an > 0,n+1a2n+1-na2n+an+1an=0,n∈N*，求通项an．
解 由n+1a2n+1-na2n+an+1an=0得： ［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0，因为an>0,所以an+1+an>0，所以(n+1)an+1-nan=0，得：an+1an=nn+1.所以an=1×12×23×34×…×n-1n=1n．
以上介绍的求数列通项公式较为常见，求数列通项公式的方法有很多，限于篇幅不能一一列举，希望同学们在平时训练过程中能注意积累，灵活掌握求数列通项公式的方法。
牛刀小试
1. 已知数列{an}满足a1=3,2an-an+1=n(n+1),n∈N*，求通项an．
2. 已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).求{an}的通项公式.
3. 已知数列{an}，a1=1,an+1=2an+3,n∈N*，求数列{an}的通项公式．
4. 已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+3n,n≥2，求数列{an}的通项公式．
5. 已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，求
{an}的通项公式．
【参考答案】
1. an=1+2n.（提示：an+1-an=2n+1-2n,叠加相消）
2. an=3n-12.（提示：an-an-1=3n-1(n≥2)，叠加即可，注意讨论n=1）
3. an=4•2n-1-3，n∈N*.（提示：令an+1+t=2（an+t)，计算出t=3即可得等比数列）
4. an=3nn-23,n∈N*.（提示：此题和例题4的解法有区别，在等式两边同时除以3n得：
an3n=an-13n-1+1，得数列an3n为等差数列）
5. an=1,n=1，n!2,n≥2. 提示：当n≥2时an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，①
当n≥3时an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)•an-2，②
两式相减，得an-an-1=(n-1)an-1，显然an-1≠0，则anan-1=n，得a3a2=3,a4a3=4,…，an-1an-2=n-1，
又a2=a1=1，所以an=a2•a3a2•a4a3•…•an-1an-2•anan-1=1×3×4×…×(n-1)×n=n!2，n∈N*，n≥2,
所以an=1,n=1，n!2,n≥2.
（作者：沈健，启东市东南中学）
一、 化归为特殊数列：等差（比）数列
例题1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12,an=-2SnSn-1(n≥2)，求an．
分析 关于通项an与Sn的关系式，常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2, 将其转化为Sn的递推式，或转化为an的递推式，本题适宜转化为Sn的递推式。
解 当n≥2时，由题设得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，得1Sn-1Sn-1=2，
即1Sn是以1S1=2为首项，2为公差的等差数列，故1Sn=2+(n-1)•2=2n，即Sn=12n,n∈N*，
于是当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2•12n•12(n-1)=-12n(n-1)，∴an=12,n=1，-12n(n-1),n≥2.
点拨 类似地，递推式an+1=banaan+b(b≠0)，可变形为1an+1-1an=ab，可知1an成等差数列。
例题2 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,….求数列{an}的通项．
分析 将点的坐标代入函数关系式，便可得an的递推关系式。
解 由已知得an+1=a2n+2an，所以an+1=(an+1)2-1，即an+1+1=
(an+1)2，
因为a1=2,所以an+1>1.两边取对数，得lg(an+1+1)=2lg(an+1)，令lg(an+1)=bn，得bn+1=2bn,n∈N*，所以{bn}成等比数列，所以bn=2n-1lg3，即lg(1+an)=2n-1lg3，所以an=32n-1-1．
点拨 一般地，递推式an+1=aqn(q≠0,0
二、 化归为常见基本型
(1) an+1=an+f(n)型；
(2) 若f(n)是常数，则递推式an+1-an=d，数列{an}为等差数列；
(3) 若f(n)是一次函数（或二次函数），则递推式an+1-an=kn+b（或an2+bn+c）符合叠加法的特征.
例题3 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn(c是常数，n=1,2,3,…)，且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列．
(1) 求c的值；
(2) 求{an}的通项公式．
解 (1) c=2.过程略；(2) 当n≥2时，由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,叠加得an-a1=［1+2+…+(n-1)］c=n(n-1)c2.又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3…)，当n=1时，上式也成立．所以an=n2-n+2(n=1,2,…).
三、 化归为特殊型
（1） an+`1=qan+f(n)(q为常数，q≠0且q≠1)型；
(2) an+1an=mn+bk(mn+c)k(k≠0,m≠0,b-c=pm,p∈Z)型、an+1an=kn(k≠0)型
或an+1an=kmn(k≠0,m>0且m≠1)型．
例题4 已知数列{an}，a1=1,an+1=2an+3n,n∈N*，求通项公式an．
解 设an+1+x•3n+1=2(an+x•3n),得an+1=2an-x•3n，比较系数，得：-x•3n=3n，即x=-1.
所以an+1-3n+1=2(an-3n)，又a1-3=-2，所以数列an-3n是以-2为首项，2为公比的等比数列，所以an-3n=-2•2n-1,即an=3n-2n，n∈N*.
点拨 本题防止把an+1+x•3n+1=2(an+x•3n)设成an+1+x=2(an+x)。
例题5 已知数列{an}，a1=1,an > 0,n+1a2n+1-na2n+an+1an=0,n∈N*，求通项an．
解 由n+1a2n+1-na2n+an+1an=0得： ［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0，因为an>0,所以an+1+an>0，所以(n+1)an+1-nan=0，得：an+1an=nn+1.所以an=1×12×23×34×…×n-1n=1n．
以上介绍的求数列通项公式较为常见，求数列通项公式的方法有很多，限于篇幅不能一一列举，希望同学们在平时训练过程中能注意积累，灵活掌握求数列通项公式的方法。
牛刀小试
1. 已知数列{an}满足a1=3,2an-an+1=n(n+1),n∈N*，求通项an．
2. 已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).求{an}的通项公式.
3. 已知数列{an}，a1=1,an+1=2an+3,n∈N*，求数列{an}的通项公式．
4. 已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+3n,n≥2，求数列{an}的通项公式．
5. 已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，求
{an}的通项公式．
【参考答案】
1. an=1+2n.（提示：an+1-an=2n+1-2n,叠加相消）
2. an=3n-12.（提示：an-an-1=3n-1(n≥2)，叠加即可，注意讨论n=1）
3. an=4•2n-1-3，n∈N*.（提示：令an+1+t=2（an+t)，计算出t=3即可得等比数列）
4. an=3nn-23,n∈N*.（提示：此题和例题4的解法有区别，在等式两边同时除以3n得：
an3n=an-13n-1+1，得数列an3n为等差数列）
5. an=1,n=1，n!2,n≥2. 提示：当n≥2时an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，①
当n≥3时an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)•an-2，②
两式相减，得an-an-1=(n-1)an-1，显然an-1≠0，则anan-1=n，得a3a2=3,a4a3=4,…，an-1an-2=n-1，
又a2=a1=1，所以an=a2•a3a2•a4a3•…•an-1an-2•anan-1=1×3×4×…×(n-1)×n=n!2，n∈N*，n≥2,
所以an=1,n=1，n!2,n≥2.
（作者：沈健，启东市东南中学）