【摘 要】
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自由边界问题是边界不为给定的一类偏微分方程的定解问题,其边界部分和问题的解要一起确定.自由边界问题本质上是非线性的.求解自由边界问题的数值方法主要可以划分为三类:边
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自由边界问题是边界不为给定的一类偏微分方程的定解问题,其边界部分和问题的解要一起确定.自由边界问题本质上是非线性的.求解自由边界问题的数值方法主要可以划分为三类:边界跟踪法,区域固定法和边界固定法.随着自由边界问题实际应用背景的扩大,新的数值方法思想不断产生.本文用边界固定法结合Legendre谱方法来求解单相自由边界问题.由于谱方法具有高精度,日益受到重视,本文给出了用Legendre-Tau方法来求解两个经典的单相自由边界问题的数值分析,时间方向采用Crank-Nicolson离散格式,在H<1>模下得到O(N<1-r>+△t<2>)的误差估计,并且给出的数值算例很好的说明了这一结果;这里N为基函数的个数,△t为时间步长,1-r为与真解的光滑性有关的收敛阶.两个经典的单相自由边界问题分别为带第一类边界条件的单相自由边界问题和带混合边界的单相自由边界问题.最后,本文也讨论了一些相关课题:针对转化成自由边界问题的带红利的美式买入期权的定价问题做了一些尝试性的工作,用Legendre谱方法来求解这一问题,并给出了半离散和全离散格式.
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