谱方法、有限元法、有限差分法都是求解线性与非线性微分方程的有效数值方法。谱方法是一类对微分方程空间变量离散的方法，它主要由试探函数（也称基函数或展开函数）和检验函数组成。谱方法中的试探函数为无穷可微的整体函数（通常是奇异或非奇异Sturm-Liouville问题的特征函数）。根据检验函数的选取不同，可将谱方法分为谱Galerkin方法、谱配置法（也称拟谱方法）和谱Tau方法。谱方法最大优势在于它具有所谓的“无穷阶收敛性”，但这必须要求原问题的真解能够达到充分光滑，这样就导致了谱方法的缺点是不能灵活地适应复杂区域的计算。本文将谱方法中的谱配置法和谱Tau方法引入到延迟微分方程与积分代数方程上来，并对收敛性进行了深入研究。　　本研究主要内容包括：⑴谱配置法是将检验函数取为以配置点为中心的Dirac-δ函数，这样使得微分方程在配置点上精确成立。将选取Legendre-Gauss型求积公式节点为配置点、选取Legendre多项式为试探基函数的配置法称为Legendre-Gauss配置法。本文将运用Legendre-Gauss配置法数值求解非线性中立型延迟微分方程和非线性Volterra型延迟积分微分方程。这两类方程的解在求解区间内的整体光滑性并不理想，这是因为真解在求解区间内个别点上的光滑性很差，从而导致整体光滑性不佳，而这些点是由方程中延迟函数θ(t)所确定的。为解决这一难题，本文提出了多区域Legendre-Gauss配置法。该方法是将求解区间进行充分剖分，从而保证方程真解在每个子区间都能够充分光滑；然后分别在每个子区间内求其配置解，进而获得全局数值解。按此方法获得的数值解是能够具备谱精度的，即真解只要能在由θ(t)确定的那些点之外充分光滑，则数值解就能够做到“无穷阶收敛”。⑵与以往的谱Tau方法不同，Lanczos和Ortiz提出了一种便于操作的Lanczos Tau方法。这种方法不需要进行积分近似，它是将微分方程直接近似转化为代数方程组。本文运用Lanczos Tau方法来求解比例型线性Volterra延迟积分微分方程。由数值算例的对比结果可见，相比Legendre配置法的高精度，Lanczos Tau方法的优势在于它的高效性。在达到相同收敛阶时，Lanczos Tau方法所用时间要远远少于Legendre配置法所使用的。本文同时给出了Lanczos Tau方法在一般情形下的收敛性分析，并指出了决定其收敛速度的关键因素，这些理论结果在以往的研究成果中是比较少见的。⑶配置法中，取等距节点 jh(j=0,±1,±2,…，h>0)映射到求解区域的对应点为配置点，取Sinc基函数为试探基函数的配置法称为Sinc配置法。Sinc配置法是另一种高精度的数值方法，它不需要方程具有较高的正则性。作为试探基函数的Sinc基函数能够对奇异、振荡等问题给出很好的逼近，并同时具备良好的稳定性，这使得Sinc配置法在处理复杂方程时具有许多优势。本文运用Sinc配置法求解比例型线性Volterra延迟积分微分方程和具有指标1的积分代数方程，这是Sinc配置法应用的新尝试。通过误差分析可知，Sinc配置法是能够以指数阶收敛的高精度数值方法。