基于数学抽象素养的“圆锥曲线”单元学习路径研究

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“圆锥曲线”单元整体教学将几何性质与代数方程有机结合在一起,不仅体现数形结合思想,还将类比和分类讨论思想贯穿始终,在学生整个高中阶段的学习以及数学抽象素养的培养中发挥着极其重要的作用。然而,目前有关“圆锥曲线”的单元教学研究不够深入,有关“圆锥曲线”单元的教材编排也有待完善。因此,本研究试图从单元整体教学出发,构建基于数学抽象素养的“圆锥曲线”单元学习路径,以期完善相关研究并提供相应建议。本研究提出的核心问题是:有助于培养学生数学抽象素养的“圆锥曲线”单元学习路径是怎么样的?具体围绕以下三个子问题展开:(1)如何构建“圆锥曲线”单元学习路径?(2)如何验证“圆锥曲线”单元学习路径得到了优化?(3)如何验证“圆锥曲线”单元学习路径有助于培养学生的数学抽象素养?为此,本研究将按照以下步骤开展研究:首先,通过查阅文献、教材比较,拟定“假想的学习路径”。其次,邀请专家团队对“假想的学习路径”进行分析,提出修改建议,得到“初构的学习路径”。然后,依据“初构的学习路径”在A班开展教学,课后进行后测与访谈,并邀请专家团队对路径开展研讨并改进,得到“优化的学习路径”。再次,依据“优化的学习路径”在B班开展教学,课后亦进行后测、访谈与研讨,改进得到“完善的学习路径”。最后,分析A、B班学生的课时后测情况、实验班和对照班的单元后测情况,并授课结束两周后,对实验班进行综合后测。基于上述研究,得到以下结论:(1)“圆锥曲线”单元的整体教学需要注意不同概念间的联系,带领学生经历概念的发生发展过程。其中,椭圆的教学可以从光线照射引入,逐步抽象出Dandelin双球模型,进而得到椭圆上点的几何特征;双曲线的教学可以延续椭圆教学的情境,并类比椭圆的探究过程,通过“找定点、找等价线段、找定值规律”来探索双曲线上点的几何特征;抛物线的教学可以通过Dandelin双球模型,借助椭圆和双曲线的定义,引导学生直观感知定点与定直线的位置,并发现抛物线上点的几何特征。(2)“圆锥曲线”单元的整体教学可以从“大情境、大问题、大概念、大格局”四方面着手。其中,大情境是Dandelin双球模型,大问题是“曲线上的点应该满足怎样的几何特征”。大概念分为内容大概念和过程大概念:内容大概念是理解椭圆、双曲线和抛物线的轨迹定义,清楚其轨迹定义的探究过程,并基于轨迹定义推导标准方程;过程大概念是圆锥曲线概念的形成过程,即数学抽象素养提升的过程。大格局体现在单元教学的从始至终。(3)通过对比椭圆、双曲线和抛物线的课时后测,认为三条学习路径在经过研讨、修改后,得到了一定程度的优化。通过对比实验班和对照班的单元后测和综合后测,认为本研究最终重构的三条学习路径有助于学生理解圆锥曲线的相关概念,以及培养数学抽象素养。据此,从教师教学和教材编写两个角度提出以下建议:教师教学方面:1)“圆锥曲线”单元的教学要认识到Dandelin双球模型的重要性;2)“圆锥曲线”单元的教学应当聚焦核心问题;3)“圆锥曲线”单元的教学应带领学生经历曲线上点的几何特征的探究过程;4)“圆锥曲线”单元的教学要引领学生建立三种曲线的统一。教材编写方面:1)“椭圆及其方程”在情境引入部分,以太阳光照射操场上的球为情境;在“探究”栏目中设置动手操作活动;增设“思考”栏目。2)“双曲线及其方程”增加节前语;增设“合作学习”栏目,组织学生类比椭圆的探究过程,通过小组合作完成问题;增设“思考”栏目。3)“抛物线及其方程”增加节前语;增设“合作学习”栏目;在给出轨迹定义以及整体教学后,分别增设“思考”栏目。
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