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积累并分析教学案例，是了解新理念的重要途径之一。基于“独立备课——课堂教学——课后交流”流程的一课一反思式的课例研究活动，这次是由一位还有两年就要退休的老教师执教，课堂上只有一块黑板、一支粉笔、一些教具、一些学具，没用多媒体设备，却把数学活动目标体现得淋漓尽致。
一、交流中引发思考
课后，我与这位老教师进行反思性交谈，有两句话引发了我的思考。
我问：你怎么会想到这样设计的？
吕老师：多年的经验告诉我，这样的教学学生记忆深刻，容易理解，容易掌握。
我问：你想过这样教的好处了吗？
吕老师：没想过，我知道把公式直接给学生，学生也会用，也能记得住。
细细想来，老教师们经历了几轮的课改，他们一直追求朴素而实效的教学，对教学有自己独特的理解，对教学问题的解决有自己的一套经验。他们也经常思考和改进自己的教学，只是没能把实践经验上升到书面的理论成果而已。老教师拥有传统的教学思想和丰富的教学实践经验，而新教师拥有全新的教学理念，将两者有效地结合起来开展课例研究，会让理论更接近实践，实践也更容易上升到理论。
二、回忆中整理课堂
“长方体体积”是北师大五年级下册教材内容，分两个课时完成，第一课时主要是长方体体积公式的推导。
教师复习了长方形面积和长方体体积概念后，进行如下教学。
1.观察：比较长方形面积大小
师（出示教具）：看一看，这两张纸的长怎样？宽怎样？它们的面积怎样？
生：长一样，宽一样，面积也一样。（板书）
师（出示教具）：看一看，这两张纸什么一样，什么不一样，谁的面积大？
生：宽一样，长不一样，长越长，面积越大。（板书）
师（出示教具）：看一看，这两张纸什么一样，什么不一样，谁的面积大？
生：长一样，宽不一样，宽越宽，面积越大。（板书）
2.猜想：长方体体积大小与什么有关
师：长方形面积与长、宽有关，猜想一下，长方体体积大小与什么有关呢？
生：长方体体积与长、宽、高有关。
师（出示两本书）：这两本书，什么一样，什么不一样，谁的体积大？
生：长和高一样，宽不一样，宽大的体积大。
师：也就是说长和高一样，宽越宽，体积越大。（板书）
师（出示两个盒子）：再看看，这两个盒子，什么一样，什么不一样，谁的体积大？
生：宽和高一样，长不一样，长大的体积大。
师：也就是说宽和高一样，长越长，体积越大。（板书）
师（盒子竖起来）：看看，这两个盒子，什么一样，什么不一样，谁的体积大？
生：长和宽一样，高越高，长方体体积越大。
师：也就是说宽和长一样，高越高，体积越大。（板书）
师：通过观察发现长方体的体积和什么有关？
生：长方体的体积和长、宽、高有关。
3.探索：长方体体积公式
师：那么长方体体积怎么算呢？请同学们拿出小正方体，搭一个长方体。两人一组，一人搭，一人记录。
学生两人一组搭长方体并记录，填写表格。
师：你能发现长方体体积的秘密吗？
生1：我发现长方体的个数是长×宽×高。
生2：我发现长方体的体积和长、宽、高有关。
生3：我发现长方体的体积等于长×宽×高。
师：是不是我们大家所搭的长方体体积都是长×宽×高呢？
学生纷纷表示自己搭的都符合这个体积公式。教师接着进行用字母表示公式的教学。
4. 推导：正方体体积公式
师：想想，正方体体积公式会怎样呢？
生：正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师：动手做一个大正方体，看看是不是这样。
学生操作后，进行用字母表示公式的教学。
5.练习：知识应用
师（小黑板出示长方体图）：请看图，你能计算出体积吗？
师：我现在给这个底面涂上红色，你会求这个底面积吗？
生：3×5=15（平方米）。
师：我现在把这个底面的长和宽擦掉，告诉你这个底面的面积，你会算体积吗？
生：15×6=90（立方米）。
师：想一想，长方体的体积还可以怎么表示？
生：长方体的体积=底面积×高。
6.实践：测量与计算活动
师：请同学们拿出准备好的长方体，量一量，算一算，看看它的体积是多少？
学生操作计算，之后教师进行取样讲解。（过程略）
通过整理让我深深地感到：原来，“数学活动经验”目标我们一直在实践着。
三、思考中解读课堂
读到这里，您是否会觉得这很平常，因为您平时也这样教的，但是您能用新课程有关理念对上述案例进行解读吗？下面是我对以上这堂课的解读。（每一个解读与实录中的每一活动相对应）
解读1：这个面积比较需要安排吗？
我认为需要，因为这不仅是让学生进一步理解面积和体积的需要，而且为下面的体积比较做好了一个铺垫。这个比较需要学生操作吗？我觉得不需要学生操作，因为这个以前操作过了，教师的操作同样能激活学生再生的经验，学生在观察直观演示中发现知识，获得感觉，形成经验。
解读2：教师让学生根据得出的结论，猜想长方体的体积与什么有关。
这样做有利于学生的顺利猜想，因为学生在看教师操作的过程中激活了思维，在观察中发现了规律，并证实自己的猜想是正确的，经历了“类比猜想”的数学思想过程。活动的思维经验用板书的形式记录了下来，也提高了活动的有效性。 解读3：这里是教材情境图的课堂呈现。
此处活动是基于前面的猜测开展的，教师利用学具放手让学生操作，这个活动既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与。接下来对数据进行分析，学生经历了“验证说明”、“化归思想”的过程，在这个过程中学生获取的是思维操作经验。
解读4：给学生思维提升的机会。
这里先让学生通过合情推理得到正方体的体积计算公式，在这个过程中学生经历了一次“类比”的思考体验。最后让学生动手搭一个大正方体，在操作中进行了简单的演绎推理证明了结论，这是操作的思考。这种抽象思维活动的经验积累也属于基本活动经验的范畴，而且是更高层次的理性的数学活动经验。
解读5：数学活动应该包括做练习。
本课中一道简单的练习题目的是让学生初步感知数学的应用，在积累活动经验的同时提高了学生学习的自信心，提高了学生解决问题的能力。后面的变式练习非常巧妙，让学生在应用中得出另一个公式，这个过程实际上是计算演绎推理的过程。
解读6：这一环节关注了应用意识的培养。
让学生进行测量操作，学会记录信息，学会整理信息，并运用所学知识进行计算，从而完成了测量长方体与计算长方体体积的实际问题。这种实践活动经验可以说是对前面活动进行的一次过程性与结果性的评价。
当然，本课也有很多值得探讨的问题，如：需不需要实际操作？活动的成本有多大？每一次的活动能否如我们所愿给学生留下很好的活动经验？对每一位学生是否真正参与了数学活动的全过程关注有多少？这些都是教师帮助学生积累活动经验时应该全面考虑的问题。
四、寻找中领悟理念
实践需要理念的指导。于是，我试着从2011版数学课程标准中去寻找有关基本活动经验的要求，以提高自己对新课程理论的认识。
总目标中的第一条：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
内容标准在关于课程内容的设置中指出：“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
教学建议中，第4点是感悟数学思想，积累数学活动经验。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。
学段目标中：第二学段，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。
五、反思中提升理论
理论需要实践的支撑，我试着从本案例中找到数学基本活动经验的“血”和“肉”，来提升自己对新课程理念的认识。
在积累数学活动经验时，要让学生经历活动过程、思考过程以及情感体验过程。案例中有三次学生的活动，长方体公式推导和正方体公式证明都是动手操作活动，正方体公式的推导是操作活动，学生在“活动情境”和“问题情境”中感受快乐，在有趣的活动中体会快乐，在接受数学思维挑战、探索成功中体验快乐。
数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，经验积累就是在活动中想出来的和悟出来的，而不完全是教师教会的。本案操作前后均有一个问题来引导学生反思，活动前问题是让学生带着问题操作，活动后的问题是对所经历的活动进行回顾、反思，从而将数学知识内化为学生自己能够理解的合乎逻辑的、抽象的数学经验。
数学活动经验需经历五个阶段：教师的演示操作是第一“原初经验”阶段；学生观察得出长方体体积与长、宽、高有关是第二“再生经验”阶段；学生搭长方体的行为是第三“再认经验”阶段；学生将操作记录的数据进行分析、推理，得出结论是第四“概括性经验”阶段；后面的练习和实物测量及体积计算是第五“概括性经验图式”阶段。
数学活动经验，并非总是学生亲历所得。数学活动包括数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动，以及关于数学的交流活动，还包括“模式直观”“解题经历”“数学想象力”“数学美学欣赏”等。本案例就是学生参与长方体体积公式的探索活动，是在具体的“问题情境”中“做”数学的活动。
数学活动经验，“替代性经验”与“直接性经验”同样重要。由于教学时间的限制，开始以教师演示为主，为学生提供直观可视化的材料，学生在观察、思考中获得替代性经验。后面正方体体积的推导以及底面积乘以高的长方体体积公式推导是进一步的思考成果。学生的两个动手操作、习题练习以及实践活动都是直接性经验。
学生经历或参与了数学活动，并不一定就能获得充足的数学活动经验。学生原有经验、个体感觉、感悟水平各不相同，获得的数学活动经验必然也不同，有的比较清晰，有的则比较模糊，有的比较丰富，有的则比较单薄。在从某项活动转场到另一活动时，学生如果只经历前一个活动的某些片段，也就不能获得较为充分的数学活动经验。
只有积累“案例”才会对新课程理念有更多的感性认识，要用扬弃的眼光来聚焦新课程，植根传统又突破定式，在对教学实践的辩证解读中实现自我提升。
（责编 金 铃）
一、交流中引发思考
课后，我与这位老教师进行反思性交谈，有两句话引发了我的思考。
我问：你怎么会想到这样设计的？
吕老师：多年的经验告诉我，这样的教学学生记忆深刻，容易理解，容易掌握。
我问：你想过这样教的好处了吗？
吕老师：没想过，我知道把公式直接给学生，学生也会用，也能记得住。
细细想来，老教师们经历了几轮的课改，他们一直追求朴素而实效的教学，对教学有自己独特的理解，对教学问题的解决有自己的一套经验。他们也经常思考和改进自己的教学，只是没能把实践经验上升到书面的理论成果而已。老教师拥有传统的教学思想和丰富的教学实践经验，而新教师拥有全新的教学理念，将两者有效地结合起来开展课例研究，会让理论更接近实践，实践也更容易上升到理论。
二、回忆中整理课堂
“长方体体积”是北师大五年级下册教材内容，分两个课时完成，第一课时主要是长方体体积公式的推导。
教师复习了长方形面积和长方体体积概念后，进行如下教学。
1.观察：比较长方形面积大小
师（出示教具）：看一看，这两张纸的长怎样？宽怎样？它们的面积怎样？
生：长一样，宽一样，面积也一样。（板书）
师（出示教具）：看一看，这两张纸什么一样，什么不一样，谁的面积大？
生：宽一样，长不一样，长越长，面积越大。（板书）
师（出示教具）：看一看，这两张纸什么一样，什么不一样，谁的面积大？
生：长一样，宽不一样，宽越宽，面积越大。（板书）
2.猜想：长方体体积大小与什么有关
师：长方形面积与长、宽有关，猜想一下，长方体体积大小与什么有关呢？
生：长方体体积与长、宽、高有关。
师（出示两本书）：这两本书，什么一样，什么不一样，谁的体积大？
生：长和高一样，宽不一样，宽大的体积大。
师：也就是说长和高一样，宽越宽，体积越大。（板书）
师（出示两个盒子）：再看看，这两个盒子，什么一样，什么不一样，谁的体积大？
生：宽和高一样，长不一样，长大的体积大。
师：也就是说宽和高一样，长越长，体积越大。（板书）
师（盒子竖起来）：看看，这两个盒子，什么一样，什么不一样，谁的体积大？
生：长和宽一样，高越高，长方体体积越大。
师：也就是说宽和长一样，高越高，体积越大。（板书）
师：通过观察发现长方体的体积和什么有关？
生：长方体的体积和长、宽、高有关。
3.探索：长方体体积公式
师：那么长方体体积怎么算呢？请同学们拿出小正方体，搭一个长方体。两人一组，一人搭，一人记录。
学生两人一组搭长方体并记录，填写表格。
师：你能发现长方体体积的秘密吗？
生1：我发现长方体的个数是长×宽×高。
生2：我发现长方体的体积和长、宽、高有关。
生3：我发现长方体的体积等于长×宽×高。
师：是不是我们大家所搭的长方体体积都是长×宽×高呢？
学生纷纷表示自己搭的都符合这个体积公式。教师接着进行用字母表示公式的教学。
4. 推导：正方体体积公式
师：想想，正方体体积公式会怎样呢？
生：正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师：动手做一个大正方体，看看是不是这样。
学生操作后，进行用字母表示公式的教学。
5.练习：知识应用
师（小黑板出示长方体图）：请看图，你能计算出体积吗？
师：我现在给这个底面涂上红色，你会求这个底面积吗？
生：3×5=15（平方米）。
师：我现在把这个底面的长和宽擦掉，告诉你这个底面的面积，你会算体积吗？
生：15×6=90（立方米）。
师：想一想，长方体的体积还可以怎么表示？
生：长方体的体积=底面积×高。
6.实践：测量与计算活动
师：请同学们拿出准备好的长方体，量一量，算一算，看看它的体积是多少？
学生操作计算，之后教师进行取样讲解。（过程略）
通过整理让我深深地感到：原来，“数学活动经验”目标我们一直在实践着。
三、思考中解读课堂
读到这里，您是否会觉得这很平常，因为您平时也这样教的，但是您能用新课程有关理念对上述案例进行解读吗？下面是我对以上这堂课的解读。（每一个解读与实录中的每一活动相对应）
解读1：这个面积比较需要安排吗？
我认为需要，因为这不仅是让学生进一步理解面积和体积的需要，而且为下面的体积比较做好了一个铺垫。这个比较需要学生操作吗？我觉得不需要学生操作，因为这个以前操作过了，教师的操作同样能激活学生再生的经验，学生在观察直观演示中发现知识，获得感觉，形成经验。
解读2：教师让学生根据得出的结论，猜想长方体的体积与什么有关。
这样做有利于学生的顺利猜想，因为学生在看教师操作的过程中激活了思维，在观察中发现了规律，并证实自己的猜想是正确的，经历了“类比猜想”的数学思想过程。活动的思维经验用板书的形式记录了下来，也提高了活动的有效性。 解读3：这里是教材情境图的课堂呈现。
此处活动是基于前面的猜测开展的，教师利用学具放手让学生操作，这个活动既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与。接下来对数据进行分析，学生经历了“验证说明”、“化归思想”的过程，在这个过程中学生获取的是思维操作经验。
解读4：给学生思维提升的机会。
这里先让学生通过合情推理得到正方体的体积计算公式，在这个过程中学生经历了一次“类比”的思考体验。最后让学生动手搭一个大正方体，在操作中进行了简单的演绎推理证明了结论，这是操作的思考。这种抽象思维活动的经验积累也属于基本活动经验的范畴，而且是更高层次的理性的数学活动经验。
解读5：数学活动应该包括做练习。
本课中一道简单的练习题目的是让学生初步感知数学的应用，在积累活动经验的同时提高了学生学习的自信心，提高了学生解决问题的能力。后面的变式练习非常巧妙，让学生在应用中得出另一个公式，这个过程实际上是计算演绎推理的过程。
解读6：这一环节关注了应用意识的培养。
让学生进行测量操作，学会记录信息，学会整理信息，并运用所学知识进行计算，从而完成了测量长方体与计算长方体体积的实际问题。这种实践活动经验可以说是对前面活动进行的一次过程性与结果性的评价。
当然，本课也有很多值得探讨的问题，如：需不需要实际操作？活动的成本有多大？每一次的活动能否如我们所愿给学生留下很好的活动经验？对每一位学生是否真正参与了数学活动的全过程关注有多少？这些都是教师帮助学生积累活动经验时应该全面考虑的问题。
四、寻找中领悟理念
实践需要理念的指导。于是，我试着从2011版数学课程标准中去寻找有关基本活动经验的要求，以提高自己对新课程理论的认识。
总目标中的第一条：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
内容标准在关于课程内容的设置中指出：“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
教学建议中，第4点是感悟数学思想，积累数学活动经验。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。
学段目标中：第二学段，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。
五、反思中提升理论
理论需要实践的支撑，我试着从本案例中找到数学基本活动经验的“血”和“肉”，来提升自己对新课程理念的认识。
在积累数学活动经验时，要让学生经历活动过程、思考过程以及情感体验过程。案例中有三次学生的活动，长方体公式推导和正方体公式证明都是动手操作活动，正方体公式的推导是操作活动，学生在“活动情境”和“问题情境”中感受快乐，在有趣的活动中体会快乐，在接受数学思维挑战、探索成功中体验快乐。
数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，经验积累就是在活动中想出来的和悟出来的，而不完全是教师教会的。本案操作前后均有一个问题来引导学生反思，活动前问题是让学生带着问题操作，活动后的问题是对所经历的活动进行回顾、反思，从而将数学知识内化为学生自己能够理解的合乎逻辑的、抽象的数学经验。
数学活动经验需经历五个阶段：教师的演示操作是第一“原初经验”阶段；学生观察得出长方体体积与长、宽、高有关是第二“再生经验”阶段；学生搭长方体的行为是第三“再认经验”阶段；学生将操作记录的数据进行分析、推理，得出结论是第四“概括性经验”阶段；后面的练习和实物测量及体积计算是第五“概括性经验图式”阶段。
数学活动经验，并非总是学生亲历所得。数学活动包括数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动，以及关于数学的交流活动，还包括“模式直观”“解题经历”“数学想象力”“数学美学欣赏”等。本案例就是学生参与长方体体积公式的探索活动，是在具体的“问题情境”中“做”数学的活动。
数学活动经验，“替代性经验”与“直接性经验”同样重要。由于教学时间的限制，开始以教师演示为主，为学生提供直观可视化的材料，学生在观察、思考中获得替代性经验。后面正方体体积的推导以及底面积乘以高的长方体体积公式推导是进一步的思考成果。学生的两个动手操作、习题练习以及实践活动都是直接性经验。
学生经历或参与了数学活动，并不一定就能获得充足的数学活动经验。学生原有经验、个体感觉、感悟水平各不相同，获得的数学活动经验必然也不同，有的比较清晰，有的则比较模糊，有的比较丰富，有的则比较单薄。在从某项活动转场到另一活动时，学生如果只经历前一个活动的某些片段，也就不能获得较为充分的数学活动经验。
只有积累“案例”才会对新课程理念有更多的感性认识，要用扬弃的眼光来聚焦新课程，植根传统又突破定式，在对教学实践的辩证解读中实现自我提升。
（责编 金 铃）