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【摘要】本文论述培养学生逻辑推理意识的重要性，选取人教版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》中的“阅读与思考”栏目《为什么要证明》教学片段，提出教师可结合“测量会出现误差”“眼见未必为实”“从特殊到一般的归纳不一定完全”的例子，直观地告诉学生“实验归纳的结果不一定靠谱”的教学方法，从而激发学生养成良好的“说理”习惯，发展理性思维，铸就理性精神。
【关键词】三角形内角和定理 《为什么要证明》 逻辑推理意识 理性精神
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）12A-0033-03
理性的“演绎推理”“数学证明”比感性的“合情推理”“实验归纳”困难得多，如果学生不愿意学习困难的“数学证明”，会导致学生缺乏理性精神、理性思维能力不强，无法深入地学习数学。在广西师范大学漓江学院、广西师范大学附属中学宝贤中学（简称宝贤中學）、桂林师范高等专科学校等联合举办，以“基于核心素养培养的初中数学课例研究”为主题的教学研讨和展示平台“宝贤课堂”上，宝贤中学的刘国锋老师展示的《三角形内角和定理的证明》一课中的《为什么要证明》教学片段，有效增强了学生演绎推理的意识，铸就了学生的理性精神，培养了学生的“逻辑推理”核心素养。
一、教学片段及评析
（一）创设问题情境，播下“理性种子”
师：同学们，今天我们一起来学习三角形内角和定理的证明。先来回顾一下小学时我们是怎样得到“三角形的内角和等于180°”的。
生：“量一量”“算一算”和“拼一拼”。
师：我们在小学用了这么多种方法来验证，可以肯定“任何一个三角形的内角和都是180°”吗？
生：应该可以。（多数学生同意）
师：我们在小学就已经知道了，还有必要再来学习吗？为了上好这一节课，前天我去听了另一位老师上的《三角形内角和的证明》一课，那位老师的课讲得很清楚，也很精彩。但课后有学生抱怨，“今天的课真无聊，老师那么卖力地讲了一节课，我都不知道他在讲什么，（数学证明）没听懂，只知道一个结论——三角形内角和等于180°，我在小学就知道了。”好些同学也有同感。今天，刘老师也来上这节课，我就思考了一个问题——怎样才能避免那位老师的课堂出现的情况，不让同学们课后说我上课无聊。我决定改变一下教学顺序，同学们先阅读教材第18页“阅读与思考”栏目的《为什么要证明》。
【评析】小学阶段关注合情推理、发现结论，培养演绎推理能力是中学几何教学的核心追求。于是，有些小学教师不说理，没有播下“理性的种子”，让学生错误地肯定实验归纳所得到的结论，导致到了初中阶段学习“三角形内角和定理的证明”时，学生认为完全没有必要证明已知的结论。对学生来说，与感性的合情推理、实验归纳比起来，理性的演绎推理、数学证明要困难得多，学生不愿意再学习困难的数学证明，导致学生理性思维能力不强，无法深入地学习数学。因此，教师在教学时选择了先让学生学习教材的“阅读与思考”栏目的课文《为什么要证明》，培养学生的逻辑推理能力，增强学生演绎推理的意识，铸就学生理性精神。
（二）体验实验误差，培养科学态度
师：阅读课文时进行如下思考。小明提出了哪些疑问？你是否与他有同样问题？你还有哪些问题要请教李老师？请列出问题，分组讨论，我们共同答疑解惑。
生（问题一）：量出三角形的各个内角大小，计算各内角的度数之和，就能得出三角形的内角和等于180°，为什么还要证明这个结论呢？
师：这实际上是小明的问题。我们再做一做测量实验。4人一组，每人随意画一个三角形，量出各内角的大小，计算出各三角形的内角和，记录结果，由小组长填表汇报。
（学生测量。教师巡视，发现有个别学生为了凑成180°而涂改数据。教师提示：我更愿意看到同学们自己实践操作得到的真实结果）
（各小组投影汇报测量结果，以下是三个小组的数据）
师：请观察这些结果，讨论误差出现的原因。
生1：量角器上的刻度为整数，精确度不高，每个角不一定是整数度，所以容易产生误差。
生2：使用量角器时，放得不够平也会产生误差。
生3：三角形的边画得太粗，量角的时候会产生误差。
……
生4：小明说“如果仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？”我有同样的疑问。
师：现实世界中的“测量”就一定会产生误差，即使用再精密的仪器来测量，它也会受到精确度的限制，只能缩小误差，不能消除误差。
师：如果你对“三角形内角和等于多少”完全未知，你能否用“测量法”得到“三角形的内角和等于180°”这个结论？
生5：测量会产生误差，根据测量数据计算三角形内角和，得到的结果不一样。用测量的方法是得不到“所有的（每一个）三角形的内角和是180°”这个结论的。用测量法来说明“三角形内角和等于180°”是不可靠、不严谨的。
生6：测量工具总存在着误差，因此测得的三角形的内角和往往不是180°。测量结果容易让人得出“三角形内角和不是180°”的错误结论。
师：受测量仪器的精确度、测量操作规范程度和技术水平、测量对象的呈现方式等影响，测量会产生误差，结果不一致，得出的结论不一定可靠。
【评析】教师鼓励学生汇报自己测量的真实数据，及时进行误差分析，让学生认识到出现误差是测量中经常出现的现象。预设学生可能测量结果不一，让学生体验到测量得出的结论不一定可靠，培养学生的科学态度。
（三）眼见未必为实，观察未必可靠
生（问题二）：把三角形的三个角剪下来后拼在一起，得到“和角”，通过观察发现这个“和角”是“平角”来说明三角形内角和是180°。这算不算可靠的方法呢？ 师：同学们来观察下面几幅图，回答以下几个问题。图4中线段AB和CD哪条更长？图5中的三个人谁更高？图6中∠AOB和∠DOC哪一个是平角？
（学生议论纷纷，答案不一）
师：实际上，AB和CD一样长;三个人一样高;∠AOB=179°，∠DOC=181°，这与多数同学的观察结果不一致。请同学们谈一谈感受。
生1：∠AOB和∠DOC不是平角，但我们多数人将其看成了平角。说明通过观察得到一个角是平角的结论是不可靠的。所以，“把三角形的三个角剪下来拼凑在一起，然后通过观察得到它是一个平角”这种方法是不可靠、不嚴谨的。
生2：老师通过这些例子告诉我们“眼见未必为实”，通过观察得到的结论未必靠谱。
师：用实验探索结论，是数学学习的常用方法，但依靠观察得到的实验结论未必可靠。
【评析】实验观察是得到新结论的方法和途径，对于“找规律”是不可或缺的。但在本节课，学生通过观察教师提供的材料，得出了“意料之外”的错误结论，感悟到“眼见未必为实”——靠实验观察得到的结论可能是正确的，也可能是错误的，从而明白用拼接实验的方法得出“三角形内角和等于180°”这样的结论而不去证明是不可靠的。
（四）归纳推理误导，结论未必正确
生（问题三）：课文中李老师说的，即使不考虑误差等因素，或观察正确，即所有“拼一拼”的结果全是平角（180°）时，我们也还是有疑问的。我没有读懂，不是很明白。
师：我讲一个故事，学校校运会规定，只有跑出12秒以内的成绩，才有资格报名参加100米短跑项目，体育教师测试了我们班16名正在操场上训练的同学，所测试的学生的100米短跑成绩均在12秒到15秒之间，没在12秒以内。体育老师说，我们班的学生都没有资格报名参加100米短跑。刚说完，同学们不服气了，叫来我们班的李明同学，经测试，他的成绩是11.45秒，体育老师“被打脸”，为什么体育老师会做出错误的判断呢？
生：他没有测试完我们班所有同学就下结论了。
师：我们只能对我们测量过的对象下结论，没测量过的不能保证。下面来读一读李老师说的那段话，“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、试验的对象也是有限个。因此，要确认“三角形的内角和等于180°”，就不能依靠度量的手段和观察验证的方法，而必须进行推理论证。对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，从而得出“无论三角形的形状如何，它的内角和一定等于180°”。
【评析】事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。归纳可以为我们提出猜想提供基础与依据，是一种重要的思维方法，也是学生“找规律”最常用、最重要的方法。但是由于归纳推理是从特殊到一般的合情推理，得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。情境中的“体育教师”通过归纳得出了错误的结论，使得学生意识到归纳推理所得的结论也不一定可靠。
二、课后反思
正是怀疑激发我们去学习、去实践、去观察。在这个意义上可以说，科学的历史就是怀疑、提出问题并解答问题的历史。学生思考问题时往往把头脑中固有的方法作为首选，学生的感性认识和形象思维在“三角形内角和定理的证明”中起到了很大的作用，但数学证明不能仅仅停留在感性认识阶段，还要转化为理性认识。本课正是立足于学生对小学阶段用实验归纳的方法来探究“三角形内角和定理”的方法产生怀疑，进而对实验归纳得到的结论不一定正确产生直观的认知而展开的。另一方面，随着学生知识的增长和逻辑推理能力的增强，用“数学证明”的方法重新认识“三角形内角和定理”，增强学生演绎推理的意识，铸就学生理性精神，是培养学生的“逻辑推理”核心素养的“灵魂”，对进一步深入学习数学有重要意义。
（责编 刘小瑗）
【关键词】三角形内角和定理 《为什么要证明》 逻辑推理意识 理性精神
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）12A-0033-03
理性的“演绎推理”“数学证明”比感性的“合情推理”“实验归纳”困难得多，如果学生不愿意学习困难的“数学证明”，会导致学生缺乏理性精神、理性思维能力不强，无法深入地学习数学。在广西师范大学漓江学院、广西师范大学附属中学宝贤中学（简称宝贤中學）、桂林师范高等专科学校等联合举办，以“基于核心素养培养的初中数学课例研究”为主题的教学研讨和展示平台“宝贤课堂”上，宝贤中学的刘国锋老师展示的《三角形内角和定理的证明》一课中的《为什么要证明》教学片段，有效增强了学生演绎推理的意识，铸就了学生的理性精神，培养了学生的“逻辑推理”核心素养。
一、教学片段及评析
（一）创设问题情境，播下“理性种子”
师：同学们，今天我们一起来学习三角形内角和定理的证明。先来回顾一下小学时我们是怎样得到“三角形的内角和等于180°”的。
生：“量一量”“算一算”和“拼一拼”。
师：我们在小学用了这么多种方法来验证，可以肯定“任何一个三角形的内角和都是180°”吗？
生：应该可以。（多数学生同意）
师：我们在小学就已经知道了，还有必要再来学习吗？为了上好这一节课，前天我去听了另一位老师上的《三角形内角和的证明》一课，那位老师的课讲得很清楚，也很精彩。但课后有学生抱怨，“今天的课真无聊，老师那么卖力地讲了一节课，我都不知道他在讲什么，（数学证明）没听懂，只知道一个结论——三角形内角和等于180°，我在小学就知道了。”好些同学也有同感。今天，刘老师也来上这节课，我就思考了一个问题——怎样才能避免那位老师的课堂出现的情况，不让同学们课后说我上课无聊。我决定改变一下教学顺序，同学们先阅读教材第18页“阅读与思考”栏目的《为什么要证明》。
【评析】小学阶段关注合情推理、发现结论，培养演绎推理能力是中学几何教学的核心追求。于是，有些小学教师不说理，没有播下“理性的种子”，让学生错误地肯定实验归纳所得到的结论，导致到了初中阶段学习“三角形内角和定理的证明”时，学生认为完全没有必要证明已知的结论。对学生来说，与感性的合情推理、实验归纳比起来，理性的演绎推理、数学证明要困难得多，学生不愿意再学习困难的数学证明，导致学生理性思维能力不强，无法深入地学习数学。因此，教师在教学时选择了先让学生学习教材的“阅读与思考”栏目的课文《为什么要证明》，培养学生的逻辑推理能力，增强学生演绎推理的意识，铸就学生理性精神。
（二）体验实验误差，培养科学态度
师：阅读课文时进行如下思考。小明提出了哪些疑问？你是否与他有同样问题？你还有哪些问题要请教李老师？请列出问题，分组讨论，我们共同答疑解惑。
生（问题一）：量出三角形的各个内角大小，计算各内角的度数之和，就能得出三角形的内角和等于180°，为什么还要证明这个结论呢？
师：这实际上是小明的问题。我们再做一做测量实验。4人一组，每人随意画一个三角形，量出各内角的大小，计算出各三角形的内角和，记录结果，由小组长填表汇报。
（学生测量。教师巡视，发现有个别学生为了凑成180°而涂改数据。教师提示：我更愿意看到同学们自己实践操作得到的真实结果）
（各小组投影汇报测量结果，以下是三个小组的数据）
师：请观察这些结果，讨论误差出现的原因。
生1：量角器上的刻度为整数，精确度不高，每个角不一定是整数度，所以容易产生误差。
生2：使用量角器时，放得不够平也会产生误差。
生3：三角形的边画得太粗，量角的时候会产生误差。
……
生4：小明说“如果仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？”我有同样的疑问。
师：现实世界中的“测量”就一定会产生误差，即使用再精密的仪器来测量，它也会受到精确度的限制，只能缩小误差，不能消除误差。
师：如果你对“三角形内角和等于多少”完全未知，你能否用“测量法”得到“三角形的内角和等于180°”这个结论？
生5：测量会产生误差，根据测量数据计算三角形内角和，得到的结果不一样。用测量的方法是得不到“所有的（每一个）三角形的内角和是180°”这个结论的。用测量法来说明“三角形内角和等于180°”是不可靠、不严谨的。
生6：测量工具总存在着误差，因此测得的三角形的内角和往往不是180°。测量结果容易让人得出“三角形内角和不是180°”的错误结论。
师：受测量仪器的精确度、测量操作规范程度和技术水平、测量对象的呈现方式等影响，测量会产生误差，结果不一致，得出的结论不一定可靠。
【评析】教师鼓励学生汇报自己测量的真实数据，及时进行误差分析，让学生认识到出现误差是测量中经常出现的现象。预设学生可能测量结果不一，让学生体验到测量得出的结论不一定可靠，培养学生的科学态度。
（三）眼见未必为实，观察未必可靠
生（问题二）：把三角形的三个角剪下来后拼在一起，得到“和角”，通过观察发现这个“和角”是“平角”来说明三角形内角和是180°。这算不算可靠的方法呢？ 师：同学们来观察下面几幅图，回答以下几个问题。图4中线段AB和CD哪条更长？图5中的三个人谁更高？图6中∠AOB和∠DOC哪一个是平角？
（学生议论纷纷，答案不一）
师：实际上，AB和CD一样长;三个人一样高;∠AOB=179°，∠DOC=181°，这与多数同学的观察结果不一致。请同学们谈一谈感受。
生1：∠AOB和∠DOC不是平角，但我们多数人将其看成了平角。说明通过观察得到一个角是平角的结论是不可靠的。所以，“把三角形的三个角剪下来拼凑在一起，然后通过观察得到它是一个平角”这种方法是不可靠、不嚴谨的。
生2：老师通过这些例子告诉我们“眼见未必为实”，通过观察得到的结论未必靠谱。
师：用实验探索结论，是数学学习的常用方法，但依靠观察得到的实验结论未必可靠。
【评析】实验观察是得到新结论的方法和途径，对于“找规律”是不可或缺的。但在本节课，学生通过观察教师提供的材料，得出了“意料之外”的错误结论，感悟到“眼见未必为实”——靠实验观察得到的结论可能是正确的，也可能是错误的，从而明白用拼接实验的方法得出“三角形内角和等于180°”这样的结论而不去证明是不可靠的。
（四）归纳推理误导，结论未必正确
生（问题三）：课文中李老师说的，即使不考虑误差等因素，或观察正确，即所有“拼一拼”的结果全是平角（180°）时，我们也还是有疑问的。我没有读懂，不是很明白。
师：我讲一个故事，学校校运会规定，只有跑出12秒以内的成绩，才有资格报名参加100米短跑项目，体育教师测试了我们班16名正在操场上训练的同学，所测试的学生的100米短跑成绩均在12秒到15秒之间，没在12秒以内。体育老师说，我们班的学生都没有资格报名参加100米短跑。刚说完，同学们不服气了，叫来我们班的李明同学，经测试，他的成绩是11.45秒，体育老师“被打脸”，为什么体育老师会做出错误的判断呢？
生：他没有测试完我们班所有同学就下结论了。
师：我们只能对我们测量过的对象下结论，没测量过的不能保证。下面来读一读李老师说的那段话，“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、试验的对象也是有限个。因此，要确认“三角形的内角和等于180°”，就不能依靠度量的手段和观察验证的方法，而必须进行推理论证。对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，从而得出“无论三角形的形状如何，它的内角和一定等于180°”。
【评析】事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。归纳可以为我们提出猜想提供基础与依据，是一种重要的思维方法，也是学生“找规律”最常用、最重要的方法。但是由于归纳推理是从特殊到一般的合情推理，得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。情境中的“体育教师”通过归纳得出了错误的结论，使得学生意识到归纳推理所得的结论也不一定可靠。
二、课后反思
正是怀疑激发我们去学习、去实践、去观察。在这个意义上可以说，科学的历史就是怀疑、提出问题并解答问题的历史。学生思考问题时往往把头脑中固有的方法作为首选，学生的感性认识和形象思维在“三角形内角和定理的证明”中起到了很大的作用，但数学证明不能仅仅停留在感性认识阶段，还要转化为理性认识。本课正是立足于学生对小学阶段用实验归纳的方法来探究“三角形内角和定理”的方法产生怀疑，进而对实验归纳得到的结论不一定正确产生直观的认知而展开的。另一方面，随着学生知识的增长和逻辑推理能力的增强，用“数学证明”的方法重新认识“三角形内角和定理”，增强学生演绎推理的意识，铸就学生理性精神，是培养学生的“逻辑推理”核心素养的“灵魂”，对进一步深入学习数学有重要意义。
（责编 刘小瑗）