本文研究两种简化的Ericksen-Leslie模型的整体适定性问题:(1)三维不可压向列型液晶方程组这里u=u(x,t)表示流体的速度场,d=d(x,=表示液晶分子方向场,p=p(x,t)是压力函数,▽d(?)▽d是一个3 × 3矩阵,它的第(i,j)项是αxid·αxjd,这里i,j= 1,2,3,也就是(▽d(?)▽d)ij=∑3k=1αxidkαxjdk.μ,λ,γ分别表示运动黏度,动势比率和弹性松弛系数.如果分子方向场d=0,方程组(0.0.1)就退化成了经典的Navier-Stokes方程.由于Navier-Stokes方程在三维空间光滑解的整体存在性还没有解决,因此,不可压液晶方程在三维空间光滑解的整体存在性也是一个公开问题.围绕这个问题,国内外许多数学家进行了探索.最近,Wen和Ding[25]得到方程组(0.0.1)在[0,T]上存在局部光滑解,这里T = T(‖u0‖Hs,‖d0‖Hs+1)是局部存在时间.一个自然的问题就是局部光滑解能否延拓到T之外,而不发生爆破.本文第三章将考虑这个问题,并在负指标Besov空间中得到了一个BKM型的爆破准则,即:如果T*是局部解的最大存在时间,那么(2)分数阶耗散的广义液晶方程组这里∧傅里叶变换定义为∧f(ξ)=|ξ|f(ξ),f(ξ)表示f(x)的傅立叶变换.方程组(0.0.2)在二维空间光滑解的整体存在性,只有在特定的α,β取值下才能得到.比如在 α = 0,β>1(Wang,Zhu[35])或者α>0,β= 1;α+β = 2,0<β<1(Jin,Zhu,Jin[40]).如果分子方向场d上不加耗散(β=0),而适当地提高速度场u上的耗散,能否得到光滑解的整体存在性?本文第四章将要研究这个问题,并且是在n维空间上考虑.我们不但可以得到当β=0，α≥1+n/2时,方程组(0.0.2)的光滑解是整体存在的,还通过引入对数因子,将此时速度场上的耗散进行对数阶降低,具体来讲:第四章考虑n维空间中广义液晶方程组.这里算子ξ:=∧α/g(∧)用傅立叶变换定义为ζu(ξ):=(?),这里g:R+→R+满足1 ≤g(s)2≤C0log(e+s).并且得到如下结果:设初始值(u0,d0)∈Hk(Rn)× Hk+1(Rn),▽.u0=0,>1+n/2.速度场上的耗散定义为:ζ2u(ξ):=(?),其中 α≥1+n/2,R+→R+满足1≤g(s)2≤C0log(e+s),C0是一个正常数,则方程组(0.0.3)有唯一的整体光滑解,并且满足:u,▽d∈L∞(0,T;Hk(Rn)),ζu ∈L2(0,T;Hk(Rn)).