判断一个给定的图是否具有某种性质一直是图论的热点话题。因为图的谱可以很好地反映图的结构性质,并且易于计算,所以近年来利用图谱理论研究图的结构性质越来越常见,得到了很多重要结论。在化学图论中,我们用分子图来描述化学分子的拓扑结构。拓扑指数是理论化学中的一种拓扑不变量,它们是不依赖于图的画法和标号的实数,在一定程度上反映了化学分子的结构性质,因此拓扑指数也被用来刻画图的各种性质。本文分别从谱半径、无符号拉普拉斯谱半径、三类基于离心率的拓扑指数出发,从不同的角度刻画了图的若干性质。具体内容安排如下:第一章,首先介绍本文的研究背景与意义,然后介绍本文的基本符号与概念,最后阐述了本文的主要结论。第二章,首先根据图的不同性质具有相应的稳定性,进行闭包运算并构造相应闭包,然后对闭包补图分类讨论,最后得出当补图谱半径不超过某个数时,给定较大最小度的图G是α（G）≤s,s-哈密尔顿-连通、包含Cs,P s,K 2,s,s K2或s-因子的。第三章,首先对原图进行闭包运算并构造了相应闭包,然后对闭包补图分类讨论,最后得出当补图的无符号拉普拉斯谱半径不超过某个数时,图G是α（G）≤k,哈密尔顿-连通、包含Cs,P s,K 2,s,s K2或s-因子的。第四章,首先给出了图的不同性质的度序列条件或边充分条件,然后利用代数运算和不等式相关技巧,分别根据离心连通指数、离心距离和及连通离心指数提出了图G是α（G）≤k,弱哈密尔顿-连通、β-亏损、或k-边连通的充分条件。第五章,根据前三章的研究内容,概括本文的主要研究方法和结论,并指出本文存在的不足之处以及可以继续研究的内容。