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随着时代的进步,一些现代数学内容,逐渐进入了小学数学课程。在六年级的小学数学教材里,出现了组合数学中常用的“抽屉原理”。这是一个与时俱进的数学教学改革成果,值得肯定。但是,在如何呈现这类新内容的途径上,可以有更多的不同选择。《义务教育数学课程标准(2011年版)》突出地强调“四基”教学,即注重基本数学知识、基本数学技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验的教学。按照这一要求,抽屉原理的教学如何设计,教材上如何表述,值得研究。
首先,在某教材六年级“数学广角”单元的第一页(图1),直接出示“文具盒放铅笔”的问题,没有用“抽屉原理”作为标题,令人遗憾。事实上,抽屉原理,或者鸽笼原理,乃是一种逻辑推理方法。它是一种普适的原理,并非单纯的个别数学问题。时至今日,它们已经成为了国际通用的名词,业已成为人们的常识。不出现“原理”二字,就将它弱化了。
其次,要研究抽屉原理教材所应表述的重点所在:究竟是当作一种“知识”进行展示呢,还是突出数学思想方法加以呈现呢?
按照现在的处理(见图1),仍然将它当作一种解题知识加以表述。思考的顺序是:
提出放铅笔问题 直接给出答案 用穷举法加以证明,最后总结为“还可以这样想……”
这里,只是把抽屉原理当作一个“问题解决”的个别例题进行呈现,因而马上给出答案。最不妥的是把穷举各种情况作为论证的基础。然而,抽屉原理并不是靠穷举各种情况再加以归纳出来的。恰恰相反,学习抽屉原理的意义在于丢开穷举检验,诉诸逻辑论证。
图1
现在,我们不妨将上述教材的呈现顺序反过来,按照“四基“的要求进行教材设计。
标题:抽屉原理
●把4个苹果放到3个抽屉里,会不会有一个抽屉里至少有2个苹果呢?
●小胖说:“我来放放看。”
●小明说:“不必一个个地放苹果,我也能断定,总有某一个抽屉里至少有2个苹果。”
●为什么呢?
●因为苹果比抽屉多一个。如果每一个抽屉里都只放1个苹果,最多放3个。那么一定多出来1个苹果。现在还要把它放到某一个抽屉里去,那么那一个抽屉就会有2个苹果了。
●小胖说:“是的,我把各种情况都摆出来了。小明的判断是对的。”
●归纳:把N个苹果放到M个抽屉里(N
首先,在某教材六年级“数学广角”单元的第一页(图1),直接出示“文具盒放铅笔”的问题,没有用“抽屉原理”作为标题,令人遗憾。事实上,抽屉原理,或者鸽笼原理,乃是一种逻辑推理方法。它是一种普适的原理,并非单纯的个别数学问题。时至今日,它们已经成为了国际通用的名词,业已成为人们的常识。不出现“原理”二字,就将它弱化了。
其次,要研究抽屉原理教材所应表述的重点所在:究竟是当作一种“知识”进行展示呢,还是突出数学思想方法加以呈现呢?
按照现在的处理(见图1),仍然将它当作一种解题知识加以表述。思考的顺序是:
提出放铅笔问题 直接给出答案 用穷举法加以证明,最后总结为“还可以这样想……”
这里,只是把抽屉原理当作一个“问题解决”的个别例题进行呈现,因而马上给出答案。最不妥的是把穷举各种情况作为论证的基础。然而,抽屉原理并不是靠穷举各种情况再加以归纳出来的。恰恰相反,学习抽屉原理的意义在于丢开穷举检验,诉诸逻辑论证。
图1
现在,我们不妨将上述教材的呈现顺序反过来,按照“四基“的要求进行教材设计。
标题:抽屉原理
●把4个苹果放到3个抽屉里,会不会有一个抽屉里至少有2个苹果呢?
●小胖说:“我来放放看。”
●小明说:“不必一个个地放苹果,我也能断定,总有某一个抽屉里至少有2个苹果。”
●为什么呢?
●因为苹果比抽屉多一个。如果每一个抽屉里都只放1个苹果,最多放3个。那么一定多出来1个苹果。现在还要把它放到某一个抽屉里去,那么那一个抽屉就会有2个苹果了。
●小胖说:“是的,我把各种情况都摆出来了。小明的判断是对的。”
●归纳:把N个苹果放到M个抽屉里(N