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摘要：如何利用数学建模解决现实问题是将所学知识应用于实际的关键，通常需要将问题进行数据离散化处理，然后根据实际问题选择不同的数学分析方法建立合适的函数关系。最小二乘法就是通过误差平方最小时产生的限定条件，从而得到最佳拟合曲线的方法。本文通过最小二乘法的学习，探究如何利用实际问题建立数学模型，引导学生将理论与实践相结合。
关键词：最小二乘法 数学建模 函数关系
数学建模是解决实际问题的有效方法，数学建模需要将问题抽象化，建立函数关系式。首先需要确定的是所假设的条件，通过合适的数学方法对不同变量之间的关系进行描述，选择适当的数学工具进行问题的分析与测试，从而得到相应的数据，然后利用建立的数学模型进行计算，将得到的结果进一步分析。因此，学生在进行最小二乘法学习时要明确其原理，将模型理论与实际情形进行对比，使得到的结果具有准确性、合理性、适用性。一直以来，数学作为一种实用性学科在我们日常生活与生产中都发挥着举足轻重的作用，并与其他学科之间存在密切联系，促进其他学科发展。
一、数学建模理论与应用
模型的概念是对原型的抽象描述，而数学建模实际上就是将生活中的实际问题抽象化，然后根据所获的数据解决生产生活中的实际问题。其根本目的是将复杂问题简单化，将复杂的实际情况抽象为合理的数学结构。数学建模既是数学与实际问题之间沟通的桥梁，也是数学在各个学科领域应用较为广泛的工具。如解决生活生产、消费休闲等实际问题时需要从定量的角度进行分析，需要深入观察所研究问题的固有特征、信息资料，然后针对实际问题进行抽象化，再对所得数据进行分析，引入相关数学符号、变量、参数等，通过数学语言描述实际问题，将结果反馈到实际问题中总结规律。
二、数学建模与最小二乘法
随着计算机技术的不断发展，数学分析方法的应用已经不仅仅局限在物理、化学等自然学科，还在经济、管理等社会学科中得到了广泛的应用，数学知识在越来越多的领域发挥着重要的作用，其中数学建模就是数学分析方法中比较常见的一种。数学建模是将现实问题通过细致的观察与分析，进行深入的研究与探讨。数据与曲线拟合是模型参数估计、實验误差分析的重要方法，而最小二乘法是解决以上问题的有效方法之一。从本质上来说，最小二乘法是一种近似求解方法，首先就是大量观察实际事件，然后对事件结果进行预测，从而获得最佳估计或最可能发生的结果。因此，在教学最小二乘法时教师要为学生提供有效的教学情境，建立数学模型，激发学生的学习兴趣，帮助学生培养良好的思维习惯和抽象概括能力。
在解决实际问题的过程中，学生经常会遇到给定两个变量，根据相关实验数据寻找两个变量之间的拟合函数的问题，学生可以通过该函数对类似情况做出相应的判断，对实验数据进行归纳整理，总结规律。在解决类似问题的时候，让拟合函数两个变量的值偏差平方和最小，对实验数据进行拟合所得到的最佳拟合数据方法被称为最小二乘法。
三、利用最小二乘法求线性回归方程的步骤
最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，求解回归直线方程并应用它分析预报变量的取值等，解决此类问题一般分为以下几个步骤：第一步，分析数据，即分析相关数据，求得相关系数r或利用散点图判断两个变量之间是否存在线性相关关系，若两个变量呈现非线性关系，则需要将变量转化成线性相关关系。第二步，建立模型，根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果，建立回归模型。第三步，确定参数，利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式求得b、a的值，从而确定线性回归方程。第四步，求预测值，将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中即可求得y的估计值。但是在回归直线方程的求解与应用中，要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本中心点一定在回归直线上这一特点来求解相关参数的值。二是在回归直线方程的应用中，利用线性回归方程求得的数值是一个估计值，而不是一个准确值，可以用它来预测结果。
四、最小二乘法应用
在“最小二乘估计”教学中，所探究的问题是如何寻找一条直线可以更加合理地描述散点图两个变量之间的线性关系，通过最小二乘法可以寻找到这条线，然后根据所得到的直线预测实际结果，所以在教学中教师要创设情境，通过实际问题引导学生展开联想，通过统计分析建立数学模型。如分析身高与鞋码之间存在的线性相关关系时，教师可在班上现场随机收集部分学生的鞋码和身高数据，组织学生进行讨论与比较，不同的学生选取的数据是不同的，拟合的线性方程也是不同的，然后通过所获得真实的统计数据画出散点图，可以看到变化趋势，再由最小二乘法估计问题最优参数。这可以让学生体会到，在实际应用中即使是同一个问题，选取相同的样本数，由于选取的样本的随机性决定了不同的人拟合出来的线性方程可能不相同，这是可能的，也是允许的。在教学中，教师要充分调动学生的学习积极性，不断提高学生独立思考的能力。
当研究的问题是非线性时，比如在数学建模课程中常见的人口模型、汽车刹车距离模型、传染病模型等，那么在解决这类问题时往往需要分析实际问题，对其加以处理之后建立模型，部分非线性问题可以转化为线性问题处理。如果通过最小二乘法处理的数据计算量较大时，可以利用计算器辅助完成计算。同时，在实际计算中，采用相同方法最终所得到的计算结果可能存在一定的差异，因此为了保证预测结果更加可靠，选取的样本要有代表性，并且所选择的样本容量要尽可能大，这样最终所得到的数据才更有意义。
综上所述，采用数学建模并将其应用于最小二乘法中是解决实际问题的有力手段。数学建模可以将实际生活中的复杂问题简单化、数据化，利用数学中常用的公式、参数、变量等数学语言描述实际生活，并通过最小二乘法拟合线性、非线性关系，可以高效地解决实际问题。
参考文献：
[1]陆学政， 顾朝阳.“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获”[J]. 中学数学教学参考（上旬），2012（8）：9-11.
[2]郑小洋， 魏正元.最小二乘法的原理以及在数学建模课程教学中的作用[J]. 课程教育研究， 2015（15）：2.◆（作者单位：江西师范大学附属中学）
关键词：最小二乘法 数学建模 函数关系
数学建模是解决实际问题的有效方法，数学建模需要将问题抽象化，建立函数关系式。首先需要确定的是所假设的条件，通过合适的数学方法对不同变量之间的关系进行描述，选择适当的数学工具进行问题的分析与测试，从而得到相应的数据，然后利用建立的数学模型进行计算，将得到的结果进一步分析。因此，学生在进行最小二乘法学习时要明确其原理，将模型理论与实际情形进行对比，使得到的结果具有准确性、合理性、适用性。一直以来，数学作为一种实用性学科在我们日常生活与生产中都发挥着举足轻重的作用，并与其他学科之间存在密切联系，促进其他学科发展。
一、数学建模理论与应用
模型的概念是对原型的抽象描述，而数学建模实际上就是将生活中的实际问题抽象化，然后根据所获的数据解决生产生活中的实际问题。其根本目的是将复杂问题简单化，将复杂的实际情况抽象为合理的数学结构。数学建模既是数学与实际问题之间沟通的桥梁，也是数学在各个学科领域应用较为广泛的工具。如解决生活生产、消费休闲等实际问题时需要从定量的角度进行分析，需要深入观察所研究问题的固有特征、信息资料，然后针对实际问题进行抽象化，再对所得数据进行分析，引入相关数学符号、变量、参数等，通过数学语言描述实际问题，将结果反馈到实际问题中总结规律。
二、数学建模与最小二乘法
随着计算机技术的不断发展，数学分析方法的应用已经不仅仅局限在物理、化学等自然学科，还在经济、管理等社会学科中得到了广泛的应用，数学知识在越来越多的领域发挥着重要的作用，其中数学建模就是数学分析方法中比较常见的一种。数学建模是将现实问题通过细致的观察与分析，进行深入的研究与探讨。数据与曲线拟合是模型参数估计、實验误差分析的重要方法，而最小二乘法是解决以上问题的有效方法之一。从本质上来说，最小二乘法是一种近似求解方法，首先就是大量观察实际事件，然后对事件结果进行预测，从而获得最佳估计或最可能发生的结果。因此，在教学最小二乘法时教师要为学生提供有效的教学情境，建立数学模型，激发学生的学习兴趣，帮助学生培养良好的思维习惯和抽象概括能力。
在解决实际问题的过程中，学生经常会遇到给定两个变量，根据相关实验数据寻找两个变量之间的拟合函数的问题，学生可以通过该函数对类似情况做出相应的判断，对实验数据进行归纳整理，总结规律。在解决类似问题的时候，让拟合函数两个变量的值偏差平方和最小，对实验数据进行拟合所得到的最佳拟合数据方法被称为最小二乘法。
三、利用最小二乘法求线性回归方程的步骤
最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，求解回归直线方程并应用它分析预报变量的取值等，解决此类问题一般分为以下几个步骤：第一步，分析数据，即分析相关数据，求得相关系数r或利用散点图判断两个变量之间是否存在线性相关关系，若两个变量呈现非线性关系，则需要将变量转化成线性相关关系。第二步，建立模型，根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果，建立回归模型。第三步，确定参数，利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式求得b、a的值，从而确定线性回归方程。第四步，求预测值，将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中即可求得y的估计值。但是在回归直线方程的求解与应用中，要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本中心点一定在回归直线上这一特点来求解相关参数的值。二是在回归直线方程的应用中，利用线性回归方程求得的数值是一个估计值，而不是一个准确值，可以用它来预测结果。
四、最小二乘法应用
在“最小二乘估计”教学中，所探究的问题是如何寻找一条直线可以更加合理地描述散点图两个变量之间的线性关系，通过最小二乘法可以寻找到这条线，然后根据所得到的直线预测实际结果，所以在教学中教师要创设情境，通过实际问题引导学生展开联想，通过统计分析建立数学模型。如分析身高与鞋码之间存在的线性相关关系时，教师可在班上现场随机收集部分学生的鞋码和身高数据，组织学生进行讨论与比较，不同的学生选取的数据是不同的，拟合的线性方程也是不同的，然后通过所获得真实的统计数据画出散点图，可以看到变化趋势，再由最小二乘法估计问题最优参数。这可以让学生体会到，在实际应用中即使是同一个问题，选取相同的样本数，由于选取的样本的随机性决定了不同的人拟合出来的线性方程可能不相同，这是可能的，也是允许的。在教学中，教师要充分调动学生的学习积极性，不断提高学生独立思考的能力。
当研究的问题是非线性时，比如在数学建模课程中常见的人口模型、汽车刹车距离模型、传染病模型等，那么在解决这类问题时往往需要分析实际问题，对其加以处理之后建立模型，部分非线性问题可以转化为线性问题处理。如果通过最小二乘法处理的数据计算量较大时，可以利用计算器辅助完成计算。同时，在实际计算中，采用相同方法最终所得到的计算结果可能存在一定的差异，因此为了保证预测结果更加可靠，选取的样本要有代表性，并且所选择的样本容量要尽可能大，这样最终所得到的数据才更有意义。
综上所述，采用数学建模并将其应用于最小二乘法中是解决实际问题的有力手段。数学建模可以将实际生活中的复杂问题简单化、数据化，利用数学中常用的公式、参数、变量等数学语言描述实际生活，并通过最小二乘法拟合线性、非线性关系，可以高效地解决实际问题。
参考文献：
[1]陆学政， 顾朝阳.“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获”[J]. 中学数学教学参考（上旬），2012（8）：9-11.
[2]郑小洋， 魏正元.最小二乘法的原理以及在数学建模课程教学中的作用[J]. 课程教育研究， 2015（15）：2.◆（作者单位：江西师范大学附属中学）