【摘 要】化实二次型为标准形的方法——初等变换法、配方法、正交变换法。
　　【关键词】实二次型 标准形 初等变换法 配方法 正交变换法
　　二次型是高等代数中一个很重要的知识点，而将二次型化为标准形又是二次型中的一個重要问题。我们知道，任何一个实二次型都惟一对应于一个实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以对角化，因此每一个实二次型都可以化成标准形。结合自己的教学实践与体会，总结出以下三种将实二次型化成标准形的方法。
　　一、用初等变换法化实二次型为标准形
　　用非退化线性变换X=CY化二次型f=X′AX为标准形。相当于对对称矩阵A找一个可逆的矩阵C，使C′AC=D 为对角矩阵。由于可逆矩阵C可以写成若干初等矩阵的积，即，于是有，即相当于对矩阵A做初等行变换或初等列变换，由此可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：
　　（一）写出二次型f=X′AX的矩阵A，并构造矩阵；
　　（二）对A进行初等行变换和同样的初等列变换，把A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等列变换化为矩阵C；
　　（三）写出用非退化线性变换X=CY化二次型为f=Y′DY。
　　注意：行和列的初等变换必须是相同类的初等变换，而且行和列的变换次序是紧挨着，中间不能隔开，对E的部分只能进行列的初等变换。
　　参考文献：
　　[1]《高等代数》张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6
　　[2]《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.
　　[3]《高等代数-导教、导学、导考》徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.
　　[4]《高等代数辅导与习题解答》黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.
　　作者简介：段桂花（1982—），女，云南省鹤庆人，讲师，丽江师范高等专科学校数计系，主要研究方向为数学教育及代数学。