多项式优化问题是优化领域内最根本的问题之一。在生产实践中,有大量源于生物工程、控制、信号处理等领域的问题都可以归结为多项式优化问题.本文着重研究多项式优化领域内的三个问题:精确验证多项式的全局非负性、求大规模多项式系统的实根,给定具有正维实代数簇的多项式理想I,求实根理想I(VR(I))的一组Gr(o)bner基.　　 本文首先讨论如何通过求数目最少的多项式平方和分解来精确验证多项式的全局非负性.该问题可以转化为低秩对称半正定矩阵的恢复问题.针对此问题我们提出了一种新的一阶算法一改进的不动点迭代算法(MFPC-BB),并给出了算法的收敛性分析.算法以不动点迭代算法中的算子分裂技术为基础,通过改进阈值算子以适应对称半正定矩阵的恢复.同时,我们还引入Barzilai-Borwein技术进行参数的选取,提高了算法的收敛速度.在此方法基础上,我们又提出一种加速的不动点迭代算法(AFPC-BB),将收敛速度提高为二次收敛.数值实验显示AFPC-BB算法对于低秩对称半正定矩阵的近似或准确恢复较基于半定规划的方法提速明显,更适合大规模问题的求解.　　 我们将多项式系统实根求解的问题转化为低秩矩量矩阵的恢复问题,并利用AFPC-BB算法求解.同时,我们给出了算法的收敛性分析和在Maple和Matlab中的实现(MMCRSolver).对于较大规模的多项式系统,如果只存在一个或少数几个实根,MMCRSolver能够快速地将它们求解出来。与此同时,如果多项式系统有无穷多个实根,MMCRSolver仍能求出其中部分孤立实根或是在代数流形上的实根.　　 给定实系数多项式环中具有正维实代数簇的理想I,我们提出了一种基于矩量矩阵半正定松弛方法的符号一数值混合算法求理想I的实根理想Ⅰ(VR(Ⅰ)).通过将几何对合理论与半正定矩量矩阵的性质相结合,我们提出了正维情形下半正定松弛方法终止的判定定理.基于猜想5.1,我们证明了在δ一正则坐标系下,判定定理中的条件一定在有限步的半正定松弛内满足,并给出了实根理想,IVR(I)的Gr(o)bner基.与此同时,给定半代数集合S,我们将算法推广到求S-根理想,I(VR(I)∩S)的Gr(o)bner基.