众所周知，Navier-Stokes在流体力学中起着非常重要的作用，许多学者对Navier-Stokes方程也进行了研究，发展了方程的各种形式，并运用有限差分、有限元和谱方法来解决此问题。在差分方法和有限元方法中，一个算法的精度被格式本身所限定，而谱方法却具有所谓的“谱精度”，即逼近解的精度会随着精确解光滑性的提高而提高。若原问题的解充分光滑，那么谱方法的收敛阶将是无穷阶的。本文主要就是对二维Navier-Stokes方程流函数形式的二阶隐的Legendre谱格式做了些相关的研究。 第一章中，我们介绍了流体力学和谱方法的一些基本知识，以及谱方法的几种形式，然后引出了Navier-Stokes方程的流函数形式。 在第二章中，对二维Navier-Stokes方程的流函数形式方程的弱形式以及弱解的存在性、惟一性和正则性等性质作了详尽的介绍。为了解决问题的方便，引入了三线性泛函。 第三章中针对二维Navier-Stokes方程建立了高精度的二阶隐的Legendre谱格式。该格式在时间方向具有两阶精度，在空间方向具有谱精度，且保持了离散能量的守恒性，此外还模拟了该问题长时间性态。我们用Brower不动点理论证明了数值解的存在惟一性。 在第四章，我们利用离散能量方法严格估计了格式的误差。因为有重调和算子和非线性项，问题比较复杂。为了克服这些困难，我们充分利用三线性泛函的各种性质，精巧地运用离散能量方法得出了收敛性结论。 第五章中我们给出了数值解，验证了数值解的精度以及谱格式的长时间性态，验证了上面的理论分析，也证明了谱方法确实是一种行之有效的方法。