论文部分内容阅读
初中几何教材中角的定义有两种.一种是用静止的观点给出的（定义1）：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
角的这个定义是一个“发生式定义”.这种定义方式的特点是：把被定义概念的本质特征寓于被定义概念的产生或形成状况之中.在这个定义中，角的形成过程相对来说是“静止”的，但它直观形象地揭示出“角”这种图形的两个本质属性（概念的内涵）：一是“两条射线”，二是“有公共端点”，二者缺一不可.但是，这个定义的缺点是概念的“确定性”不够，因为它定义的角是不确定的：是指小于平角的角呢，还是大于平角的角呢？从定义本身是看不出来的.为了弥补这一缺陷，教材在定义了平角、周角后，加上了一个重要规定：“本书今后所说的角，除非特别注明，都是指还没有旋转到平角时所成的角.”这样一来，角（“除非特别注明”）的概念的量化范围（概念的外延）是0°和180°之间的所有的角.
角的另一种定义是用运动的观点给出的（定义2）：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线旋转时经过的平面部分是角的内部.
角的这个定义也是一种“发生式定义”.但是，它是从“运动”的观点来定义的.不过，定义2可以看成是定义1的深化和推广.因为定义2相对于定义1，产生了大于平角，甚至大于周角的角，也包含了高中三角函数中的正角、负角的概念.
这两个定义所揭示的内涵（射线和端点）是相同的，由此可以知道，角的大小只与角的两边张开的程度有关，而与画在纸上的角的两边的长短无关.用它可以解答学生提出的问题（或教师提出思考题）：透过一个10倍的放大镜看一个1.5°的角，这个角是否会放大到15°？答案：放大镜不能放大角的度数.
角的这两个定义主要的不同点是：（1）角的形成方式不同.定义1指的是两边的夹角（静态），定义2指的是一边旋转到另一边的旋转角（动态）.（2）角的两边的“地位”不同.定义1的两边都是射线，它们的地位平等，都叫做角的边，用数学符号记作∠AOB或∠BOA都一样（如图1）.而定义2的角的两边地位不一样，一条边是旋转的起始位置（应称始边），另一条边是旋转的终止位置（应称为终边），而且在角的内部用弧形的箭号表示射线的旋转方向(如图3).但是在初
中几何教材中没有定义正角、负角的概念，所以教材中仅在叙述角的这一定义时，在插图中用弧形的箭号标出了射线按逆时针方向旋转，也许是一种约定，并与将来规定的正角不会矛盾.（3）角的大小范围不同.定义1的角范围小，定义2的角范围大.但是，在几何教材所规定的角都是指“还没有旋转到平角时所成的角”的限制下，角的范围都是在0°和180°之间.这样，角的这两个定义就统一起来了，从而保证了角的概念的确定性.
图1图2
关于角还有一个概念性的问题：角到底包括哪些点？有人认为，无论是定义1还是定义2，都表明角由它的顶点及两边上所有的点组成，形象地说，角是一个由顶点和边线组成的“线框”.也有人认为，角的顶点还应该包括角的内部，形象地说，角是一块由顶点、边线及边线所夹的平面组成的“面板”，例如，度量角的大小，实质上是度量这块“面板”角，作角的平分线，实质上是把这块“面板”角平分.其实，这两种观点都有道理，而且在教材中关于角的定义，虽未指明角到底是“线框”还是“面板”，但在事实上，度量角的大小时，把角看成“面板”，而在其他时候，则把角看成“线框”.中学几何教材中主要是把角看成“线框”来处理的.因此，可以明确指出：当涉及角的大小时，角可以看成“面板”；而在其他问题中，角看成“线框”.
例如，用角的“面板”观点，可以使学生容易辨别直线与平角是两个不同的概念：直线本身仅是一条直线而已；而平角虽然其两边互为反向延长线，但平角并不是指这条直线，而是指射线旋转到终止位置与起始位置成一直线时，射线旋转扫过的平面部分.这样，也容易区别射线和周角是两个不同的概念.
(责任编辑 金 铃）
角的这个定义是一个“发生式定义”.这种定义方式的特点是：把被定义概念的本质特征寓于被定义概念的产生或形成状况之中.在这个定义中，角的形成过程相对来说是“静止”的，但它直观形象地揭示出“角”这种图形的两个本质属性（概念的内涵）：一是“两条射线”，二是“有公共端点”，二者缺一不可.但是，这个定义的缺点是概念的“确定性”不够，因为它定义的角是不确定的：是指小于平角的角呢，还是大于平角的角呢？从定义本身是看不出来的.为了弥补这一缺陷，教材在定义了平角、周角后，加上了一个重要规定：“本书今后所说的角，除非特别注明，都是指还没有旋转到平角时所成的角.”这样一来，角（“除非特别注明”）的概念的量化范围（概念的外延）是0°和180°之间的所有的角.
角的另一种定义是用运动的观点给出的（定义2）：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线旋转时经过的平面部分是角的内部.
角的这个定义也是一种“发生式定义”.但是，它是从“运动”的观点来定义的.不过，定义2可以看成是定义1的深化和推广.因为定义2相对于定义1，产生了大于平角，甚至大于周角的角，也包含了高中三角函数中的正角、负角的概念.
这两个定义所揭示的内涵（射线和端点）是相同的，由此可以知道，角的大小只与角的两边张开的程度有关，而与画在纸上的角的两边的长短无关.用它可以解答学生提出的问题（或教师提出思考题）：透过一个10倍的放大镜看一个1.5°的角，这个角是否会放大到15°？答案：放大镜不能放大角的度数.
角的这两个定义主要的不同点是：（1）角的形成方式不同.定义1指的是两边的夹角（静态），定义2指的是一边旋转到另一边的旋转角（动态）.（2）角的两边的“地位”不同.定义1的两边都是射线，它们的地位平等，都叫做角的边，用数学符号记作∠AOB或∠BOA都一样（如图1）.而定义2的角的两边地位不一样，一条边是旋转的起始位置（应称始边），另一条边是旋转的终止位置（应称为终边），而且在角的内部用弧形的箭号表示射线的旋转方向(如图3).但是在初
中几何教材中没有定义正角、负角的概念，所以教材中仅在叙述角的这一定义时，在插图中用弧形的箭号标出了射线按逆时针方向旋转，也许是一种约定，并与将来规定的正角不会矛盾.（3）角的大小范围不同.定义1的角范围小，定义2的角范围大.但是，在几何教材所规定的角都是指“还没有旋转到平角时所成的角”的限制下，角的范围都是在0°和180°之间.这样，角的这两个定义就统一起来了，从而保证了角的概念的确定性.
图1图2
关于角还有一个概念性的问题：角到底包括哪些点？有人认为，无论是定义1还是定义2，都表明角由它的顶点及两边上所有的点组成，形象地说，角是一个由顶点和边线组成的“线框”.也有人认为，角的顶点还应该包括角的内部，形象地说，角是一块由顶点、边线及边线所夹的平面组成的“面板”，例如，度量角的大小，实质上是度量这块“面板”角，作角的平分线，实质上是把这块“面板”角平分.其实，这两种观点都有道理，而且在教材中关于角的定义，虽未指明角到底是“线框”还是“面板”，但在事实上，度量角的大小时，把角看成“面板”，而在其他时候，则把角看成“线框”.中学几何教材中主要是把角看成“线框”来处理的.因此，可以明确指出：当涉及角的大小时，角可以看成“面板”；而在其他问题中，角看成“线框”.
例如，用角的“面板”观点，可以使学生容易辨别直线与平角是两个不同的概念：直线本身仅是一条直线而已；而平角虽然其两边互为反向延长线，但平角并不是指这条直线，而是指射线旋转到终止位置与起始位置成一直线时，射线旋转扫过的平面部分.这样，也容易区别射线和周角是两个不同的概念.
(责任编辑 金 铃）