【摘 要】
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本文基于时间分裂和紧致有限差分方法对Schr?dinger-Poisson方程组(SPS)和二维复值Ginzburg-Landau(GL)方程进行了数值研究,提出了两类具有较高精度的快速算法,并对算法进行了分析.首先,对于SPS的线性化紧致有限差分格式,其线性化的处理是对非线性项系数应用了局部外推技巧.实际上,只需在每个时间步长上用追赶法求解两个三对角线性代数方程组.格式的另一个特点是采用紧致有限
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本文基于时间分裂和紧致有限差分方法对Schr?dinger-Poisson方程组(SPS)和二维复值Ginzburg-Landau(GL)方程进行了数值研究,提出了两类具有较高精度的快速算法,并对算法进行了分析.首先,对于SPS的线性化紧致有限差分格式,其线性化的处理是对非线性项系数应用了局部外推技巧.实际上,只需在每个时间步长上用追赶法求解两个三对角线性代数方程组.格式的另一个特点是采用紧致有限差分法对方程进行空间离散近似,从而格式能具有较高的空间精度.此外,该格式保持原问题的离散守恒律和数值解的存在唯一性.在一定的正则性假设下,文中除了利用Taylor展开和标准能量法,还引入抬升技巧和数学归纳法建立了无网格比约束的最优误差估计,证明了离散L~2-范数、H~1-范数和L~∞-范数下的收敛阶均为O(τ~2+h~4).数值计算进一步验证了新格式的收敛性和守恒性,并通过与已有文献结果的对比来展示新格式的准确性和高效性.其次,对于二维复值GL方程的紧致交替方向隐式(ADI)有限差分格式,文中通过时间分裂法将GL方程分裂成为一个非线性子问题及两个线性子问题,对非线性子问题以及其中一个线性子问题均通过精确积分进行求解.文中对另一线性子问题构造了紧致ADI差分法进行数值计算,通过追赶法在每一时间步上求解常系数三对角线性方程组,从而使得算法既具有较高精度又拥有较快的计算速度.数值实验表明该格式在离散L~2-范数意义下的数值解在时间和空间方向分别具有2阶和4阶精度,并对方程的一些动力学行为展开了模拟.
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