矩阵广义逆有很多应用,研究矩阵广义逆表达式问题非常重要.其中,分块矩阵群逆的表达式问题是学者们研究较为活跃的部分,矩阵的群逆有很多重要的应用,分块矩阵的群逆在求解奇异微分方程和差分方程、线性方程组、迭代方法、概率统计、马尔可夫链、密码学等诸多领域中有着重要的应用,因此研究分块矩阵的群逆表达式有着重要意义.　　电阻距和基尔霍夫指标在数学领域和化学领域都有非常广泛的研究.电阻距与广义逆又有着密切的关系,电阻距的公式也可以用群逆来表示.因此,基尔霍夫指标的界也可以用矩阵的群逆来表示,也就是说群逆可以用到基尔霍夫指标问题中,所以说群逆和基尔霍夫指标问题都需要做深入研究。　　Campbell和Meyers提出了一个2′2阶分块矩阵的群逆表达式open问题.由于问题的难度较高和计算方法的局限性,这些问题至今尚未被完全解决.在过去的几十年里,国内外有很多学者在这方面做了大量的工作,给出了在一定前提条件下2′2阶分块矩阵群逆和Drazin逆表达式的一些研究结果.由此考虑,本文利用矩阵分块、两个矩阵加和公式、值域的性质给出了在一定前提条件下2′2阶分块矩阵的群逆的存在性和它的群逆表达式。　　Klein和Randic提出了图的电阻距的概念,并且指出电阻距不仅是定义在图上的距离函数,而且是图的重要的不变量.Klein和Randic还提出了一个类似于Wiener指标的新指标,就是图G中所有点对之间的电阻距之和,并且最终命名为基尔霍夫指标.国内外有很多学者在这方面做了大量的工作,给出了一些特殊图的基尔霍夫指标的界.研究基尔霍夫指标的界是一个值得继续研究的问题,同时也是一个具有一定的难度的问题.本文给出了一般图的一些基尔霍夫指标的界,利用了函数求导求基尔霍夫指标的单调性来得到基尔霍夫指标的极值方法和通过对复合函数的求导来解决极值问题的等方法.求出了基尔霍夫指标的界的一些界,并对这些界做了比较,给出了基尔霍夫指标最优界。