上世纪20年代,芬兰数学家Rolf Nevanlinna.建立了的该世纪最为重要的数学理论之_,复平面C上的亚纯函数的值分布理论,即通常因纪念他而被称之为的Nevanlinna理论.该理论主要由两部分组成,即Nevanlinna第一及第二基本定理,并且后者显著地推广了Picard小定理.因此,Nevanlinna理论不仅是经典函数论发展史上的一个里程碑,而且还标志着现代亚纯函数理论的开端.在随后的八十年里,Nevanlinna理论不但自身不断地发展完善,而且还被广泛地应用于亚纯函数的唯一性、正规族、复动力系统以及复微分方程等诸多理论的研究上面.　　 1929年,Roll Nevanlinna利用其自己创立的值分布理论来研究亚纯函数的唯一性问题,即在何种值分布的条件下一个亚纯函数可以被完全确定,并且证明了著名的Nevanlinna五值、四值和三值定理,从此拉开了亚纯函数唯一性理论研究的序幕.半个多世纪以来,国外数学家以及我国的很多数学家在惟-性方面取得了令人瞩目的成果,使之得到了蓬勃发展.　　 亚纯函数与其导数的分担值问题是亚纯函数唯一性理论的一个重要研究课题.1977年,Rubel-Yang[4]研究了整函数与其导数具有两个CM公共值的情形.其后,Mues-Steinmetz[25],杨连中[26],Gundersen[27]等不断改进并推广了有关结果.但是关于亚纯函数与其导数具有一个CM公共值的问题,直到1996年才有Raider Brück提出了Brück猜想.之后,也有不少学者经过深入研究取得了许多结果.其中Q.C.zhang[24],Fang-Hua[23],Zhang-Lin.[21]还深入研究了亚纯函数与其微分多项式分担一个值的问题.　　 本文主要介绍作者在扈培础教授的精心指导下做的关于亚纯函数在其微分多项式分担一值时的唯-性问题,全文共分为三章.　　 第一章,扼要介绍了本文的研究背景,Nevanlinna理论中的常用记号,并叙述了亚纯函数理论中的一些基本概念和结果.　　 第二章,我们主要研究了当亚纯函数的微分多项式分担一值时的唯一性问题,我们改进了Renukadevi.Dyavanal[9]的一些结论.主要结论如下:　　 定理2.1.设f(z)和g(z)是两个非常数的亚纯函数,并且它们的零点和极点的重数最小为s,其中s是一个正整数。设n≥2是一个正整数且满足(n+1)s≥21,如果fnf和gng分担1IM,那么或者f=dg其中常数d满足dn+1=1,或者,f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,其中c,c1,c2是满足(c1c2)n+1=-1的三个常数.　　 下面我们进一步考虑微分多项式fn(f-1)f和gn(9-1)9分担一值的唯一性问题.　　 定理2.2.设f(z)和g(z)是两个非常数的亚纯函数,并且它们的零点和极点的重数最小为s,其中s是一个正整数且满足θ(∞,f)＞2/n+1.设n≥2是一个正整数且满足(n+1)s≥21,如果fn(f-1),f和gn(g-1)g分担1IM,那么f≡g.　　 当我们把微分多项式推广到fn(f-1)2f时,我们可以得到下面的定理.　　 定理2.3.设f(z)和g(z)是两个非常数的亚纯函数,并且它们的零点和极点的重数最小为s,其中s是一个正整数.设n≥3是一个正整数且满足(n+1)s≥21,如果fn(f-1)2f和gn(g-1)2g分担1IM,那么f≡g.　　 第三章我们主要研究了更一般的微分多项式fnP(f)(k)分担一值时亚纯函数的唯-性问题.推广了由Lü,Chen和Yi[12]所得出的结果,主要结果如下:　　 定理3.1.设f(z)是非常数的亚纯函数,并且n,k,m是满足n≥k+3的正整数,那么[fnP(f)](k)=1,(am≠0)有无穷多个解.　　 在上述定理成立的条件下,我们可以得到下面的关于微分多项式分担一值的唯一性定理.　　 定理3.2.设f(z)和g(z)是两个超越的亚纯函数,再设P(f)=amfm+am-1fm-1+…+aifi(am≠0,ai≠0,0≤i≤m),且n,k,m是满足n＞6m+9k+13的正整数,如果fnP(f)(k)和gnP(g)(k)分担1IM,并且f,g分担∞IM,那么　　 (1)如果0≤i＜m,那么或者f(z)≡g(z)或者f,g满足代数体方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=wn1P(w1)-wn2P(w2).　　 (2)如果i≡m,那么或者有f(z)≡tg(z),其中t为满足tn+m=1的常数,或者f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,其中c,c1,c2为满足(-1)ka2m(c1c2)n+m[(n+m)c]2k=1的常数.