带有周期时滞的泛函微分方程在生物学，经济学，生态学和人口动力系统等实际问题中有着广泛的应用，例如动物血红细胞存在模型，人口动力系统模型等等，因此对带有周期时滞的泛函微分方程周期解存在性的研究就更具有现实意义。近年来，许多学者对泛函微分方程周期解的存在性进行了深入而细致的研究，并取得了相当丰富的研究成果。本文主要研究一阶泛函微分方程周期解的存在性，分两部分进行讨论：第一章中，我们应用偏序理论和拓扑度理论讨论了一阶泛函微分方程y′（t）=-a（t）y（t）+h（t）f（t，y（t-τ₁（t）），y（t-τ₂（t）），…，y（t-τ_n（t）））的非平凡周期解的存在性，其中α（t），h（t），τ_i（t）（i=1，2，…，n）是以T为周期的连续函数，且integral from n=0 to T a（t）dt＞0（T是正常数），对任意的t∈R有h（t）＞0，f∈C(Rⁿ⁺¹，R)对第一变量是T-周期的。本章将相关文献中的单时滞泛函微分方程推广为多时滞，并得到了如下的结论：定理1．3．1如果f（t，u）=f₁（t，u）-f₂（t，u），其中f_i（t，u）是非负连续函数，且f_i（t，0）=0（i=1，2），假设对所有t∈R都成立，其中u=（u₁，u₂，…，u_n）∈Rⁿ，|u|=（?）|u_i|，则方程（1．2．1）至少存在一个非平凡的T-周期解。在第二章中研究了一阶泛函微分方程y′（t）=-a（t）y（t）+h（t）f（t，y（t-τ₁（t）），y（t-τ₂（t）），…，y（t-τ_n（t）））存在多个正周期解的几个充分条件．其中a（t），τ_i（t）（i=1，2，…，n）是以T为周期的连续函数，integral from n=0 to T a（t）dt＞0（T是正常数），f∈C（R×[0，∞）ⁿ，[0，∞))对第一变量是T-周期的。在这一部分的讨论中，我们应用了不动点指数理论得到了两个正周期解的存在性定理及两个推论：定理2．3．1假设（H₁）-（H₃）成立，则方程（2．2．1）至少存在两个T-正周期解y₁，y₂满足0＜‖y₁‖＜ρ₁＜‖y₂‖。推论2．3．1假设定理（2．3．1）中的条件（H₁）与条件（H）₂被条件（H）₇和（H）₈所代替，结论依然成立。定理2．3．2假设（H₄）-（H₆）成立，则方程（2．2．1）至少存在两个T-正周期解y₁，y₂满足0＜‖y₁‖＜ρ₂＜‖y₂‖。推论2．3．2假设定理（2．3．2）中的条件（H₄）与条件（H₅）被（H）₉和（H）₁0所代替，结论依然成立。本节所用方法异于有关文献中的Krasnoselskii不动点定理，最后所得的上述结论改进和推广了这些文献中的相应结果。