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【摘要】本文主要阐述了在离散数学教学中，教师如何引导学生从消极到积极式地学习，让学生更加主动地参与到教学活动中，并结合一些具体的教学案例进行分析。
【关键词】包含排斥原理 集合基数 整数环 离散数学教学
【基金项目】主持国家自然科学基金青年基金项目（No.11601202），金陵科技学院高层次人才科研启动项目（No.jit-b-201526）。
【中图分类号】G420 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0124-01
一、引言
离散数学作为现代数学的重要分支，是计算机科学技术发展的支撑学科，从理论和应用上对本科生的教学都变得日益重要，在上个世纪九十年代就作为计算机专业和数学专业的基础课程之一。
离散数学这门课的特点是概念和术语较多，要求学生有较强的抽象思维和逻辑推理能力，能够将理论与实践相结合。学习离散数学的目的包括可以用这门课程的理论知识去解决计算机中的实际问题，然而在实际教学过程中不难发现，很多学生认为离散数学课程枯燥难懂。
作者认为造成这种现象的本质原因在于学生的学习积极性与主动性没有被充分调动，本文就离散数学的教学方法进行深入分析和探讨，旨在为离散数学课程呈现出更好的课堂教学效果，尽量避免学生不愿学，教师不想教的恶性循环。
二、从消极到积极式引导教学
离散数学的教材有很多，但基本内容大致相同，主要包含数理逻辑、集合论、图论和代数结构四个方面的内容。
1.因材施教
离散数学在一般的本科院校中安排有48至56个理论学时的内容，针对不同的教学内容，教师在教学过程中需合理分配学时。因材施教指的是在讲授课程之前，教师首先需要确认自己面对的学生的性质，也就是说，学生来自于何专业，未来的学习或就业方向是何。在清楚这个问题之后，教师方能精准地确定离散数学课程在学生的学习目标导出中所起的作用。
大部分教师在课程之初都会向学生笼统地提到，学习离散数学能够为其他专业课程，如数据结构，提供必要的数学手段。然而有些教师可能会忽略一个问题，这样的开场白适用于很多课程，丝毫体现不出离散数学课程的特色，这样的教学目的很容易引起学生的消极学习情绪。因材施教可以帮助教师引导学生积极地参与到教学中来。
具体来说，当教师面对软件工程专业学生时，结合专业特点，教师可以在讲授图论的内容时适当地多分配理论学时，并增加实验学时。例如，通过关键路径问题的具体案例教学，学生在熟悉并解决这个案例的过程中，自然掌握了用图论的工具解决实际问题的方法，并且在建立关键路径算法时，也培养了自身的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力。
当教师面对信息安全专业学生时，应多分配理论学时用于讲授代数结构的内容。因为信息安全专业的核心课程密码学大量地用到代数结构中的基本事实。与其他内容相比，代数结构的内容往往更加抽象晦涩，在教学中教师可以结合自己的专业方向以及科研内容，帮助学生站在更高的角度看待代数结构中抽象的概念、性质和定理，而不是被动地接受或死记硬背。例如，在学这部分内容之前，学生所认识到的整数就是一个集合，集合中的元素由整数构成，但在讲授代数结构时，教师教会学生的不再局限于集合的概念，应该将重点放在整数上的运算，如加法、乘法运算，整数集合与其上的运算一起构成一个代数结构，即整数环。整数集合只是松散的沙子，而整数环是有着自身特殊结构的一座大楼。
2.从兴趣欠缺到主动参与
在讲解离散数学中每一章节的内容时，主要采取教师引导，学生主动学习，在教学方法上可以由难到易，具体来说就是虽然学生興趣已经欠缺，但完全可以再次引发学生兴趣，从消极对待到积极主动学习。
举一个具体的教学案例，在学习集合论中的包含排斥原理时，该原理可以用于解决集合的计数问题。教师在讲授时先以一个实际问题导入知识点，这个实际问题可以是，已知班上有x人喜欢篮球，y人喜欢足球，z人既喜欢篮球也喜欢足球，求既不喜欢篮球也不喜欢足球的学生人数;然后描述包含排斥原理的内容。很多学生在看到这个原理时都觉得十分抽象，学习兴趣欠缺，此时教师只需将定理进行简化，即利用文氏图帮助学生一起推导出两个集合情形下的包含排斥原理，从而进一步解决以上的实际问题。再延伸到三个集合的情形，教师可以鼓励学生自主推导出正确的计数结果，如此学生对于包含排斥原理的内容就有了比较具体的认识，激发了他们主动参与学习的积极性。
在包含排斥原理讲授结束之后，教师还可以进一步介绍无穷集合的计数问题，引出集合的基数为无穷大时，这样的无穷大也有大小之分，作为抽象的理论教学中相对趣味性的知识，还能启发学生的发散思维能力。例如，自然数集合与实数集合的基数都是无穷大，然而严格意义来说，自然数集合的基数等于阿列夫0，实数集合的基数等于阿列夫1，前者严格小于后者。
三、结论
离散数学是软件工程和信息安全相关专业的基础课程，主要培养学生建立较强的抽象思维和逻辑推理能力，掌握符号推理方法，为提高专业理论水平打下坚实的数学基础，进一步利用离散数学的理论知识解决实际问题。
本文主要分析了在离散数学教学中，教师如何引导学生从消极到积极式地学习，让学生更加主动地参与到教学活动中，并阐述了作者探究离散数学课程教学方法的心得和体会。此外，在实际的教学中，教师的教学方法应灵活多样，尽量满足和适应学生的发展需要，帮助学生在今后的学习和工作中学以致用。
参考文献：
[1]李锋，孙莉.任务驱动式方法在离散数学教学中的运用.计算机教育，2006（3）：27-29
[2]Richard Johnsonbaugh. Discrete Mathematics. Fifth Edition. Prentice Hall，2001，10
作者简介：
黄丹丹（1987.9-），女，汉族，安徽桐城人，中国科学院数学与系统科学研究院博士毕业，金陵科技学院讲师，研究方向：计算数论、信息安全与密码学。
【关键词】包含排斥原理 集合基数 整数环 离散数学教学
【基金项目】主持国家自然科学基金青年基金项目（No.11601202），金陵科技学院高层次人才科研启动项目（No.jit-b-201526）。
【中图分类号】G420 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0124-01
一、引言
离散数学作为现代数学的重要分支，是计算机科学技术发展的支撑学科，从理论和应用上对本科生的教学都变得日益重要，在上个世纪九十年代就作为计算机专业和数学专业的基础课程之一。
离散数学这门课的特点是概念和术语较多，要求学生有较强的抽象思维和逻辑推理能力，能够将理论与实践相结合。学习离散数学的目的包括可以用这门课程的理论知识去解决计算机中的实际问题，然而在实际教学过程中不难发现，很多学生认为离散数学课程枯燥难懂。
作者认为造成这种现象的本质原因在于学生的学习积极性与主动性没有被充分调动，本文就离散数学的教学方法进行深入分析和探讨，旨在为离散数学课程呈现出更好的课堂教学效果，尽量避免学生不愿学，教师不想教的恶性循环。
二、从消极到积极式引导教学
离散数学的教材有很多，但基本内容大致相同，主要包含数理逻辑、集合论、图论和代数结构四个方面的内容。
1.因材施教
离散数学在一般的本科院校中安排有48至56个理论学时的内容，针对不同的教学内容，教师在教学过程中需合理分配学时。因材施教指的是在讲授课程之前，教师首先需要确认自己面对的学生的性质，也就是说，学生来自于何专业，未来的学习或就业方向是何。在清楚这个问题之后，教师方能精准地确定离散数学课程在学生的学习目标导出中所起的作用。
大部分教师在课程之初都会向学生笼统地提到，学习离散数学能够为其他专业课程，如数据结构，提供必要的数学手段。然而有些教师可能会忽略一个问题，这样的开场白适用于很多课程，丝毫体现不出离散数学课程的特色，这样的教学目的很容易引起学生的消极学习情绪。因材施教可以帮助教师引导学生积极地参与到教学中来。
具体来说，当教师面对软件工程专业学生时，结合专业特点，教师可以在讲授图论的内容时适当地多分配理论学时，并增加实验学时。例如，通过关键路径问题的具体案例教学，学生在熟悉并解决这个案例的过程中，自然掌握了用图论的工具解决实际问题的方法，并且在建立关键路径算法时，也培养了自身的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力。
当教师面对信息安全专业学生时，应多分配理论学时用于讲授代数结构的内容。因为信息安全专业的核心课程密码学大量地用到代数结构中的基本事实。与其他内容相比，代数结构的内容往往更加抽象晦涩，在教学中教师可以结合自己的专业方向以及科研内容，帮助学生站在更高的角度看待代数结构中抽象的概念、性质和定理，而不是被动地接受或死记硬背。例如，在学这部分内容之前，学生所认识到的整数就是一个集合，集合中的元素由整数构成，但在讲授代数结构时，教师教会学生的不再局限于集合的概念，应该将重点放在整数上的运算，如加法、乘法运算，整数集合与其上的运算一起构成一个代数结构，即整数环。整数集合只是松散的沙子，而整数环是有着自身特殊结构的一座大楼。
2.从兴趣欠缺到主动参与
在讲解离散数学中每一章节的内容时，主要采取教师引导，学生主动学习，在教学方法上可以由难到易，具体来说就是虽然学生興趣已经欠缺，但完全可以再次引发学生兴趣，从消极对待到积极主动学习。
举一个具体的教学案例，在学习集合论中的包含排斥原理时，该原理可以用于解决集合的计数问题。教师在讲授时先以一个实际问题导入知识点，这个实际问题可以是，已知班上有x人喜欢篮球，y人喜欢足球，z人既喜欢篮球也喜欢足球，求既不喜欢篮球也不喜欢足球的学生人数;然后描述包含排斥原理的内容。很多学生在看到这个原理时都觉得十分抽象，学习兴趣欠缺，此时教师只需将定理进行简化，即利用文氏图帮助学生一起推导出两个集合情形下的包含排斥原理，从而进一步解决以上的实际问题。再延伸到三个集合的情形，教师可以鼓励学生自主推导出正确的计数结果，如此学生对于包含排斥原理的内容就有了比较具体的认识，激发了他们主动参与学习的积极性。
在包含排斥原理讲授结束之后，教师还可以进一步介绍无穷集合的计数问题，引出集合的基数为无穷大时，这样的无穷大也有大小之分，作为抽象的理论教学中相对趣味性的知识，还能启发学生的发散思维能力。例如，自然数集合与实数集合的基数都是无穷大，然而严格意义来说，自然数集合的基数等于阿列夫0，实数集合的基数等于阿列夫1，前者严格小于后者。
三、结论
离散数学是软件工程和信息安全相关专业的基础课程，主要培养学生建立较强的抽象思维和逻辑推理能力，掌握符号推理方法，为提高专业理论水平打下坚实的数学基础，进一步利用离散数学的理论知识解决实际问题。
本文主要分析了在离散数学教学中，教师如何引导学生从消极到积极式地学习，让学生更加主动地参与到教学活动中，并阐述了作者探究离散数学课程教学方法的心得和体会。此外，在实际的教学中，教师的教学方法应灵活多样，尽量满足和适应学生的发展需要，帮助学生在今后的学习和工作中学以致用。
参考文献：
[1]李锋，孙莉.任务驱动式方法在离散数学教学中的运用.计算机教育，2006（3）：27-29
[2]Richard Johnsonbaugh. Discrete Mathematics. Fifth Edition. Prentice Hall，2001，10
作者简介：
黄丹丹（1987.9-），女，汉族，安徽桐城人，中国科学院数学与系统科学研究院博士毕业，金陵科技学院讲师，研究方向：计算数论、信息安全与密码学。