分数阶偏微分方程在物理、金融、材料等领域有着广泛的应用,其相关理论的发展能够促进多个交叉学科的进步。在偏微分方程的研究中,正解或正径向对称解由于具有很强的物理背景而受到很多关注。本文主要运用变分法中的对称临界原理、山路引理、极大极小方法、约束极小化方法、Ekeland变分原理等研究分数阶偏微分方程和方程组正解的存在性及性态。全文一共分为7章。前两章分别介绍研究背景和一些预备知识,第3至6章给出主要研究内容,第7章总结主要结论和创新点并提出可以进一步研究的问题。下面具体介绍第3至6章的内容:第3章研究了一类带有多个孤立奇点的分数阶Schr?dinger方程组正解的对称性。当奇点为两个时,正解关于过奇点的直线轴对称;当奇点为多个时,正解关于过奇点的超平面柱面对称。对于带有单个奇点的临界分数阶方程组,Y.M.Li和J.G.Bao在文献（Nonlinear Anal.2020,191:111636）中,运用延拓法和传统移动球面法的思想证明了正解的对称性。本章在考虑更宽泛指标范围的情形下,运用直接的移动平面法得到了正解的对称性。第4章考虑了一类带有饱和项的变系数分数阶Schr?dinger方程组正基态解的存在性和集中行为。首先运用对称空间上带有Cerami条件的山路引理、约束极小化方法和移动平面法证明了一类带有饱和项的常系数分数阶Schr?dinger方程组正径向对称基态解（山路型解）的存在性;进一步地,利用常系数方程组正基态解的存在性结果,通过变系数方程组及其极限方程组的能量比较和集中紧性原理证明了变系数方程组正基态解的存在性;最后,给出变系数方程组正基态解的集中行为和衰减估计。本章在削减和放宽部分指标条件的情形下,推广了 R.Lehrer等在文献（Nonlinear Anal.2020,197:111841）中关于经典方程组的结果。第5章研究了一类带有Sobolev临界项的分数阶Kirchhoff方程正径向对称的正规化基态解的存在性。当右端的p次项为L2-次临界情形时,运用约束极小化方法、Pohozaev恒等式和Ekeland变分原理得到了正径向对称的基态解（极小元）。本章推广了 L.Jeanjean 等在文献（arXiv:2008.12084.2020）中关于经典 Schr?dinger 方程的结果,并且在证明极小化序列弱极限的L2范数不分离性时,给出了一种更简洁本质且普适性更强的方法。第6章考虑了一类分数阶Kirchhoff方程组正的或正径向对称的正规化解的存在性。在L2-临界情形下,当势函数为势阱且耦合项系数比较小时,运用约束极小化方法得到了非负极小元的存在性;进一步地,假设耦合项指数r1≥2,r2≥2且势函数满足一定的增长性条件后得到了非负解的衰减估计和H?lder连续性,进而得到了非负解的正性。在L2-超临界情形下,当势函数为零且耦合项系数比较大时,运用对称临界原理和极大极小方法得到了正径向对称的山路型解的存在性。