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在学校组织的三校区联动的六年级新教材研讨活动中，我执教了“解决问题的策略”一课。两次试教中对例1及“练一练”环节的改动，给了我很深的体会。
[案例一] 例1的第一次教学情境。
1.出示“曹冲称象”图片，创设情境，让学生感知替换策略。
2.出示例1：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各是多少毫升？
3.引导交流。⑴题中告诉了哪些已知条件？你是怎样理解“小杯的容量是大杯的1/3”这句话的？⑵要求的是什么？有两个未知量，根据条件，能直接求出这两个未知量吗？你会用替换的策略解决这个问题吗？根据下面的提纲四人一组讨论：①替换的依据是什么？②把什么替换成什么？③替换后的数量关系是什么？⑶学生汇报两种替换的方法（根据学生回答演示课件）。⑷选择一种喜欢的方法进行替换。⑸指导检验。⑹回顾反思：①你能说出解决这个问题的策略吗？②为什么要这样替换呢？
[反思] 考虑到我国有经典的应用替换方法解决问题的事例，所以上课伊始便引入了学生耳熟能详的《曹冲称象》的故事，目的是给学生一个明确的目标指向，开门见山，直入主题。考虑到学生有替换的经验，所以给出例题后直接让学生思考讨论、列式解答。巡视中发现，经过这么一个过程，问题是能够得到解决的。但是这样的教学问题目标太过透明，学生未能经历策略自主生成的过程，教师对学生的主体地位尊重不够。而且例题的教学缺乏教师必要的指导，学生费时较多，课堂表现比较松散。尤其是讨论的环节，学生没有经历一个充分替换的过程，有纸上谈兵之嫌。
鉴于这些问题，备课组的教师们反复讨论，最后经过修改进行了第二次教学。
[案例二] 例1的第二次的教学情境。
1.直接出示例1。
2.引导交流。⑴题中告诉了哪些已知条件？你是怎样理解“小杯的容量是大杯的1/3”这句话的？根据学生的回答，教师边说可以用以前学过策略——“摘录条件”的方法简单地摘录，边板书：6个小杯+1个大杯=720毫升，1个大杯=3个小杯。⑵要求的是什么？有两个未知量，该怎么求？请你用大圆来表示大杯，小圆表示小杯，在自备本上画一画帮助思考，然后在小组里交流你的想法。⑶学生汇报两种替换的方法（交流中指出学生的思路就是“替换”）。汇报交流后，教师结合电脑演示两种不同的替换思路，并板书：1个大杯=3个小杯；6个小杯+1个大杯=720毫升→2个大杯（6个小杯）+1个大杯=720毫升或6个小杯+3个小杯（1个大杯）=720毫升。⑷选择一种喜欢的方法独立列式解答。⑸指导检验。⑹回顾反思：①为什么要这样替换呢？②为什么可以这样替换？
[反思] 与第一次教学明显的不同有四点：⑴没有用故事导入，而是在例题的教学中让学生在解决问题的过程中自发地、自觉地需要替换、感受替换、生成替换；⑵在读题后引导学生把文字表达的信息用数学化的方法进行整理，列出两个等式，使学生对题目给出的信息、数量之间的关系有了更简明、清晰的认识，接着又在等式上直观清晰地表示出两种替换的方法与过程，使学生有法可依，有路可走，便于学生在较短的时间内把握替换的实质，提高了学生学习的效度；⑶教师明确提示学生用上述直观的方法去表达过程，更有利于对替换策略的深度把握，更有利于后面练一练的教学。⑷在解决例1的问题后，再发出两个“为什么”，连续追问，这是对例题教学的深化与提升，它让学生在反思中进一步清晰替换的依据，替换的视角，使例题的教学意义超越解答一道题目，得到一组答案，体会一种思想方法。事实证明，第二次的教学更尊重了学生的认知规律，更体现了教材问题解决教学的策略意图。
[案例三] “练一练”的第一次教学情境.
出示“练一练”：在2个同样的大盒和5个同样小盒里装满乒乓球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒和小盒各能装多少个？
①题中告诉哪些已知条件和问题？②学生独立列式解答。
[反思] 这次教学完全按照教材的编排顺序进行，加上教师的讲解没有抓住要领，而且没有直观的演示，教学效果并不好。巡视过程中发现，尽管教师一再提醒学生“有困难的可以在自备本上画图帮助思考”，可学生不知该如何画图，只有很少几位同学能够列式解答。显然 “练一练”的难度比例1要大得多，在这里采用以往的教学方法，直接把题目“放”给学生显然是不妥当的。
鉴于这些问题，备课组的教师们反复讨论，修改后进行了如下尝试。
[案例四] “练一练”第二次教学情境。
1.改编例1：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。大杯的容量比小杯多160毫升。小杯和大杯的容量各是多少毫升？⑴题中告诉哪些已知条件？根据学生的回答教师边说可以用以前学过策略——摘录条件的方法简单地摘录，边板书：6个小杯+1个大杯=720毫升；大杯－小杯=160毫升。⑵这道题目还是求大杯和小杯的容量，还是有两个未知量，但是改变了其中一个条件，你准备用什么策略来解决这个问题（替换）？该怎样替换呢？⑶学生汇报两种替换的方法。汇报交流后，教师结合电脑演示两种不同的替换思路，着重讲清并引导学生理解：一个大杯替换成一个小杯，少装了160毫升，总量也就少装了（720－160）毫升，7个小杯就装了（720－160）毫升；1个小杯替换成1个大杯，就多装了160毫升，6个小杯替换成6个大杯，就多装了6个160毫升，总量也就多了6个160毫升。并板书：6个小杯+1个大杯=720毫升；1个大杯-1个小杯=160毫升→6个小杯+1个小杯=720毫升-160毫升或6个大杯+1个大杯=720毫升+160毫升×6。⑷选择一种喜欢的方法独立列式解答。⑸指导检验。⑹回顾反思：这道题目与例1同样是替换，但替换过程中有什么不一样的地方？
2.出示“练一练”：在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满乒乓球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒和小盒各能装多少个？
①题中告诉哪些已知条件和问题？②学生独立列式解答。
[反思] 由于“练一练”的难度比例1要大得多，如果单独作为一道例题教学，显然有悖于教材的编排意图。于是我们做了这些改动：⑴对例题进行改编，把“小杯的容量是大杯的1/3”改成“大杯的容量比小杯多160毫升”，突出了主要等量关系的变化，使得两道题的异同更为明显。⑵仍旧用等式表示题目中的条件信息，使学生对题意一目了然，容易把内隐的思考过程通过算式外化，清晰、具体地表达出来，这为学生提供了思维支撑，也为教师的清晰讲解提供了方便。这是第二次教学中感觉特别深刻的一点。⑶教师的讲解更具指导性，更切合学生的理解角度与理解水平。“一个大杯替换成一个小杯，少装了160毫升，总量也就少装了（720－160）毫升，7个小杯就装了（720－160）毫升；1个小杯替换成1个大杯，就多装了160毫升，6个小杯替换成6个大杯，就多装了6个160毫升，总量也就多了6个160毫升。”讲解加上简明的板书，学生确实是容易理解、容易接受了。⑷加上直观图例的演示，使学生对相差关系的数量之间的替换领会得更到位、更准确。⑸通过例题改编和“练一练”的训练，基本知识的教学目标达成度更高。其中教师还比较注重对题目的比较概括，让学生对所学的替换策略的两种情况有了更全面、精准的认识，也进一步感受到替换在实际应用时的细节处理，把学生的思维引向了一定的高度与深度。
以上两次的不同设计与教学引发了我们更深的思考：
1.基于学生的实际改造教材。教学中我们习惯于对教材进行一定加工，但有个问题经常被我们忽略：重新加工教材的目的何在？激发学习兴趣、优化学习方法固然是重整教材的重要原因，但与此相比，如何更好地基于学生的实际，更客观地尊重学生已有的知识水平和经验，这才是重构教材的目的和依据。这节课，教师在充分把握教材、尊重教材的基础上创造性地重构了教材。由于例1的“倍比关系”与练一练”的“相差关系”是两种完全不同的概念，替换后倍比关系的总量没有变化，而相差关系的总量发生了变化，因此教师在教学完例1后把它进行改编，相同的情境更利于学生深刻理解在应用替换策略时的变与不变，寻求异同点，促使学生由条件的变化引发到思维方向的改变，让知识的生成由模糊到清晰。所以尊重教材与重构教材二者并不矛盾，关键是改变教材本身并非目的，而是一种手段，是为了更好地基于学生实际达成教学目标。我们看到了学生从不懂到懂，从不会到会，从初步感知到深刻认识的变化。如此看来，看待教师某一特定的教学行为关键看教学效果，看学生在课堂中的变化。
2.立足课堂的效度设计过程。我们一直追求有效和高效的课堂教学，提高教学的有效度是在设计每节课时必须思考的。本节课主要从以下几个方面入手，努力实现课堂教学的有效与高效。
⑴重视教师讲解的功用。教师讲、学生学是一种接受性学习。《数学新课程标准》（修改稿）提出：“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式。”显然接受学习仍然是教师教与学生学的主要方式，本节课上体现得较为明显的就是改编题的教学，教师结合图示简洁、明了地分析与讲解对学生而言是一种理解后的接受，是一种主动的接受。
⑵适度的“放”与适当的“扶”。在课堂上教师的主导作用不容小视，而学生的主体地位更应凸显，教师该出手时需出手，该抽身而退时当果断、干脆。课上两道题目的审题、弄清题意是教师在带着学生进行，而怎么解决问题都是教师给学生以足够的信任与时间，让学生去探究、摸索、思考，学生也不负师望，能自行寻觅到方法，生成出策略。
⑶古代与现代题目的合理配置。我国古代有经典的应用替换方法解决的问题。如果用这些题来教学，学生只能被动接受解法，潜在的学习能力得不到开发。这些离开生活实际的题目虽然能引起学生短时间的好奇，却难以维持学习热情，更不会产生学习需要。教材联系生活实际设计了需要用替换方法解决的问题，而在学生的经验结构里有替换，不过是潜在的、无意识的，教学的任务就是要把学生沉睡的方法唤醒，使隐含的思想清晰起来。第一次教学例1时先创设情境，让学生初步感知策略，但备课组老师一致认为这样把策略直接给予学生，学生显得比较被动。所以在第二次教学例1时直接出示例题，用已学的策略——“摘录条件”来理解题意，用“画一画”的方法帮助思考，然后在小组里交流想法，在汇报时教师指出学生的方法就是“替换”，策略自主生成了，学生变被动接受为主动探索。课尾教师利用情境在“你知道吗”里介绍古代名题，让学生了解我国很早就有替换思想，现代与古代的题目合理配置，本单元教学更有价值。
⑷行之有效的策略运用。本节课运用了替换策略、画图策略、用数学化方法表征问题的策略等。重点是用等量替换的方法实现问题的简单化，并相应地解决问题，所以教师让学生在解决问题的过程中初步体会替换，充实思想方法，发展解题策略，同时体会画图等策略在解决问题过程中的价值，这对于强化学生的策略意识，养成策略运用的自觉性，提高运用策略的能力都有积极的意义。教师还注重让学生说说每步算式的意义，把替换时的思维过程用语言和算式外化，这样更利于替换时的思考数学化、模型化，有利于让学生经历一个完整的知识形成过程，增强应用策略的能力。
[案例一] 例1的第一次教学情境。
1.出示“曹冲称象”图片，创设情境，让学生感知替换策略。
2.出示例1：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各是多少毫升？
3.引导交流。⑴题中告诉了哪些已知条件？你是怎样理解“小杯的容量是大杯的1/3”这句话的？⑵要求的是什么？有两个未知量，根据条件，能直接求出这两个未知量吗？你会用替换的策略解决这个问题吗？根据下面的提纲四人一组讨论：①替换的依据是什么？②把什么替换成什么？③替换后的数量关系是什么？⑶学生汇报两种替换的方法（根据学生回答演示课件）。⑷选择一种喜欢的方法进行替换。⑸指导检验。⑹回顾反思：①你能说出解决这个问题的策略吗？②为什么要这样替换呢？
[反思] 考虑到我国有经典的应用替换方法解决问题的事例，所以上课伊始便引入了学生耳熟能详的《曹冲称象》的故事，目的是给学生一个明确的目标指向，开门见山，直入主题。考虑到学生有替换的经验，所以给出例题后直接让学生思考讨论、列式解答。巡视中发现，经过这么一个过程，问题是能够得到解决的。但是这样的教学问题目标太过透明，学生未能经历策略自主生成的过程，教师对学生的主体地位尊重不够。而且例题的教学缺乏教师必要的指导，学生费时较多，课堂表现比较松散。尤其是讨论的环节，学生没有经历一个充分替换的过程，有纸上谈兵之嫌。
鉴于这些问题，备课组的教师们反复讨论，最后经过修改进行了第二次教学。
[案例二] 例1的第二次的教学情境。
1.直接出示例1。
2.引导交流。⑴题中告诉了哪些已知条件？你是怎样理解“小杯的容量是大杯的1/3”这句话的？根据学生的回答，教师边说可以用以前学过策略——“摘录条件”的方法简单地摘录，边板书：6个小杯+1个大杯=720毫升，1个大杯=3个小杯。⑵要求的是什么？有两个未知量，该怎么求？请你用大圆来表示大杯，小圆表示小杯，在自备本上画一画帮助思考，然后在小组里交流你的想法。⑶学生汇报两种替换的方法（交流中指出学生的思路就是“替换”）。汇报交流后，教师结合电脑演示两种不同的替换思路，并板书：1个大杯=3个小杯；6个小杯+1个大杯=720毫升→2个大杯（6个小杯）+1个大杯=720毫升或6个小杯+3个小杯（1个大杯）=720毫升。⑷选择一种喜欢的方法独立列式解答。⑸指导检验。⑹回顾反思：①为什么要这样替换呢？②为什么可以这样替换？
[反思] 与第一次教学明显的不同有四点：⑴没有用故事导入，而是在例题的教学中让学生在解决问题的过程中自发地、自觉地需要替换、感受替换、生成替换；⑵在读题后引导学生把文字表达的信息用数学化的方法进行整理，列出两个等式，使学生对题目给出的信息、数量之间的关系有了更简明、清晰的认识，接着又在等式上直观清晰地表示出两种替换的方法与过程，使学生有法可依，有路可走，便于学生在较短的时间内把握替换的实质，提高了学生学习的效度；⑶教师明确提示学生用上述直观的方法去表达过程，更有利于对替换策略的深度把握，更有利于后面练一练的教学。⑷在解决例1的问题后，再发出两个“为什么”，连续追问，这是对例题教学的深化与提升，它让学生在反思中进一步清晰替换的依据，替换的视角，使例题的教学意义超越解答一道题目，得到一组答案，体会一种思想方法。事实证明，第二次的教学更尊重了学生的认知规律，更体现了教材问题解决教学的策略意图。
[案例三] “练一练”的第一次教学情境.
出示“练一练”：在2个同样的大盒和5个同样小盒里装满乒乓球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒和小盒各能装多少个？
①题中告诉哪些已知条件和问题？②学生独立列式解答。
[反思] 这次教学完全按照教材的编排顺序进行，加上教师的讲解没有抓住要领，而且没有直观的演示，教学效果并不好。巡视过程中发现，尽管教师一再提醒学生“有困难的可以在自备本上画图帮助思考”，可学生不知该如何画图，只有很少几位同学能够列式解答。显然 “练一练”的难度比例1要大得多，在这里采用以往的教学方法，直接把题目“放”给学生显然是不妥当的。
鉴于这些问题，备课组的教师们反复讨论，修改后进行了如下尝试。
[案例四] “练一练”第二次教学情境。
1.改编例1：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。大杯的容量比小杯多160毫升。小杯和大杯的容量各是多少毫升？⑴题中告诉哪些已知条件？根据学生的回答教师边说可以用以前学过策略——摘录条件的方法简单地摘录，边板书：6个小杯+1个大杯=720毫升；大杯－小杯=160毫升。⑵这道题目还是求大杯和小杯的容量，还是有两个未知量，但是改变了其中一个条件，你准备用什么策略来解决这个问题（替换）？该怎样替换呢？⑶学生汇报两种替换的方法。汇报交流后，教师结合电脑演示两种不同的替换思路，着重讲清并引导学生理解：一个大杯替换成一个小杯，少装了160毫升，总量也就少装了（720－160）毫升，7个小杯就装了（720－160）毫升；1个小杯替换成1个大杯，就多装了160毫升，6个小杯替换成6个大杯，就多装了6个160毫升，总量也就多了6个160毫升。并板书：6个小杯+1个大杯=720毫升；1个大杯-1个小杯=160毫升→6个小杯+1个小杯=720毫升-160毫升或6个大杯+1个大杯=720毫升+160毫升×6。⑷选择一种喜欢的方法独立列式解答。⑸指导检验。⑹回顾反思：这道题目与例1同样是替换，但替换过程中有什么不一样的地方？
2.出示“练一练”：在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满乒乓球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒和小盒各能装多少个？
①题中告诉哪些已知条件和问题？②学生独立列式解答。
[反思] 由于“练一练”的难度比例1要大得多，如果单独作为一道例题教学，显然有悖于教材的编排意图。于是我们做了这些改动：⑴对例题进行改编，把“小杯的容量是大杯的1/3”改成“大杯的容量比小杯多160毫升”，突出了主要等量关系的变化，使得两道题的异同更为明显。⑵仍旧用等式表示题目中的条件信息，使学生对题意一目了然，容易把内隐的思考过程通过算式外化，清晰、具体地表达出来，这为学生提供了思维支撑，也为教师的清晰讲解提供了方便。这是第二次教学中感觉特别深刻的一点。⑶教师的讲解更具指导性，更切合学生的理解角度与理解水平。“一个大杯替换成一个小杯，少装了160毫升，总量也就少装了（720－160）毫升，7个小杯就装了（720－160）毫升；1个小杯替换成1个大杯，就多装了160毫升，6个小杯替换成6个大杯，就多装了6个160毫升，总量也就多了6个160毫升。”讲解加上简明的板书，学生确实是容易理解、容易接受了。⑷加上直观图例的演示，使学生对相差关系的数量之间的替换领会得更到位、更准确。⑸通过例题改编和“练一练”的训练，基本知识的教学目标达成度更高。其中教师还比较注重对题目的比较概括，让学生对所学的替换策略的两种情况有了更全面、精准的认识，也进一步感受到替换在实际应用时的细节处理，把学生的思维引向了一定的高度与深度。
以上两次的不同设计与教学引发了我们更深的思考：
1.基于学生的实际改造教材。教学中我们习惯于对教材进行一定加工，但有个问题经常被我们忽略：重新加工教材的目的何在？激发学习兴趣、优化学习方法固然是重整教材的重要原因，但与此相比，如何更好地基于学生的实际，更客观地尊重学生已有的知识水平和经验，这才是重构教材的目的和依据。这节课，教师在充分把握教材、尊重教材的基础上创造性地重构了教材。由于例1的“倍比关系”与练一练”的“相差关系”是两种完全不同的概念，替换后倍比关系的总量没有变化，而相差关系的总量发生了变化，因此教师在教学完例1后把它进行改编，相同的情境更利于学生深刻理解在应用替换策略时的变与不变，寻求异同点，促使学生由条件的变化引发到思维方向的改变，让知识的生成由模糊到清晰。所以尊重教材与重构教材二者并不矛盾，关键是改变教材本身并非目的，而是一种手段，是为了更好地基于学生实际达成教学目标。我们看到了学生从不懂到懂，从不会到会，从初步感知到深刻认识的变化。如此看来，看待教师某一特定的教学行为关键看教学效果，看学生在课堂中的变化。
2.立足课堂的效度设计过程。我们一直追求有效和高效的课堂教学，提高教学的有效度是在设计每节课时必须思考的。本节课主要从以下几个方面入手，努力实现课堂教学的有效与高效。
⑴重视教师讲解的功用。教师讲、学生学是一种接受性学习。《数学新课程标准》（修改稿）提出：“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式。”显然接受学习仍然是教师教与学生学的主要方式，本节课上体现得较为明显的就是改编题的教学，教师结合图示简洁、明了地分析与讲解对学生而言是一种理解后的接受，是一种主动的接受。
⑵适度的“放”与适当的“扶”。在课堂上教师的主导作用不容小视，而学生的主体地位更应凸显，教师该出手时需出手，该抽身而退时当果断、干脆。课上两道题目的审题、弄清题意是教师在带着学生进行，而怎么解决问题都是教师给学生以足够的信任与时间，让学生去探究、摸索、思考，学生也不负师望，能自行寻觅到方法，生成出策略。
⑶古代与现代题目的合理配置。我国古代有经典的应用替换方法解决的问题。如果用这些题来教学，学生只能被动接受解法，潜在的学习能力得不到开发。这些离开生活实际的题目虽然能引起学生短时间的好奇，却难以维持学习热情，更不会产生学习需要。教材联系生活实际设计了需要用替换方法解决的问题，而在学生的经验结构里有替换，不过是潜在的、无意识的，教学的任务就是要把学生沉睡的方法唤醒，使隐含的思想清晰起来。第一次教学例1时先创设情境，让学生初步感知策略，但备课组老师一致认为这样把策略直接给予学生，学生显得比较被动。所以在第二次教学例1时直接出示例题，用已学的策略——“摘录条件”来理解题意，用“画一画”的方法帮助思考，然后在小组里交流想法，在汇报时教师指出学生的方法就是“替换”，策略自主生成了，学生变被动接受为主动探索。课尾教师利用情境在“你知道吗”里介绍古代名题，让学生了解我国很早就有替换思想，现代与古代的题目合理配置，本单元教学更有价值。
⑷行之有效的策略运用。本节课运用了替换策略、画图策略、用数学化方法表征问题的策略等。重点是用等量替换的方法实现问题的简单化，并相应地解决问题，所以教师让学生在解决问题的过程中初步体会替换，充实思想方法，发展解题策略，同时体会画图等策略在解决问题过程中的价值，这对于强化学生的策略意识，养成策略运用的自觉性，提高运用策略的能力都有积极的意义。教师还注重让学生说说每步算式的意义，把替换时的思维过程用语言和算式外化，这样更利于替换时的思考数学化、模型化，有利于让学生经历一个完整的知识形成过程，增强应用策略的能力。