【摘 要】
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本文研究了几类发展偏微分方程的适定性和渐近性.这些方程包括磁流体力学（MHD）方程组,KdV-BO 方程,Ostrovsky 方程和 Boussinesq 方程.首先我们在第二章研究三维MHD的适定性,利用Diophantine条件获得一个高阶沿一特定方向的Poincare型不等式,进而得到解的一致估计,从而利用连续性方法证明小初值解的整体存在性和解的衰减性.第三章研究了线性KdV-BO方程的Ca
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本文研究了几类发展偏微分方程的适定性和渐近性.这些方程包括磁流体力学（MHD）方程组,KdV-BO 方程,Ostrovsky 方程和 Boussinesq 方程.首先我们在第二章研究三维MHD的适定性,利用Diophantine条件获得一个高阶沿一特定方向的Poincare型不等式,进而得到解的一致估计,从而利用连续性方法证明小初值解的整体存在性和解的衰减性.第三章研究了线性KdV-BO方程的Carleson问题并且给出了具有随机初值的线性KdV-BO方程解的几乎处处收敛性结果.第四章给出了 Ostrovsky方程解的不收敛集Hausdorff维数.第五章主要研究具有随机初值的线性Boussinesq方程几乎处处收敛性问题.第二章中我们研究了 T3中的MHD方程:利用Diophantine条件获得一个高阶沿一特定方向的Poincaré型不等式,证明了对任意γ≥4r+7,r＞2,（u0,b0）∈ Hγ（T3）且满足∫T3 u0 dx=∫T3b0 dx=0.若存在充分小的常数ε使得‖u0‖Hγ+‖b0‖Hγ≤ε.则存在全局解（u,b）∈ C（[0,∞）;Hγ),且当r+4 ≤ α＜γ时,解具有下面的衰减性:‖u（t）‖Hα+‖b（t）‖Hα≤C（1+t）-3（γ-α）/2（γ-r-4）.在第三章我们研究了线性KdV-BO方程的Carleson问题:其中γβ＞0.证明了当f∈ Hs（R）（s ≥1/4）时,方程（0-1）的解u（x,t）=Utf（x）在R上几乎处处收敛于初值f（x）.进一步给出了解的不收敛集的Hausdorff维数:α1,U（s）=1-2s,1/4≤s≤1/2.最后我们得到在更低正则性下初值的随机连续性,也就是说通过随机化方法,只需要求初值f∈ L2（R）,相应于随机化初值fω的解uε（t,x）=Utfω（x）几乎处处收敛于fω,关于ω∈Ωa.s.成立.第四章,我们研究了线性Ostrovsky方程的Carleson问题:其中f∈Hs（R）.得到Ostrovsky方程（0-2）不收敛集的Hausdorff维数:α1,U（s）=1-2s,1/4≤s≤1/2.第五章,我们考虑了具有随机化初值的线性Boussinesq方程的逐点收敛性问题:其中f∈ L2（Rn）或者f∈ L2（Tn）,得到了类似于第三章的结果,即相应于随机化初值fω的解uω（t,x）几乎处处收敛于fω,关于ω ∈ Ω a.s.成立.
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