【摘 要】
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孤立子方程作为无穷维可积系统，与有限维可积（Hamilton）系统之间的联系也一直是人们感兴趣的研究课题. 著名数学家Ablowitz和Flaschka曾猜想：孤立子方程可通过某种约化得到有限维
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孤立子方程作为无穷维可积系统，与有限维可积（Hamilton）系统之间的联系也一直是人们感兴趣的研究课题. 著名数学家Ablowitz和Flaschka曾猜想：孤立子方程可通过某种约化得到有限维可积系统,但一直没能找出实现这一约化的有效途径. 曹策问教授等通过孤立子方程Lax对的位势与特征函数间的约束，成功地将孤立子方程约化为有限维可积系统,解决了Ablowitz和Flaschka猜想,从而得到一大批有限维可积系统. 关于由约束得到的有限维系统的可积性质,通过引入Morse-Cao坐标,得到了相关N-维系统的N个相互独立和对合的守恒积分,证明其是Liouville意义下完全可积系统. 但如何得到这些有限维可积系统的解,一直是人们关注的研究课题，遗憾的是,该系统的解一直没有能够通过求解得到.
本文利用Painleve分析方法成功地求解了一个与Kdv孤立子方程的谱问题相关联的N维Hamilton系统.
通过Painleve分析方法,我们得到了该系统的Backlund-Darboux 变换,并求出了相应的一些精确解. 如指数形式解,周期解,椭圆函数解等.
本文的另一内容是利用Painleve分析方法,研究（2+1）维BKK孤立子方程的可积性质及求精确解. 该方程有众多学者研究其孤立子性质和求解. 本文通过利用Painleve分析测试方法,证明在一定条件下（2+1）维BKK孤立子方程是Painleve可积的,得到了BKK方程的Backlund-Darboux变换.通过研究求解Schwarz方程,得到了BKK方程的精确解.
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