交换的Noetherian环上理想的整闭包的概念最早是由D.G.Northcott和D.Rees共同提出。此后，很多学者开始研究交换的Noetherian环上理想的整闭包及其性质，并得到了很多成果。1961年，D.Rees证明了对于解析非分歧的局部Noetherian环上的理想I，存在某常量k，对任意的n≥k，都有(In)∈In-k。1974年，Briancon和Skoda用分析的方法证明出，如果I是收敛的幂级数C{x1，…，xn}上的理想，则In的整闭包是包含在I中的。1998年，Aron Simis，Wolmer V.Vasconcelos和Rafael H.Villarreal考察了单项式子环的整闭包，描述了单项式子环构成的图，其中图的边缘是由二次无平方因子的单项式生成的。　　本文在此基础上研究了完全不可约理想，完全强不可约理想以及它们的整闭性。特别地，我们证明了如果R是完全算术环，则R上每一个完全不可约理想都是整闭的。进而我们得到了在完全算术环R上，每个真理想都可以唯一地被写成R中一些互不相同的极大理想的交，因此，R上的理想都是整闭的。作为应用，我们考察了边缘理想的整闭包在安全通信方面的应用，通过把边缘理想的地图进行加密，对方在收到加密过的地图后，根据边缘理想的整闭包的求法将原始的边缘理想的地图解密出来，完成了信息的安全传递。这保证了信息的相对完整性与安全性。