有限单元法是结合计算机应用的高效数值计算方法,传统的有限元方法划分网格时要求单元边界与研究对象的位移边界、材料边界等保持一致,以保证单元内部场函数的连续性,同时需要划分足够精细的网格来获得所需的精度,这就增加前处理、求解和后处理阶段的麻烦。扩展有限单元法不仅采用间断函数来描述研究对象的边界不连续和材料不连续,还增加表征特殊位置的特殊位移场(即富集函数),来提高一定网格划分数量下的计算精度。这一特性在研究断裂问题、剪切带问题、错位问题、颗粒界面等方面有独特的优势。与传统有限单元法不同,扩展有限单元法网格不需要与不连续边界保持一致,不连续边界(裂纹、孔洞等)可以任意穿过单元内部,只需要采用适当的位移修正函数来描述不连续的单元。大量学者发现偶应力理论考虑了材料的微观曲率,采用具有表征特征尺寸参数后,能描述宏观连续介质力学所不能解释的微小结构的尺寸效应,因此该理论在微机电、裂隙扩展、纳米材料等方面已经有广泛应用。本文基于偶应力理论和扩展有限单元法的特点,将偶应力理论和扩展有限单元法结合到一起,由偶应力的几何方程和本构方程,通过能量变分原理得到扩展有限单元格式,然后带入Hermite插值得到刚度矩阵。在结构不连续位置,引入水平集方法判断单元和节点的富集类型,并加入表征位移间断函数和描述裂纹尖端的富集场函数,来描述不连续结构的力学特性。采用Fortran高级语言编程实现数值仿真。首先利用结构体存储结点和单元属性信息、裂纹路径信息,基于这些结构信息求出单元、节点与裂纹的关系,从而得出矢量水平集方法的两个函数值,据此判别出单元和节点的富集类型。然后由有限元格式、节点信息、单元富集信息和插值函数及其导数计算出每个单元刚度矩阵,为了避免矩阵过大而采用单刚直接存储进入二维刚度矩阵的方法,在施加边界条件之后利用二维带宽数组的高斯消去法求解出位移向量,进而求得高斯点的力学参数。最后对结果数据进行可视化处理,减少不同编程语言和软件之间数据互导的麻烦,这需要对扩展有限单元法的单元进行分片应力磨平,才能得到节点和单元内部各处的力学参数。通过和文献对比经典I型裂纹J积分及应力强度因子,表明在网格数量较少而且规则的情况下,扩展有限单元法的简单易行、高效和准确性采用最大周向拉应力理论求解裂纹尖端附近区域各点的环向拉应力值,据此作图和进行数据分析。根据修正偶应力理论下的扩展有限单元法计算结果表明,I型裂纹开裂角不变,但是裂纹尖端附近的应力场由于引入描述微观结构特性的偶应力理论后,应力值有所降低,即应力集中强度有所降低。这样,破裂载荷也有所提升。偶应力理论下,材料的微观结构参数越大,I型裂纹开裂角基本不变,但是应力值有所降低。采用最大周向拉应力理论对45°内置斜裂纹的分析表明,修正偶应力理论下内置斜裂纹扩展角相对于经典理论的和一般偶应力理论的扩展角有所减小,而且随着材料微观参数的增大,周向拉应力值降低,但是扩展步长会增加。