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摘 要：在中考“统计与概率”的章节复习中，若能策略得当，课堂教学安排有序，以教学内容为载体，重在梳理整合知识，感悟数学思想和方法，定能提升学生关键能力，发展数学素养。
关键词：紧抓主线;提升能力;发展素养;“统计与概率”的章节复习策略
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。其中数据分析观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题;能通过收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程做出合理的决策，认识到统计对决策的作用;能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。而在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的数学学科六大核心素养中则提到数据分析主要表现在：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识。通过高中数学课程的学习，学生能提升获得有价值信息并进行定量分析的意识和能力，适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。由此可以看出，初高阶段对“数据分析”的要求是逐步提升的，因此在中考《统计与概率》的章节复习中，“复习策略是否得当，关键能力能否提升，数学素养如何发展？”需引起教师足够重视。以下谈谈中考“统计与概率”的章节复习策略。
一、 紧抓一条主线——统计思想、随机观念
统计主要研究现实生活中的数据，数据分析是统计的核心。通过对数据的收集、整理、描述、分析，来帮助人们解决问题，依据数据思考和处理问题，通过数据发现事物发展规律是统计的基本思想;从总体中抽出样本，通过分析样本数据来估计和推测总体的情况，用样本估计总体也是统计的基本思想，这些思想贯穿第三学段“统计和概率”的相关章节。在个别实验中呈现不确定性，而在大量重复实验中，又具有某种统计规律的现象，就是研究随机现象时要讨论的问题。而这种随机观念的培养是在统计中通过抽样来体会总体及估计结果的随机性的过程中实现的。抓住了统计思想、随机观念这一主线，也就抓住了“统计和概率”知识与方法的源头。
二、 发展两大素养——数据分析和数学运算
统计观念是指由一组数据所引发的想法，能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题，必须经历统计活动的过程才能培养出来的一种感觉。如在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中，将概念、方法与原理统一到数据處理活动中去，逐步学会用数据说话，并对结论进行解释或思辨，感受统计结果对决策的意义和作用，从而建立并发展数据分析观念。而数据处理过程必然伴随数学运算，合理利用数据、有效借助运算解决实际问题，通过运算促进数学关键能力的提升及数学素养的发展。
三、 关注三个细节
（一）关注统计量相关概念的复习与辨析
通过对统计量相关概念的复习与辨析，强调对其统计意义的理解，如“平均数、中位数、众数、方差”“频数、频率、概率”等，通过实例创设分析、选择恰当统计量解决问题的情景，进行比较、总结、归纳统计量各自的特点，反映数据哪方面的特征，如何利用它们获取更多的信息等。
（二）关注热点问题中统计思想的渗透
通过对近几年各地中考试卷中的“统计和概率”试题收集分类，如对四大热点：（1）统计图表信息的提取——关注数据的收集;（2）统计量的计算——关注统计量的选择;（3）概率及其应用——关注频率与概率;（4）统计观念——关注统计图的完整画法。对上述四大热点进行专题强化训练，以提高学生答题能力。在这过程中，教师有意识地渗透统计思想方法——统计知识与方法的源头，进而提升关键能力，发展数学素养。
1. 统计图表信息的提取——关注数据的收集
数学中的统计图表，拥有直观性和兼容性两大优势，常被作为载体来考查学生对于数据的观察、分析、计算、判断等能力，是应用数形结合思想解决数学问题的重要内容之一，其关键是理解平均数、众数、中位数、频率、频数、方差等基本概念，同时要求学生具有一定的“读图能力”，意识到图形会说话，通过对统计图表的分析和归纳，搜索出我们需要的数据信息，进而通过计算归纳求解，发展关键能力。
【例1】 （2020福州二检）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费。
方案：一户家庭的月均用水量不超过m（单位：t）的部分按平价收费，超出m的部分按议价收费。为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准m。通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：t），将这1000个数据按照0≤x<4，4≤x<8，…，28≤x<32分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图。
（1）写出a的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数;（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）
（2）假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准m是否合理？并说明理由。
解：（略）
评注：本题考查了加权平均数、用样本估计总体，统计结果对决策的意义和作用等知识，解题的关键是牢记概念及公式。
2. 统计量的计算——关注统计量的选择
遇见涉及“统计与概率”相关知识的数学问题，学生需认真读题、读懂图表中的提供的信息，关注统计量的选择。如反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，只有对平均数、中位数、众数、方差等统计量的理解到位，才有能力对统计量进行合理的选择和恰当的运用：1. 平均数极好地反映数据集中趋势，其两个运算公式x=x1+x2+x3+…+xnn，x=x1f1+x2f2+x3f3+…+xnfnf1+f2+f3+…+fn是中考高频考察公式，应用过程需关注简便计算，提升运算能力。但平均数很敏感，当数据中含有极个别特别大或特别小的数据（极端值）时，平均数就不能很好地反映一般水平，因此反映一批数据“中等水平”一般采用中位数;反映一组数据中出现次数最多的数一般采用众数。再通过样本估计总体，问题就迎刃而解，增强学生分析和解决问题的能力。 【例2】 某超市计划招聘甲、乙两种岗位的销售人员，甲岗位人员的工资方案：基本工资+抽成，其中基本工资为120元/天，每卖出一件商品得抽成2元;乙岗位人员的工资方案：无基本工资，仅以卖商品抽成计算工资，若当天卖出不超过60件商品，每件得抽成4元，超过60件的部分每件抽成6元。下表是今年11月（30天）甲、乙两个岗位商品的销售情况：
（1）现从甲岗位人员销售的30天中随机抽取1天，求这1天的工资不低于240元的概率;
（2）小明拟从甲、乙两个岗位中选择一个参加应聘，如果仅从日平均工资的角度考虑，请利用所学的统计知识为小王做出选择，并说明理由。
解：（略）
评注：本题考查了统计图表、加权平均数、概率、统计结果对决策的意义和作用等知识，解题的关键是牢记概念及公式，特别注意简便计算。（1）由于每个事件出现的可能性均等，可以直接用概率公式求解。（2）①根据平均数的定义求解。②根据“甲、乙两个岗位的日工资方案”分别计算两个岗位的平均工资，然后做出选择。
3. 概率及其应用——关注频率与概率
概率体现了统计中通过数据探究规律的归纳思想，常常考查概率知识中的基本概念，考查用频率估计概率的能力，考查学生借助枚举法求一个简单事件的概率，如常考查用列表、树状图分析简单的等可能事件的概率，有时也会简单综合其他数学知识。考查学生的概率意识和概率应用的能力。
复习时需进一步加强对“概率”概念的理解，指导学生对列表和树状图进行合理的选择，分清一步还是二步，放回还是不放回;关注几何概型的计算、频率与概率的关系，以及概率计算与其他知识的结合等。训练时，也要把规范答题作为重点，尤其正确列表或画树状图、等可能事件的描述、概率的表示等。
【例3】 （2021福建中考）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜）。一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例。
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率;
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由;若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率。
解：（略）
评注：此题考查的是用列表法求概率。列表法适合两步完成的事件。解题时要注意此题赛马分三局考虑。用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。
4. 统计观念——关注统计图的完整画法
统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地运用统计的方法解决问题等，是在亲身经历统计活动过程中培养出来的一种感觉。培养统计观念的一种最有效的方法是让学生从事统计活动，在收集、整理、描述、分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话。
【例4】 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A. 机器人;B. 围棋;C. 羽毛球;D. 电影配音。每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人;
（2）请你将条形统计图补充完整;
（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团;
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率。
解：（略）
评注：本题主要考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体以及列表法或树状图法求概率。（1）首先根据扇形图可知加入A社团的概率，然后由条形图可知加入A社团的人数，进而得出答案;（2）计算出选择C社团的人数，进而补全条形图即可;（3）由题意可知加入羽毛球社团的概率，进而得出这1000名学生中参加了羽毛球社团的人数;（4）首先列出表格或画出树状图，得出总的情况数和恰好选中甲、乙两位同学的情况数，然后根据概率计算公式即可得出答案。
（三）关注解题后的反思和归纳
“统计与概率”相关知识的掌握需要一定数量的练习，但更重要的是：学生要通过习题自我反思、总结、纠错，知道问题出在哪里？想出改错方法、总结出该注意的事项，才能真正透彻地掌握。所以学生在复习阶段需对错题进行易错分析、归类订正，特别要做好易错分析，写下注意点。如：确定事件不仅仅指必然事件，还包括不可能事件。同时规律总结，举一反三，提高解题效益。如：常见概率模型的归纳小结：有返回摸和无返回摸等。
四、 结语
在中考“统计与概率”的章节复习中，若能策略得当，课堂教学安排有序，以教学内容为载体，重在梳理整合知识，感悟数学思想和方法，定能提升学生关键能力，发展数学素养。
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
作者簡介：
鄢坚，福建省福州市，福建省福州市闽江学院附属中学。
关键词：紧抓主线;提升能力;发展素养;“统计与概率”的章节复习策略
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。其中数据分析观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题;能通过收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程做出合理的决策，认识到统计对决策的作用;能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。而在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的数学学科六大核心素养中则提到数据分析主要表现在：收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识。通过高中数学课程的学习，学生能提升获得有价值信息并进行定量分析的意识和能力，适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。由此可以看出，初高阶段对“数据分析”的要求是逐步提升的，因此在中考《统计与概率》的章节复习中，“复习策略是否得当，关键能力能否提升，数学素养如何发展？”需引起教师足够重视。以下谈谈中考“统计与概率”的章节复习策略。
一、 紧抓一条主线——统计思想、随机观念
统计主要研究现实生活中的数据，数据分析是统计的核心。通过对数据的收集、整理、描述、分析，来帮助人们解决问题，依据数据思考和处理问题，通过数据发现事物发展规律是统计的基本思想;从总体中抽出样本，通过分析样本数据来估计和推测总体的情况，用样本估计总体也是统计的基本思想，这些思想贯穿第三学段“统计和概率”的相关章节。在个别实验中呈现不确定性，而在大量重复实验中，又具有某种统计规律的现象，就是研究随机现象时要讨论的问题。而这种随机观念的培养是在统计中通过抽样来体会总体及估计结果的随机性的过程中实现的。抓住了统计思想、随机观念这一主线，也就抓住了“统计和概率”知识与方法的源头。
二、 发展两大素养——数据分析和数学运算
统计观念是指由一组数据所引发的想法，能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题，必须经历统计活动的过程才能培养出来的一种感觉。如在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中，将概念、方法与原理统一到数据處理活动中去，逐步学会用数据说话，并对结论进行解释或思辨，感受统计结果对决策的意义和作用，从而建立并发展数据分析观念。而数据处理过程必然伴随数学运算，合理利用数据、有效借助运算解决实际问题，通过运算促进数学关键能力的提升及数学素养的发展。
三、 关注三个细节
（一）关注统计量相关概念的复习与辨析
通过对统计量相关概念的复习与辨析，强调对其统计意义的理解，如“平均数、中位数、众数、方差”“频数、频率、概率”等，通过实例创设分析、选择恰当统计量解决问题的情景，进行比较、总结、归纳统计量各自的特点，反映数据哪方面的特征，如何利用它们获取更多的信息等。
（二）关注热点问题中统计思想的渗透
通过对近几年各地中考试卷中的“统计和概率”试题收集分类，如对四大热点：（1）统计图表信息的提取——关注数据的收集;（2）统计量的计算——关注统计量的选择;（3）概率及其应用——关注频率与概率;（4）统计观念——关注统计图的完整画法。对上述四大热点进行专题强化训练，以提高学生答题能力。在这过程中，教师有意识地渗透统计思想方法——统计知识与方法的源头，进而提升关键能力，发展数学素养。
1. 统计图表信息的提取——关注数据的收集
数学中的统计图表，拥有直观性和兼容性两大优势，常被作为载体来考查学生对于数据的观察、分析、计算、判断等能力，是应用数形结合思想解决数学问题的重要内容之一，其关键是理解平均数、众数、中位数、频率、频数、方差等基本概念，同时要求学生具有一定的“读图能力”，意识到图形会说话，通过对统计图表的分析和归纳，搜索出我们需要的数据信息，进而通过计算归纳求解，发展关键能力。
【例1】 （2020福州二检）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费。
方案：一户家庭的月均用水量不超过m（单位：t）的部分按平价收费，超出m的部分按议价收费。为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准m。通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：t），将这1000个数据按照0≤x<4，4≤x<8，…，28≤x<32分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图。
（1）写出a的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数;（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）
（2）假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准m是否合理？并说明理由。
解：（略）
评注：本题考查了加权平均数、用样本估计总体，统计结果对决策的意义和作用等知识，解题的关键是牢记概念及公式。
2. 统计量的计算——关注统计量的选择
遇见涉及“统计与概率”相关知识的数学问题，学生需认真读题、读懂图表中的提供的信息，关注统计量的选择。如反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，只有对平均数、中位数、众数、方差等统计量的理解到位，才有能力对统计量进行合理的选择和恰当的运用：1. 平均数极好地反映数据集中趋势，其两个运算公式x=x1+x2+x3+…+xnn，x=x1f1+x2f2+x3f3+…+xnfnf1+f2+f3+…+fn是中考高频考察公式，应用过程需关注简便计算，提升运算能力。但平均数很敏感，当数据中含有极个别特别大或特别小的数据（极端值）时，平均数就不能很好地反映一般水平，因此反映一批数据“中等水平”一般采用中位数;反映一组数据中出现次数最多的数一般采用众数。再通过样本估计总体，问题就迎刃而解，增强学生分析和解决问题的能力。 【例2】 某超市计划招聘甲、乙两种岗位的销售人员，甲岗位人员的工资方案：基本工资+抽成，其中基本工资为120元/天，每卖出一件商品得抽成2元;乙岗位人员的工资方案：无基本工资，仅以卖商品抽成计算工资，若当天卖出不超过60件商品，每件得抽成4元，超过60件的部分每件抽成6元。下表是今年11月（30天）甲、乙两个岗位商品的销售情况：
（1）现从甲岗位人员销售的30天中随机抽取1天，求这1天的工资不低于240元的概率;
（2）小明拟从甲、乙两个岗位中选择一个参加应聘，如果仅从日平均工资的角度考虑，请利用所学的统计知识为小王做出选择，并说明理由。
解：（略）
评注：本题考查了统计图表、加权平均数、概率、统计结果对决策的意义和作用等知识，解题的关键是牢记概念及公式，特别注意简便计算。（1）由于每个事件出现的可能性均等，可以直接用概率公式求解。（2）①根据平均数的定义求解。②根据“甲、乙两个岗位的日工资方案”分别计算两个岗位的平均工资，然后做出选择。
3. 概率及其应用——关注频率与概率
概率体现了统计中通过数据探究规律的归纳思想，常常考查概率知识中的基本概念，考查用频率估计概率的能力，考查学生借助枚举法求一个简单事件的概率，如常考查用列表、树状图分析简单的等可能事件的概率，有时也会简单综合其他数学知识。考查学生的概率意识和概率应用的能力。
复习时需进一步加强对“概率”概念的理解，指导学生对列表和树状图进行合理的选择，分清一步还是二步，放回还是不放回;关注几何概型的计算、频率与概率的关系，以及概率计算与其他知识的结合等。训练时，也要把规范答题作为重点，尤其正确列表或画树状图、等可能事件的描述、概率的表示等。
【例3】 （2021福建中考）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜）。一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例。
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率;
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由;若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率。
解：（略）
评注：此题考查的是用列表法求概率。列表法适合两步完成的事件。解题时要注意此题赛马分三局考虑。用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。
4. 统计观念——关注统计图的完整画法
统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地运用统计的方法解决问题等，是在亲身经历统计活动过程中培养出来的一种感觉。培养统计观念的一种最有效的方法是让学生从事统计活动，在收集、整理、描述、分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话。
【例4】 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A. 机器人;B. 围棋;C. 羽毛球;D. 电影配音。每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人;
（2）请你将条形统计图补充完整;
（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团;
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率。
解：（略）
评注：本题主要考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体以及列表法或树状图法求概率。（1）首先根据扇形图可知加入A社团的概率，然后由条形图可知加入A社团的人数，进而得出答案;（2）计算出选择C社团的人数，进而补全条形图即可;（3）由题意可知加入羽毛球社团的概率，进而得出这1000名学生中参加了羽毛球社团的人数;（4）首先列出表格或画出树状图，得出总的情况数和恰好选中甲、乙两位同学的情况数，然后根据概率计算公式即可得出答案。
（三）关注解题后的反思和归纳
“统计与概率”相关知识的掌握需要一定数量的练习，但更重要的是：学生要通过习题自我反思、总结、纠错，知道问题出在哪里？想出改错方法、总结出该注意的事项，才能真正透彻地掌握。所以学生在复习阶段需对错题进行易错分析、归类订正，特别要做好易错分析，写下注意点。如：确定事件不仅仅指必然事件，还包括不可能事件。同时规律总结，举一反三，提高解题效益。如：常见概率模型的归纳小结：有返回摸和无返回摸等。
四、 结语
在中考“统计与概率”的章节复习中，若能策略得当，课堂教学安排有序，以教学内容为载体，重在梳理整合知识，感悟数学思想和方法，定能提升学生关键能力，发展数学素养。
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
作者簡介：
鄢坚，福建省福州市，福建省福州市闽江学院附属中学。