【摘 要】
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结构矩阵低秩逼近问题是数值代数和非线性优化领域研究的热点问题之一.它在资产配置、图像与信号处理、潜在语义分析、机器学习等领域有着广泛的应用.本文系统研究如下三类结
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结构矩阵低秩逼近问题是数值代数和非线性优化领域研究的热点问题之一.它在资产配置、图像与信号处理、潜在语义分析、机器学习等领域有着广泛的应用.本文系统研究如下三类结构矩阵广义低秩逼近问题的理论与数值方法. 第二章，研究资产配置中的广义相关系数矩阵低秩逼近问题:此公式省略,利用Gramian表示和三角函数变换，将广义相关系数矩阵低秩逼近问题等价转化为一个无约束优化问题.构造了强 Wolfe线搜索下的非线性共轭梯度算法求解转化后的问题，并利用资产配置中的数据进行计算机仿真实验，数值效果好. 第三章，研究投资组合中的相关系数矩阵Q-加权低秩逼近问题:此公式省略,借助拉直逆算子，给出 Q-加权范数的一个新性质，并利用该性质将原问题转化为多项式约束下的迹函数极小化问题.证明了原问题与新问题在秩亏损情形下的等价性,再构造非单调谱投影梯度算法求解等价转化后的极小化问题.数值实验表明新算法比传统的优化算法具有更快的收敛速度. 第四章，研究信号处理中的半正定Hankel矩阵加权低秩逼近问题:此公式省略,利用半正定Hankel矩阵的范德蒙分解，将半正定Hankel矩阵加权低秩逼近问题等价转化成一类无约束优化问题.再运用 Armijo线搜索下的梯度算法对等价问题进行求解，数值实验表明新方法是可行的.
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