图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、计算机科学、通信网络等学科都有着广泛的应用.图论首先研究的是图的结构问题,为此人们引入了各类矩阵,如邻接矩阵、关联矩阵、拉普拉斯矩阵等,如何用矩阵的代数性质反映图的结构性质成为图谱理论研究的一个重要课题,其中矩阵的代数性质主要是指其特征值和特征向量.本文主要研究了图的邻接矩阵的特征值,利用代数方法建立它们与图的结构的一些联系.本文的主要内容如下:第1章首先介绍了本文用到的一些重要概念和符号,其次介绍了本文研究背景及现状,最后介绍了所做的主要结果.第2章研究了 Elphick等人提出的在n个顶点的连通图G中min（s+,s-）≥n-1的猜想,其中s+和s-分别表示G的正特征值平方和、负特征值平方和.首先证明了 min（s+,S-）≥n-1成立的必要条件,其次利用一类邻接矩阵的计算方法,得出了联图Kk2∨（Kk1+Kn-k1-k2）满足猜想,另外也得出最大度为n-1的连通图G有s+≥n-1.第3章研究了单圈螺旋图的谱半径.给定单圈图度序列π,对应该度序列的连通图中谱半径最大的图称为单圈螺旋图,记为Uπ*.首先研究了n个顶点的单圈图度序列对应的单圈螺旋图的集合,利用优超关系刻画了最大度一定的情况下谱半径最大和最小的单圈螺旋图,其次研究了一类没有优超关系的单圈图度序列对应的单圈螺旋图的谱半径,利用图的邻接矩阵的特征多项式以及函数零点的性质,得出了判断它们谱半径大小的条件.主要结论为:1.对于单圈图度序列π=（n-i,2,2,…,2,1,…,1）和π’=（n-i-1,i+2,2,1,…,1）,其中n-i-1≥i+2,一定存在正整数N,当n>N时,ρ（Uπ*）>ρ（Uπ’*）;2.对于单圈图度序列π=（n-i,2,2,…,2,1,…,1）和π’=（n-i-1,n-i-1,…,n-i-1,dj+1,1…,1）,其中 n-i-1<i+2,一定存在正整数N,当n>N时,ρ（Uπ*）<ρ（Uπ’*）.第4章总结了本文研究内容并提出进一步研究的方向.