论文部分内容阅读
摘 要:数学的转化与化归思想巧妙地利用了哲学的矛盾论,将矛盾双方由对立转化为相互统一,充分发挥双方的优势,使问题得到最佳的解决,体现了数学的和谐统一美。本文探析了数学解题过程中特值法、一般化思想、函数思想、正难则反思想、主次元地位转化、化异求同等方法的理論依据和基本步骤。
关键词:对立与统一;转化与化归;特殊与一般;函数方程与不等式;正难则反;主次地位
老子说“有无相生,难易相成,长短相形,高下相倾,音声相和,前后相随”;“祸兮福之所倚,福兮祸之所伏”。世界上一切事物都包含着相互对立又相互统一的两个方面,即矛盾双方共处一个共同体中。因为它们不仅有相互排斥、相互对立的斗争性,又有着相互吸引、相互联结的同一性,所以矛盾双方相互渗透、相互包含,并在一定条件下可以相互转化。数学的转化与化归思想便是巧妙地利用了矛盾的这些特性,在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段通过转化,进而使问题得到解决。有代表性的转化主要有:正难则反、主次地位、化异求同等。下面简单探析这些转化的产生因何缘起哲学思想的矛盾论。
一、正难则反:当题目的正面出现情况较为复杂或者带有“至多”、“至少”等词及否定性命题时,可先从反面求解再取反面答案的补集即可。
例1.(2017全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()
A. B. C. D.
分析:正面求解要分类讨论,比较繁。如果意识到大小对立且概率相等,除此外即是两次号码相等,而号码相等的情况比较清楚,个数为5.因为基本事件的总数是52=25,因此满足条件的事件A的个数为,于是
例2.已知集合若三个集合中至少有一个不是空集,则实数a的取值范围为
分析:“至少有一个不是空集”包含7种不同情况,而它的反面是“都是空集”,只需由不等式组得,再取补集即可。
可见事物中矛盾双方正强则反弱,正难则反简,对待这种问题避强攻弱方为上策。
二、主与次的转化:在含有多个变元的命题中,将其中一个作为主元,其它变元看作常量,从而起到减元并简化运算或改变思考角度的目的。正如矛盾论所言,主与次是对立的。在解一道题时将哪个变元视为主元,都是为了解决矛盾,简化过程,因此选择必须恰当。
例3.已知函数。
(1)讨论f(x)的单调性及最值;
(2)当t=2时,若函数f(x)恰有两个零点求证:
分析:(1)是导函数应用的基本题型。对于(2)证明零点满足某个性质时,实际上是需要对零点在数值上进行精确求解或估计,需要对零点进行更高要求的研究
因为f(x)恰有两个零点所以,
即化简为
设则
零点的变化与t有关,而于是需证明上式大于零,易得,故重点考虑分子,于是设函数所以h(t)在递增,因此成立。
在多个变元中寻找它们之间的关系,结合已知条件和目标要求,在不同阶段集中探讨某个主变元,各个击破。通过构造新的函数,多次求导分析,需要灵活运用函数思想、化归思想。同时也需要较强的抽象概括能力、综合分析能力和解决问题的能力。
参考文献
[1]陈余根.漫谈高中数学教科书(苏教版)新增内容中的矛盾内涵[J].中学数学,2012(07):61-62+64.
[2]孙晓俊.从对错误的反思中体悟数学思想方法[J].中学数学杂志,2010(09):10.
[3]陆海泉.从全国高考数学试题看特殊化思想方法的操作与应用[J].中学教研,2002(02):28-31.
作者简介: 薛宗华, 男, 1969年7月,汉族, 福建省仙游县,本科,中学高级教师,研究方向:中学数学教学
关键词:对立与统一;转化与化归;特殊与一般;函数方程与不等式;正难则反;主次地位
老子说“有无相生,难易相成,长短相形,高下相倾,音声相和,前后相随”;“祸兮福之所倚,福兮祸之所伏”。世界上一切事物都包含着相互对立又相互统一的两个方面,即矛盾双方共处一个共同体中。因为它们不仅有相互排斥、相互对立的斗争性,又有着相互吸引、相互联结的同一性,所以矛盾双方相互渗透、相互包含,并在一定条件下可以相互转化。数学的转化与化归思想便是巧妙地利用了矛盾的这些特性,在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段通过转化,进而使问题得到解决。有代表性的转化主要有:正难则反、主次地位、化异求同等。下面简单探析这些转化的产生因何缘起哲学思想的矛盾论。
一、正难则反:当题目的正面出现情况较为复杂或者带有“至多”、“至少”等词及否定性命题时,可先从反面求解再取反面答案的补集即可。
例1.(2017全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()
A. B. C. D.
分析:正面求解要分类讨论,比较繁。如果意识到大小对立且概率相等,除此外即是两次号码相等,而号码相等的情况比较清楚,个数为5.因为基本事件的总数是52=25,因此满足条件的事件A的个数为,于是
例2.已知集合若三个集合中至少有一个不是空集,则实数a的取值范围为
分析:“至少有一个不是空集”包含7种不同情况,而它的反面是“都是空集”,只需由不等式组得,再取补集即可。
可见事物中矛盾双方正强则反弱,正难则反简,对待这种问题避强攻弱方为上策。
二、主与次的转化:在含有多个变元的命题中,将其中一个作为主元,其它变元看作常量,从而起到减元并简化运算或改变思考角度的目的。正如矛盾论所言,主与次是对立的。在解一道题时将哪个变元视为主元,都是为了解决矛盾,简化过程,因此选择必须恰当。
例3.已知函数。
(1)讨论f(x)的单调性及最值;
(2)当t=2时,若函数f(x)恰有两个零点求证:
分析:(1)是导函数应用的基本题型。对于(2)证明零点满足某个性质时,实际上是需要对零点在数值上进行精确求解或估计,需要对零点进行更高要求的研究
因为f(x)恰有两个零点所以,
即化简为
设则
零点的变化与t有关,而于是需证明上式大于零,易得,故重点考虑分子,于是设函数所以h(t)在递增,因此成立。
在多个变元中寻找它们之间的关系,结合已知条件和目标要求,在不同阶段集中探讨某个主变元,各个击破。通过构造新的函数,多次求导分析,需要灵活运用函数思想、化归思想。同时也需要较强的抽象概括能力、综合分析能力和解决问题的能力。
参考文献
[1]陈余根.漫谈高中数学教科书(苏教版)新增内容中的矛盾内涵[J].中学数学,2012(07):61-62+64.
[2]孙晓俊.从对错误的反思中体悟数学思想方法[J].中学数学杂志,2010(09):10.
[3]陆海泉.从全国高考数学试题看特殊化思想方法的操作与应用[J].中学教研,2002(02):28-31.
作者简介: 薛宗华, 男, 1969年7月,汉族, 福建省仙游县,本科,中学高级教师,研究方向:中学数学教学