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摘 要：从平常的数学教学来看，学生学习中往往会出现两种错误倾向，其一是概念认识和理解模糊，导致出现错误概念；其二是学生死记硬背，不去真正透彻理解知识。久而久之，这会严重影响学生的数学学习。只有正确解决了这些问题，学生才能正确、合理地进行运算、论证和空间想象，把握数学的知识系统。
关键词：初中数学；错误资源；再利用
“错误”是美丽的，因为错误是学生最朴实的思想最真实的暴露。平常教学中，教师很少从自己的角度去找学生在学习中出错的原因，而是批评学生“学习不认真”，“上课不听讲”等。作为教师，应当对数学实践中学生出现的错误，在观念上有一个根本的转变。学生出现错误，教师一定要平和、理智的看待，充分利用“错误”这一再生资源，让“错误”变得“美丽神奇”。
一、课堂——从“错误”走向“正确”
早有人说过：“课堂就是学生出错的地方！”如果课堂里面没有学生出错，那还要课堂干什么·问题是在学生出现了错误后怎样及时地能使学生认识错误、改正错误并不再犯同样的错误。当教师在遇到学生出现错误时，要冷静分析错误的原因，宽容对待学生的错误；要针对不同的原因，帮助学生纠正错误，带领学生从“错误”走向“正确”。
1.荒廖结论，引以笑柄，让错误“原形毕露”
在教学中，经常会发现有许多学生在解题时出现一些致命的错误，而这些错误如果经过教师的继续推导，可能会出现一些令人十分可笑的结果。这种让错误“原形毕露”的方法远比直接书写正确答案的效果要好得多，引发学生自己弄明白产生错误的根源，以后就再也不会产生类似的错误了。
例如，在数学的计算中，有的学生就是对给定的单位不重视，以至由于单位不统一而造成计算错误。为引起学生对运算单位的重视，笔者就给出“1元人民币=1分”的证明：
1元=100分=10分×10分=1角×1角=0.1元×0.1元=0.01元=1分。
每证一步就问学生一句“对不对！”在学生的一片“对！”声中完成了证明，最后学生一下就傻了眼，没了声响：“这怎么可能呢·1元=1分。怎会出现那么荒谬的结论呢·
再问：“大家不是说对的吗·现在怎么没了声响了呢·那么错误出在哪呢·”
学生陷入了沉思。最后恍然大悟：原来是“单位”的问题，学生哄堂大笑。
2.小组纠错，自我否定，让错误“未生先死”
构建主义认为，学生的错误不可能单独依靠正确的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。就是说数学知识不应是教师、教材直接给与学生的，而是在学生充分经历数学活动过程中动态生成的。
例如，对于■中的a≥0，学生在具体的应用中常常出错。为了解决这个问题，让学生化简-a■，结果有许多答案：-■、■、-■和■。让学生自己仔细检查结果对否，再让各个学习小组讨论那些错误答案产生的原因。最后学生都知道了“■中的a≥0”的具体应用。像这样，通过集体的力量进行自我否定，形成正确的结果，使原先因概念运用不熟悉而产生的错误不再扩散。
3.品错赏错，体验成功，让错误“美丽动人”
《新课标》指出：“让学生在数学学习活动中获得体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。”学生在数学实践时常常会出现一些意想不到的错误，如抄错数字、符号，混淆了概念，弄错了运算顺序等，很多教师为学生的错误而烦恼、困惑，甚至怨声载道。
品“错”是学生对自己错误的一种反思，同时也是教师对自己教学的一种反思。从心理学的角度来说，反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在品错赏错的过程中，放松思维，体验成功。出现错题，指出错误原因并改正，一般对错题的利用往往到此为止，但笔者并没有就此结束，而是安排学生来欣赏这些错误中的亮点，让学生在纠错、改错、评错、赏错的过程中感受到学习的成功和快乐。
二、课后-----从“反思”走向“完善”
1.记数学日记，反思理错，让错误“与日俱减”
数学日记为学生创设了一个用数学语言表达数学认知过程、思想方法和情感态度价值观的平台；数学日记有利于学生放开思绪建构自己所理解的数学，有利于不同学生学习不同数学，以及不同的学生在数学上获得不同的发展。一位学生在数学日记中写到：
“今天老师叫我去黑板上做题目，我对计算题向来很讨厌的，因为一做就错，总是不可避免的，这叫我很是担忧。不过通过这一次做题，我已经对计算题有点喜欢了。
我到黑板上做的题目是：已知关于x的方程（1-2K）x2-2■x-1＝0有两个不相等的实数根，K为实数，求K的取值范围。
我的解是：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，所以我就求得K＜0。
但是，老师要我自己再检查检查，说我的解不正确。当时我虽然反复检查，但错在哪就是不知道。我很自卑，因为人家都能轻松做对。数学老师并没有批评我的错，而是对我的错误暂且不说，让其他同学找找我的错，他叫班级里成绩和我不相上下的同学回答，这些人也居然找不出我错在哪里。这让我的自尊心得到一点安慰。老师先对我的解题格式和解题思路大加赞赏，并指出其他同学可能不一定能做对。我顿时感到受宠若惊，没想到我做错了，老师也表扬我。我忙抬起头，正视自己的错误。然后老师从根式的意义作解释，必须K+1≥0，这我才知道答案是-1≤K＜0……”
学生通过记错误日记，不断反思、总结，错误果然少了。
2.小组协作，互助纠错，让错误“引以为戒”
如果说，数学日记是情感的抒发、调整心理的的港湾和平台的话，那么“纠错集”便是实实在在的解题的反思、错误的分析、方法的积累。建立纠错协作小组。依据班额多少分成若干个小组，无论是课堂中的练习，还是作业或测试成绩的评定都以小组为单位。
（1）建立纠错小组必须符合以下原则：均衡原则、自愿原则和动态原则。均衡原则就是各个纠错协作小组内的学习力量、性别比要保持均等。这样的均衡配的好处首先在于每个小组都能活动起来，其次是有利于学生之间互相帮助和深入交往，并据此获得积极的情感体验。 自愿原则就是应充分考虑学生的交友特点。学生参加那个小组，应尽量参考并尊重学生自己的意愿，在资源均衡的基础上作出适当调整，应当注意：彼此暂时排斥的学生不要编在同一小组，以免矛盾激化，影响小组活动。学困生宜编入对他持中间态度的小组，当然也可编入对他欢迎的小组，应该视具体情况作适当的调整。
动态原则就是小组确定后，不要一成不变，应当在一学期内变动两次，适应已经变化的情况，保证小组活动的展开。
（2）选择纠错小组组长。小组长是一个小组的核心，所以首先小组长应当是本学科的学习骨干和积极分子，在知识和能力方面具有较好的基础。其次，具有初步的组织能力。再次，愿意对学习有困难的同学提供帮助。
选择小组长时应避免采用教师指定的方式，应当真正尊重学生的意愿，采用民主选举的方式。在选举之前，教师可以公布挑选组长的标准。由于有自愿建组做前提，公举组长已经有了良好的基础，选出的组长较易成为实际活动的核心。
（3）备有纠错本。每位学生和老师都必须准备一本纠错本，其格式大致如下：
■
作业本中的错题和测试卷试题中的错题都记录在纠错本中，用不同颜色的笔标注不同的错误。一单元结束，要有小结，对于错误的地方、知识点和错的原因及最易出错的内容要写明。
（4）建立纠错协作制度。对小组长提出如下要求：一是每天检查同组人员的纠错本，根据同组人员的态度和改正情况加以评分。二是若发现有学生不会自己改正的，派组员帮助改正。学习最有困难的由组长自己负责帮助，学习次有困难的有素质次优的学生负责，中等和良好的交互负责。若除组长外其他几个均不会，则有组长负责整组讨论，组长当小老师，并及时向老师汇报情况；若组长也不会，则组长或全组成员一起请教老师，千方百计搞懂错题。三是一单元结束，组长要与其他成员一起整理本组成员中最易出错的题和知识点，一题中有几种不同错法，以及本组成员的动向、态度，汇总交给教师；四是一单元结束各组相互检查纠错本的情况。
三、教师——从“纠错”走向“成熟”
1.认真收集、整理归纳学生的错题
教师要对各个纠错学习小组的汇报情况做好充分统计。统计各个题目错误人数，弄清错误原因何在，是属于那类错误，对这些错误情况做到心中有数，在以后的教学中就能做到有的放矢，重点突出，针对性强。
2.让学生自己去探究、改正错误
面对错误，教师要放心地让学生自己弄清楚错误的原因，清楚自己的薄弱环节，弄清改正错误问题的方法，怎样思考可以少走弯路。在教师的指导下让学生自己总结经验教训，注重解题思维的内在活动比老师直接给出正确的解答效果要好得多。
3.通过变式训练提高纠错的巩固率
还要推广适当变式训练来提高学生巩固率。所谓变式是指变换问题的条件或结论，改变问题的形式或相应的图式，但问题的本质属性并未改变。以课本为本，以适度为原则，从实际出发，通过改变问题的提法，变换条件或结论，变换思考问题的角度等，促进学生由会一种解法到会多种解法。
4.重视从学生的心理上解决问题
教师还应做到及时调整教学的进度，改进学习方法，进行个别辅导，给于适当的评价和鼓励。在辅导时，教师不能露出任何厌恶的语言和行为。要重视师生之间的情感交流，要激发他们的自信心，随时作出调整：
①控制进程，教师要有意识调节小组活动时间。速度和工作形式，以及变式检测的深度。
②指导互助，督促优等生帮助组内学困生，督促学困生在独立思考的基础上，主动争取他人的帮助并努力解决疑问，不能让学困生有依赖思想。
数学因“错误”而美丽，数学因“错误”而神奇，教师们要携手新课改，共同钻研。
参考文献：
[1]牛广化.培养学生数学交流能力的有效途径[J].泰山学院学报,2004,(03).
[2]陈希旭.数学课堂教学如何培养学生的语言交际能力[J].教育实践与研究（小学版）,2000,(11).
[3]薛生义.改革数学课堂教学 培养学生探索能力[J].青海教育,2003,(03).
关键词：初中数学；错误资源；再利用
“错误”是美丽的，因为错误是学生最朴实的思想最真实的暴露。平常教学中，教师很少从自己的角度去找学生在学习中出错的原因，而是批评学生“学习不认真”，“上课不听讲”等。作为教师，应当对数学实践中学生出现的错误，在观念上有一个根本的转变。学生出现错误，教师一定要平和、理智的看待，充分利用“错误”这一再生资源，让“错误”变得“美丽神奇”。
一、课堂——从“错误”走向“正确”
早有人说过：“课堂就是学生出错的地方！”如果课堂里面没有学生出错，那还要课堂干什么·问题是在学生出现了错误后怎样及时地能使学生认识错误、改正错误并不再犯同样的错误。当教师在遇到学生出现错误时，要冷静分析错误的原因，宽容对待学生的错误；要针对不同的原因，帮助学生纠正错误，带领学生从“错误”走向“正确”。
1.荒廖结论，引以笑柄，让错误“原形毕露”
在教学中，经常会发现有许多学生在解题时出现一些致命的错误，而这些错误如果经过教师的继续推导，可能会出现一些令人十分可笑的结果。这种让错误“原形毕露”的方法远比直接书写正确答案的效果要好得多，引发学生自己弄明白产生错误的根源，以后就再也不会产生类似的错误了。
例如，在数学的计算中，有的学生就是对给定的单位不重视，以至由于单位不统一而造成计算错误。为引起学生对运算单位的重视，笔者就给出“1元人民币=1分”的证明：
1元=100分=10分×10分=1角×1角=0.1元×0.1元=0.01元=1分。
每证一步就问学生一句“对不对！”在学生的一片“对！”声中完成了证明，最后学生一下就傻了眼，没了声响：“这怎么可能呢·1元=1分。怎会出现那么荒谬的结论呢·
再问：“大家不是说对的吗·现在怎么没了声响了呢·那么错误出在哪呢·”
学生陷入了沉思。最后恍然大悟：原来是“单位”的问题，学生哄堂大笑。
2.小组纠错，自我否定，让错误“未生先死”
构建主义认为，学生的错误不可能单独依靠正确的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。就是说数学知识不应是教师、教材直接给与学生的，而是在学生充分经历数学活动过程中动态生成的。
例如，对于■中的a≥0，学生在具体的应用中常常出错。为了解决这个问题，让学生化简-a■，结果有许多答案：-■、■、-■和■。让学生自己仔细检查结果对否，再让各个学习小组讨论那些错误答案产生的原因。最后学生都知道了“■中的a≥0”的具体应用。像这样，通过集体的力量进行自我否定，形成正确的结果，使原先因概念运用不熟悉而产生的错误不再扩散。
3.品错赏错，体验成功，让错误“美丽动人”
《新课标》指出：“让学生在数学学习活动中获得体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。”学生在数学实践时常常会出现一些意想不到的错误，如抄错数字、符号，混淆了概念，弄错了运算顺序等，很多教师为学生的错误而烦恼、困惑，甚至怨声载道。
品“错”是学生对自己错误的一种反思，同时也是教师对自己教学的一种反思。从心理学的角度来说，反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在品错赏错的过程中，放松思维，体验成功。出现错题，指出错误原因并改正，一般对错题的利用往往到此为止，但笔者并没有就此结束，而是安排学生来欣赏这些错误中的亮点，让学生在纠错、改错、评错、赏错的过程中感受到学习的成功和快乐。
二、课后-----从“反思”走向“完善”
1.记数学日记，反思理错，让错误“与日俱减”
数学日记为学生创设了一个用数学语言表达数学认知过程、思想方法和情感态度价值观的平台；数学日记有利于学生放开思绪建构自己所理解的数学，有利于不同学生学习不同数学，以及不同的学生在数学上获得不同的发展。一位学生在数学日记中写到：
“今天老师叫我去黑板上做题目，我对计算题向来很讨厌的，因为一做就错，总是不可避免的，这叫我很是担忧。不过通过这一次做题，我已经对计算题有点喜欢了。
我到黑板上做的题目是：已知关于x的方程（1-2K）x2-2■x-1＝0有两个不相等的实数根，K为实数，求K的取值范围。
我的解是：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，所以我就求得K＜0。
但是，老师要我自己再检查检查，说我的解不正确。当时我虽然反复检查，但错在哪就是不知道。我很自卑，因为人家都能轻松做对。数学老师并没有批评我的错，而是对我的错误暂且不说，让其他同学找找我的错，他叫班级里成绩和我不相上下的同学回答，这些人也居然找不出我错在哪里。这让我的自尊心得到一点安慰。老师先对我的解题格式和解题思路大加赞赏，并指出其他同学可能不一定能做对。我顿时感到受宠若惊，没想到我做错了，老师也表扬我。我忙抬起头，正视自己的错误。然后老师从根式的意义作解释，必须K+1≥0，这我才知道答案是-1≤K＜0……”
学生通过记错误日记，不断反思、总结，错误果然少了。
2.小组协作，互助纠错，让错误“引以为戒”
如果说，数学日记是情感的抒发、调整心理的的港湾和平台的话，那么“纠错集”便是实实在在的解题的反思、错误的分析、方法的积累。建立纠错协作小组。依据班额多少分成若干个小组，无论是课堂中的练习，还是作业或测试成绩的评定都以小组为单位。
（1）建立纠错小组必须符合以下原则：均衡原则、自愿原则和动态原则。均衡原则就是各个纠错协作小组内的学习力量、性别比要保持均等。这样的均衡配的好处首先在于每个小组都能活动起来，其次是有利于学生之间互相帮助和深入交往，并据此获得积极的情感体验。 自愿原则就是应充分考虑学生的交友特点。学生参加那个小组，应尽量参考并尊重学生自己的意愿，在资源均衡的基础上作出适当调整，应当注意：彼此暂时排斥的学生不要编在同一小组，以免矛盾激化，影响小组活动。学困生宜编入对他持中间态度的小组，当然也可编入对他欢迎的小组，应该视具体情况作适当的调整。
动态原则就是小组确定后，不要一成不变，应当在一学期内变动两次，适应已经变化的情况，保证小组活动的展开。
（2）选择纠错小组组长。小组长是一个小组的核心，所以首先小组长应当是本学科的学习骨干和积极分子，在知识和能力方面具有较好的基础。其次，具有初步的组织能力。再次，愿意对学习有困难的同学提供帮助。
选择小组长时应避免采用教师指定的方式，应当真正尊重学生的意愿，采用民主选举的方式。在选举之前，教师可以公布挑选组长的标准。由于有自愿建组做前提，公举组长已经有了良好的基础，选出的组长较易成为实际活动的核心。
（3）备有纠错本。每位学生和老师都必须准备一本纠错本，其格式大致如下：
■
作业本中的错题和测试卷试题中的错题都记录在纠错本中，用不同颜色的笔标注不同的错误。一单元结束，要有小结，对于错误的地方、知识点和错的原因及最易出错的内容要写明。
（4）建立纠错协作制度。对小组长提出如下要求：一是每天检查同组人员的纠错本，根据同组人员的态度和改正情况加以评分。二是若发现有学生不会自己改正的，派组员帮助改正。学习最有困难的由组长自己负责帮助，学习次有困难的有素质次优的学生负责，中等和良好的交互负责。若除组长外其他几个均不会，则有组长负责整组讨论，组长当小老师，并及时向老师汇报情况；若组长也不会，则组长或全组成员一起请教老师，千方百计搞懂错题。三是一单元结束，组长要与其他成员一起整理本组成员中最易出错的题和知识点，一题中有几种不同错法，以及本组成员的动向、态度，汇总交给教师；四是一单元结束各组相互检查纠错本的情况。
三、教师——从“纠错”走向“成熟”
1.认真收集、整理归纳学生的错题
教师要对各个纠错学习小组的汇报情况做好充分统计。统计各个题目错误人数，弄清错误原因何在，是属于那类错误，对这些错误情况做到心中有数，在以后的教学中就能做到有的放矢，重点突出，针对性强。
2.让学生自己去探究、改正错误
面对错误，教师要放心地让学生自己弄清楚错误的原因，清楚自己的薄弱环节，弄清改正错误问题的方法，怎样思考可以少走弯路。在教师的指导下让学生自己总结经验教训，注重解题思维的内在活动比老师直接给出正确的解答效果要好得多。
3.通过变式训练提高纠错的巩固率
还要推广适当变式训练来提高学生巩固率。所谓变式是指变换问题的条件或结论，改变问题的形式或相应的图式，但问题的本质属性并未改变。以课本为本，以适度为原则，从实际出发，通过改变问题的提法，变换条件或结论，变换思考问题的角度等，促进学生由会一种解法到会多种解法。
4.重视从学生的心理上解决问题
教师还应做到及时调整教学的进度，改进学习方法，进行个别辅导，给于适当的评价和鼓励。在辅导时，教师不能露出任何厌恶的语言和行为。要重视师生之间的情感交流，要激发他们的自信心，随时作出调整：
①控制进程，教师要有意识调节小组活动时间。速度和工作形式，以及变式检测的深度。
②指导互助，督促优等生帮助组内学困生，督促学困生在独立思考的基础上，主动争取他人的帮助并努力解决疑问，不能让学困生有依赖思想。
数学因“错误”而美丽，数学因“错误”而神奇，教师们要携手新课改，共同钻研。
参考文献：
[1]牛广化.培养学生数学交流能力的有效途径[J].泰山学院学报,2004,(03).
[2]陈希旭.数学课堂教学如何培养学生的语言交际能力[J].教育实践与研究（小学版）,2000,(11).
[3]薛生义.改革数学课堂教学 培养学生探索能力[J].青海教育,2003,(03).